Prezentacja modułu

Moduł 02 — Ruch harmoniczny, okrąg odniesienia i faza — kurs Ruch drgający

Moduł 02 kursu Ruch drgający: związek ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu, częstość kołowa ω = 2π/T, faza i faza początkowa φ₀, równanie x(t) = A sin(ωt + φ₀).

45 min
13 slajdów
Notatki nauczyciela: N
Strona modułu: otwórz

Plan · 45 min

Co dziś robimy

7 minZwiązek ruchu harmonicznego z ruchem po okręgu Jeżeli w chwili początkowej ($t = 0$) promień wodzący był już odchylony o pewien kąt…
11 minJak faza początkowa $\varphi_0$ zmienia start ruchu i wykres $x(t)$? Wykres funkcji $y = \sin x$ przesuwa się o kąt $\varphi_0$ w lewo, gdy piszemy $y =…
13 minInteraktywna symulacja: okrąg odniesienia i faza początkowa Spokojny oddech człowieka powtarza się mniej więcej co $4\text{ s}$, czyli z…
8 minPrzykładowe problemy z rozwiązaniem krok po kroku Treść: Przedmiot wykonuje drgania harmoniczne o okresie $T = 6\text{ s}$, amplitudzie $A…
5 minPodsumowanie bilet wyjściowy i zadanie domowe

Atom 1 z 4 · ~7 min

Związek ruchu harmonicznego z ruchem po okręgu

Wyobraź sobie tarczę o promieniu $R = A$ obracającą się jednostajnie z prędkością kątową $\omega$. W ciągu jednego pełnego obrotu (trwającego okres $T$) promień wodzący zakreśla kąt pełny $2\pi$ radianów.

Jeżeli w chwili początkowej ($t = 0$) promień wodzący był już odchylony o pewien kąt początkowy $\varphi_0$, to po czasie $t$ całkowity kąt wynosi $\Phi(t) = \omega t +…
Rzut końca tego promienia na oś $x$ daje ogólne równanie wychylenia w ruchu harmonicznym :
W prądnicy rowerowej magnes obraca się wraz z kołem, a w cewce indukuje się napięcie.
Technika: prądnica rowerowa zamienia ruch obrotowy koła na napięcie zmienne.

Częstość kołowa (pulsacja) $\omega$: $$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f \qquad \left[\text{rad/s} = \text{s}^{-1}\right]$$ Częstość kołowa mówi, o ile radianów rośnie faza drgań w ciągu każdej sekundy.

Sprawdzenie · atom 1 · ~3 min

Pytanie do klasy

Punkt na okręgu odniesienia zatacza kąt pełny w czasie równym okresowi $T$. Częstość kołowa tego ruchu wynosi:

Atom 2 z 4 · ~11 min

Jak faza początkowa $\varphi_0$ zmienia start ruchu i wykres $x(t)$?

Podstawiając $t = 0$ do równania $x(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0)$, otrzymujemy położenie początkowe $x(0) = A\sin(\varphi_0)$. W zadaniach maturalnych najczęściej spotkasz cztery szczególne wartości $\varphi_0$:

Wykres funkcji $y = \sin x$ przesuwa się o kąt $\varphi_0$ w lewo, gdy piszemy $y = \sin(x + \varphi_0)$.
Przykład: Cień jest rzutem lampki na oś poziomą, więc $x(t) = R\cos(\omega t)$ przy starcie z $x(0) = +R$.
Częstość kołowa $\omega = 2\pi/T = \pi/4\text{ rad/s}$, zatem $x(t) = 3\cos\left(\frac{\pi}{4}t\right)$ (w metrach).
Kryteria: (1) pojęcie — uczeń wiąże rzut ruchu po okręgu z ruchem harmonicznym i poprawnie nazywa $A$, $T$ i $\omega$; (2) uzasadnienie — wyjaśnia, dlaczego cień porusza…

Kluczowa obserwacja (nierównomierny ruch na odcinkach):
Ciało drgające harmonicznie nie porusza się ruchem jednostajnym! Startując z $x = 0$ ($\varphi_0 = 0$), pierwszą połowę amplitudy (od $x = 0$ do $x = \frac{1}{2}A$) pokonuje wtedy, gdy $\sin(\omega t) = \frac{1}{2}$, czyli dla fazy $\omega t = \frac{\pi}{6}$. Ponieważ $\omega = \frac{2\pi}{T}$, daje to czas: $$t_1 = \frac{T}{12} \quad \text{(odcinek } 0 \to \tfrac{1}{2}A\text{)}, \qquad t_2 = \frac{T}{4} - \frac{T}{12} = \frac{T}{6} \quad \text{(odcinek } \tfrac{1}{2}A \to A\text{)}$$ Drugą połowę amplitudy (gdzie ciało hamuje przed zatrzymaniem!) pokonuje więc dwa razy dłużej niż pierwszą.

Zestawienie · atom 2 · ~4 min

Jak faza początkowa $\varphi_0$ zmienia start ruchu i wykres $x(t)$?

Podstawiając $t = 0$ do równania $x(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0)$, otrzymujemy położenie początkowe $x(0) = A\sin(\varphi_0)$. W zadaniach maturalnych najczęściej spotkasz cztery szczególne wartości $\varphi_0$:

Faza początkowa $\varphi_0$	Położenie i kierunek w $t = 0$	Postać równania $x(t)$
$\varphi_0 = 0$	Start z położenia równowagi ($x = 0$) w stronę dodatnią ($+A$)	$x(t) = A\sin(\omega t)$
$\varphi_0 = \frac{\pi}{2}\text{ (90°)}$	Start ze skrajnego wychylenia dodatniego ($x = +A$, prędkość początkowa zero)	$x(t) = A\sin\!\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) = A\cos(\omega t)$
$\varphi_0 = \pi\text{ (180°)}$	Start z położenia równowagi ($x = 0$) w stronę ujemną ($-A$)	$x(t) = -A\sin(\omega t)$
$\varphi_0 = \frac{3\pi}{2}$ (lub $-\frac{\pi}{2}$)	Start ze skrajnego wychylenia ujemnego ($x = -A$)	$x(t) = -A\cos(\omega t)$

Sprawdzenie · atom 2 · ~3 min

Pytanie do klasy

Ciało zostaje puszczone z położenia $x = +A$ bez prędkości początkowej. Który opis ruchu jest poprawny?

Atom 3 z 4 · ~13 min

Interaktywna symulacja: okrąg odniesienia i faza początkowa

Po lewej widzisz punkt krążący jednostajnie po okręgu o promieniu $A$, a po prawej — jego rzut na oś pionową rysujący wykres $x(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0)$. Przełączaj fazę początkową $\varphi_0$ i obserwuj przesunięcie sinusoidy.

Spokojny oddech człowieka powtarza się mniej więcej co $4\text{ s}$, czyli z częstotliwością około $0{,}25\text{ Hz}$.
Biologia: rytm oddechu i pracy serca opisujemy okresem i częstotliwością, choć organizm nie jest prostym oscylatorem.
Faza początkowa jest w biologii sprawą umowną — zależy od momentu, w którym zaczynamy pomiar — ale okres i amplituda niosą realną informację o stanie organizmu.
W poprzedniej sekcji zobaczyliśmy, że faza początkowa przesuwa wykres, ale nie zmienia ani amplitudy, ani okresu.

Symulacja · atom 3 · ~5 min

Interaktywna symulacja: okrąg odniesienia i faza początkowa

Sprawdzenie · atom 3 · ~3 min

Pytanie do klasy

W symulacji wybierasz fazę początkową $\varphi_0 = \frac{\pi}{6}$. W jakim położeniu zaczyna ruch ciężarek?

Atom 4 z 4 · ~8 min

Przykładowe problemy z rozwiązaniem krok po kroku

Treść: Ruch ciężarka opisuje w układzie SI równanie $x(t) = 0{,}08\sin\!\left(4\pi t + \frac{\pi}{6}\right)$. Wyznacz amplitudę $A$, częstość kołową $\omega$, okres $T$, częstotliwość $f$, fazę początkową $\varphi_0$ oraz wychylenie w…

Treść: Przedmiot wykonuje drgania harmoniczne o okresie $T = 6\text{ s}$, amplitudzie $A = 20\text{ cm}$ i fazie początkowej $\varphi_0 = \frac{\pi}{6}\text{ rad}$.
Oblicz, po jakim najkrótszym czasie $t_1$ przedmiot ten znajdzie się w odległości $x_1 = 15\text{ cm}$ od położenia równowagi.
Chemia: cząsteczki drgają wokół położeń równowagi, a w spektroskopii w podczerwieni mierzy się częstotliwości tych drgań.
Faz poszczególnych cząsteczek nie da się zsynchronizować, dlatego widmo opisuje częstotliwości, a nie fazę początkową — to dobra lekcja o tym, które parametry mają sens…

Rozwiązanie krok po kroku:
Porównujemy dane równanie ze wzorem ogólnym $x(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0)$:
1. Amplituda: $A = 0{,}08\text{ m} = 8\text{ cm}$.
2. Częstość kołowa: współczynnik przy czasie $t$ wynosi $\omega = 4\pi\text{ rad/s} \approx 12{,}57\text{ rad/s}$.
3. Okres i częstotliwość: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4\pi} = 0{,}5\text{ s}$, stąd $f = \frac{1}{T} = 2\text{ Hz}$.
4. Faza początkowa i położenie startowe: $\varphi_0 = \frac{\pi}{6}\text{ rad}$ ($30^\circ$), więc w chwili $t = 0$: $$x(0) = 0{,}08\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = 0{,}08 \cdot 0{,}5 = 0{,}04\text{ m} = 4\text{ cm}$$

Sprawdzenie · atom 4 · ~3 min

Pytanie do klasy

Ruch ciężarka opisuje w jednostkach SI równanie $x(t) = 0{,}08\sin(4\pi t + \frac{\pi}{6})$. Okres drgań wynosi:

Zamknięcie · ~4 min

Co zabrać z lekcji

Jeżeli w chwili początkowej ($t = 0$) promień wodzący był już odchylony o pewien kąt początkowy $\varphi_0$, to po czasie $t$ całkowity kąt wynosi $\Phi(t) =…
Przykład z matematyki.
Spokojny oddech człowieka powtarza się mniej więcej co $4\text{ s}$, czyli z częstotliwością około $0{,}25\text{ Hz}$.
Chemia: cząsteczki drgają wokół położeń równowagi, a w spektroskopii w podczerwieni mierzy się częstotliwości tych drgań.

Bilet wyjściowy: W przykładzie z $A = 20\text{ cm}$, $T = 6\text{ s}$ i $\varphi_0 = \frac{\pi}{6}$ szukamy czasu dojścia do $x = 15\text{ cm}$. Dlaczego rachunek zaczynamy od fazy $\frac{\pi}{6}$, a nie od zera?
Odpowiedź: c) Bo w chwili $t = 0$ ciało jest już wychylone na $10\text{ cm}$, więc do $15\text{ cm}$ zostało mu mniej niż od zera