Prezentacja modułu

Moduł 10 — Rezonans: pchanie w rytmie — kurs Ruch drgający i fale (kurs podstawowy)

Moduł 10 kursu Ruch drgający i fale: pchanie huśtawki w jej własnym rytmie, most i kolumna wojska, pudło rezonansowe gitary.

45 min
16 slajdów
Notatki nauczyciela: N
Strona modułu: otwórz

Plan · 45 min

Co dziś robimy

7 minJak rozhuśtać huśtawkę: drgania swobodne a wymuszone Pchanie w rytmie (zgodność fazowa). Czekasz, aż huśtawka osiągnie maksymalne wychylenie i…
6 minRezonans, który spotykasz na co dzień Huśtanie się za pomocą nóg. Gdy huśtasz się sam, prostujesz i podkurczasz nogi w ściśle…
5 minRysunek: zgodność i niezgodność siły z ruchem teza, kod i pytanie kontrolne
10 minAnimacja: trzy rytmy pchania przy tej samej sile 1. Bez wymuszenia — jedno pchnięcie na starcie, potem nic. Amplituda gaśnie (tłumienie).
6 minPrzykład na liczbach Całkowita energia dostarczona przez 10 pchnięć w rezonansie: \[ E_{\text{dostarczona}} =…
6 minZadanie transferowe — regularnie, ale nie w rytmie Polecenie: Huśtawka wykonuje pełne wahnięcie raz na $2\text{ s}$.
5 minPodsumowanie bilet wyjściowy i zadanie domowe

Atom 1 z 6 · ~7 min

Jak rozhuśtać huśtawkę: drgania swobodne a wymuszone

Huśtawka z czasem zwalnia z powodu oporów ruchu — ale przecież z łatwością możemy ją rozhuśtać z powrotem. Wystarczy popychać ją w jej własnym rytmie : lekko, ale zawsze w tej samej fazie wahnięcia.

Pchanie w rytmie (zgodność fazowa). Czekasz, aż huśtawka osiągnie maksymalne wychylenie i zacznie wracać, po czym lekko popychasz ją zgodnie z kierunkiem jej ruchu.
Pchanie w przypadkowych chwilach (niezgodność fazowa). Popychasz w nieodpowiednich momentach — raz pomagasz, a za chwilę uderzasz w huśtawkę lecącą prosto na Ciebie.
Gdy popychasz huśtawkę, działasz na nią zewnętrzną, okresową siłą — powstają wtedy drgania wymuszone .
Skutek zależy jednak całkowicie od zgrania czasowego:

Definicja fizyczna — rezonans mechaniczny:
Każdy układ drgający (np. wahadło, sprężyna, most, struna) ma swoją charakterystyczną częstotliwość drgań własnych ($f_0$) i odpowiadający jej okres własny ($T_0$).
Jeżeli na taki układ działa zewnętrzna, okresowa siła wymuszająca o częstotliwości $f_{\text{wym}}$, to gdy: \[ f_{\text{wym}} \approx f_0 \quad (\text{czyli } T_{\text{wym}} \approx T_0) \] następuje rezonans mechaniczny: następuje maksymalnie efektywny przekaz energii ze źródła do układu, a amplituda drgań osiąga największą wartość (dla danego wymuszenia i danego tłumienia — nie rośnie w nieskończoność: opory ruchu i wytrzymałość materiału zawsze ją w końcu ograniczają)!

Sprawdzenie · atom 1 · ~2 min

Pytanie do klasy

Kiedy drgania układu nazywamy wymuszonymi?

Atom 2 z 6 · ~6 min

Rezonans, który spotykasz na co dzień

Huśtanie się za pomocą nóg. Gdy huśtasz się sam, prostujesz i podkurczasz nogi w ściśle określonym momencie każdego cyklu.
Pudło rezonansowe gitary i skrzypiec. Cieniutka struna drgając w powietrzu brzmi bardzo cicho, bo rozpycha niewiele cząsteczek.
Rozbicie kryształowego kieliszka głosem. Każdy kieliszek po stuknięciu wydaje czysty ton o określonej częstotliwości własnej $f_0$.
Marsz wojska przez most. Żołnierze maszerujący równym krokiem uderzają w nawierzchnię z częstotliwością np. $1{,}8\text{ Hz}$.

Ciekawostki z zastrzeżeniami (nie na sprawdzian):
• Kieliszek i głos. Rozbicie kieliszka samym głosem jest możliwe, ale wymaga warunków laboratoryjnych: idealnej zgodności częstotliwości, bardzo głośnego dźwięku i cienkiego szkła. Samo zaśpiewanie „dobrego tonu” w kuchni kieliszka nie stłucze.
• Most w Angers (1850). Katastrofa miała wiele przyczyn (wichura, korozję lin, a marsz wojska był jedną z nich) — to przestroga, a nie prosty dowód, że każdy most runie od kroku.
• Dlaczego nie każdy most drga? Rzeczywiste konstrukcje (mosty, budynki, maszyny) mają tłumienie, a wielkość wzrostu amplitudy zależy jednocześnie od częstotliwości i siły wymuszającej. Niebezpieczny rezonans to zbieg okoliczności — wymuszanie musi trafić blisko częstotliwości własnej, a siła musi być wystarczająco duża. Sam równy marsz przez dowolny most niczego nie zawali.

Sprawdzenie · atom 2 · ~2 min

Pytanie do klasy

Jaką rolę pełni pudło rezonansowe gitary?

Ilustracja · atom 3 · ~3 min

Rysunek: zgodność i niezgodność siły z ruchem

Zasada przekazu energii: pchnięcie wykonuje pracę dodatnią tylko wtedy, gdy działa zgodnie z kierunkiem ruchu ($f_{\text{wym}} = f_0$). Pchnięcie w przeciwfazie tłumi drgania.

Sprawdzenie · atom 3 · ~2 min

Pytanie do klasy

Na rysunku siła $\vec{F}$ ma zwrot zgodny z prędkością $\vec{v}$. Jaki jest skutek tego pchnięcia?

Atom 4 z 6 · ~10 min

Animacja: trzy rytmy pchania przy tej samej sile

Trzy identyczne huśtawki, wszystkie pchane tą samą, małą siłą — różni je tylko rytm pchania:

1. Bez wymuszenia — jedno pchnięcie na starcie, potem nic. Amplituda gaśnie (tłumienie).
2. W rytmie ($f_{\text{wym}} = f_0$) — pchnięcie raz na okres własny. Amplituda rośnie — to rezonans.
3. Zbyt często ($f_{\text{wym}} = 3f_0$) — pchnięcia są regularne, ale trzy razy za często: raz pomagają, raz przeszkadzają. Amplituda nie rośnie .

Co z tego wynika? Wszystkie trzy huśtawki są pchane regularnie i taką samą siłą. Mimo to amplituda rośnie tylko wtedy, gdy rytm pchania zgadza się z częstotliwością własną huśtawki. Regularność sama w sobie to za mało — liczy się zgodność rytmu.

Symulacja · atom 4 · ~4 min

Animacja: trzy rytmy pchania przy tej samej sile

Sprawdzenie · atom 4 · ~2 min

Pytanie do klasy

Trzy huśtawki są pchane tą samą małą siłą. W której amplituda rośnie?

Atom 5 z 6 · ~6 min

Przykład na liczbach

Treść: Huśtawka została pchnięta jeden raz energią $E_1 = 20\text{ J}$ i zaczęła wygasać. Druga huśtawka była popychana 10 razy w rytmie jej ruchu, za każdym razem małą porcją energii $\Delta E = 5\text{ J}$.

Całkowita energia dostarczona przez 10 pchnięć w rezonansie: \[ E_{\text{dostarczona}} = 10 \times 5\text{ J} = 50\text{ J} \]
Uwzględniamy straty energii na opory ruchu: \[ E_{\text{końcowa}} = 50\text{ J} - 15\text{ J} = 35\text{ J} \]
Druga huśtawka zgromadziła $35\text{ J}$ energii mechanicznej — znacznie więcej niż pojedyncze uderzenie pierwszej ($20\text{ J}$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Całkowita energia dostarczona przez 10 pchnięć w rezonansie: \[ E_{\text{dostarczona}} = 10 \times 5\text{ J} = 50\text{ J} \]
Uwzględniamy straty energii na opory ruchu: \[ E_{\text{końcowa}} = 50\text{ J} - 15\text{ J} = 35\text{ J} \]
Druga huśtawka zgromadziła $35\text{ J}$ energii mechanicznej — znacznie więcej niż pojedyncze uderzenie pierwszej ($20\text{ J}$).

Wniosek: W rezonansie małe, systematyczne impulsy energii sumują się w czasie, prowadząc do osiągnięcia wielokrotnie większej amplitudy.

Sprawdzenie · atom 5 · ~2 min

Pytanie do klasy

Huśtawkę pchnięto 10 razy, za każdym razem dostarczając 5 J; opory rozproszyły 15 J. Ile energii mechanicznej zgromadziła?

Atom 6 z 6 · ~6 min

Zadanie transferowe — regularnie, ale nie w rytmie

Nie liczy się do paska postępu. Odpowiedź znajdziesz w rozwijanym polu.

Polecenie: Huśtawka wykonuje pełne wahnięcie raz na $2\text{ s}$.
Kolega pcha ją regularnie co $0{,}5\text{ s}$, w tę samą stronę, z taką samą siłą.

Sprawdzenie · atom 6 · ~2 min

Pytanie do klasy

Huśtawka wykonuje pełne wahnięcie raz na 2 s, a kolega pcha ją co 0,5 s. Jaka jest częstotliwość wymuszenia i częstotliwość własna?

Zamknięcie · ~3 min

Co zabrać z lekcji

Huśtawka z czasem zwalnia z powodu oporów ruchu — ale przecież z łatwością możemy ją rozhuśtać z powrotem.
Huśtanie się za pomocą nóg. Gdy huśtasz się sam, prostujesz i podkurczasz nogi w ściśle określonym momencie każdego cyklu.
Rysunek: zgodność i niezgodność siły z ruchem
1. Bez wymuszenia — jedno pchnięcie na starcie, potem nic. Amplituda gaśnie (tłumienie).

Bilet wyjściowy: Co powinien zrobić kolega, aby rozhuśtać tę huśtawkę rezonansowo?
Odpowiedź: a) Pchać raz na 2 s, czyli w rytmie jej okresu własnego