MODUŁ 02 · BLOK I: OPIS I KINEMATYKA DRGAŃ
Ruch harmoniczny jako rzut ruchu po okręgu: częstość kołowa i faza
PPrezentacja dla nauczyciela
Spośród wszystkich ruchów drgających najważniejszy w fizyce jest ruch harmoniczny — taki, w którym wykres wychylenia od czasu jest idealną sinusoidą. Najłatwiej zrozumieć go geometrycznie: jeśli punkt porusza się ze stałą prędkością kątową $\omega$ po okręgu o promieniu $R = A$, to cień tego punktu rzucany na średnicę wykonuje właśnie ruch harmoniczny.
Związek ruchu harmonicznego z ruchem po okręgu
Wyobraź sobie tarczę o promieniu $R = A$ obracającą się jednostajnie z prędkością kątową $\omega$. W ciągu jednego pełnego obrotu (trwającego okres $T$) promień wodzący zakreśla kąt pełny $2\pi$ radianów. W fizyce drgań wielkość $\omega$ nazywamy częstością kołową (lub pulsacją) drgań:
Jeżeli w chwili początkowej ($t = 0$) promień wodzący był już odchylony o pewien kąt początkowy $\varphi_0$, to po czasie $t$ całkowity kąt wynosi $\Phi(t) = \omega t + \varphi_0$. Rzut końca tego promienia na oś $x$ daje ogólne równanie wychylenia w ruchu harmonicznym:
• $A$ — amplituda drgań $[\text{m}]$,
• $(\omega t + \varphi_0)$ — faza drgań w chwili $t$ $[\text{rad}]$ (określa jednoznacznie stan ruchu ciała),
• $\varphi_0$ — faza początkowa $[\text{rad}]$ (decyduje o tym, skąd i w którą stronę ciało rusza w chwili $t = 0$).
Przykład z techniki. W prądnicy rowerowej magnes obraca się wraz z kołem, a w cewce indukuje się napięcie. Przebieg napięcia jest sinusoidalny, więc opisujemy go tym samym wzorem co wychylenie: $U(t) = U_0\sin(\omega t + \varphi_0)$. Gdy jedziesz szybciej, koło obraca się częściej, rośnie $\omega$, więc częstotliwość napięcia także rośnie; kształt przebiegu pozostaje sinusoidalny. Inżynierowie nazywają $U_0$ amplitudą, a $\omega$ pulsacją — dokładnie tak jak w drganiach mechanicznych.
W module 01 opisywaliśmy drganie amplitudą, okresem i częstotliwością, ale nie tłumaczyliśmy, dlaczego wykres $x(t)$ jest sinusoidą. Odpowiedź daje właśnie okrąg odniesienia: jednostajny ruch po okręgu i jego rzut na jedną oś to dwa opisy tego samego zjawiska.
W module 03 zrzutujemy na oś także wektory prędkości i przyspieszenia, a w module 09 policzymy energię tego ruchu. Moduł 11 pokaże, co się dzieje, gdy na oscylator działa zewnętrzna siła wymuszająca.
Technika: prądnica rowerowa zamienia ruch obrotowy koła na napięcie zmienne. Inżynier opisuje je amplitudą i częstotliwością, czyli dokładnie tymi samymi parametrami, których używamy do opisu drgań ciężarka.
Jak faza początkowa $\varphi_0$ zmienia start ruchu i wykres $x(t)$?
Podstawiając $t = 0$ do równania $x(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0)$, otrzymujemy położenie początkowe $x(0) = A\sin(\varphi_0)$. W zadaniach maturalnych najczęściej spotkasz cztery szczególne wartości $\varphi_0$:
| Faza początkowa $\varphi_0$ | Położenie i kierunek w $t = 0$ | Postać równania $x(t)$ |
|---|---|---|
| $\varphi_0 = 0$ | Start z położenia równowagi ($x = 0$) w stronę dodatnią ($+A$) | $x(t) = A\sin(\omega t)$ |
| $\varphi_0 = \frac{\pi}{2}\text{ (90°)}$ | Start ze skrajnego wychylenia dodatniego ($x = +A$, prędkość początkowa zero) | $x(t) = A\sin\!\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) = A\cos(\omega t)$ |
| $\varphi_0 = \pi\text{ (180°)}$ | Start z położenia równowagi ($x = 0$) w stronę ujemną ($-A$) | $x(t) = -A\sin(\omega t)$ |
| $\varphi_0 = \frac{3\pi}{2}$ (lub $-\frac{\pi}{2}$) | Start ze skrajnego wychylenia ujemnego ($x = -A$) | $x(t) = -A\cos(\omega t)$ |
Ciało drgające harmonicznie nie porusza się ruchem jednostajnym! Startując z $x = 0$ ($\varphi_0 = 0$), pierwszą połowę amplitudy (od $x = 0$ do $x = \frac{1}{2}A$) pokonuje wtedy, gdy $\sin(\omega t) = \frac{1}{2}$, czyli dla fazy $\omega t = \frac{\pi}{6}$. Ponieważ $\omega = \frac{2\pi}{T}$, daje to czas: $$t_1 = \frac{T}{12} \quad \text{(odcinek } 0 \to \tfrac{1}{2}A\text{)}, \qquad t_2 = \frac{T}{4} - \frac{T}{12} = \frac{T}{6} \quad \text{(odcinek } \tfrac{1}{2}A \to A\text{)}$$ Drugą połowę amplitudy (gdzie ciało hamuje przed zatrzymaniem!) pokonuje więc dwa razy dłużej niż pierwszą.
Przykład z matematyki. Wykres funkcji $y = \sin x$ przesuwa się o kąt $\varphi_0$ w lewo, gdy piszemy $y = \sin(x + \varphi_0)$. Dla $\varphi_0 = \frac{\pi}{6}$ cała sinusoida startuje nie z zera, lecz z wartości $\sin\frac{\pi}{6} = 0{,}5$. Podobnie w fizyce faza początkowa nie zmienia amplitudy ani okresu — tylko przesuwa wykres w czasie. Matematyka podpowiada też, że równanie $\sin\alpha = 0{,}75$ ma w jednym okresie dwa rozwiązania: $\alpha \approx 0{,}848$ oraz $\alpha \approx 2{,}294$ rad. Dlatego ciało może osiągnąć to samo wychylenie dwa razy w ciągu okresu: raz w drodze w górę, raz w drodze w dół.
Na karuzeli obracającej się jednostajnie z okresem $T = 8\text{ s}$ zamontowano lampkę w odległości $R = 3\text{ m}$ od osi. W chwili $t = 0$ lampka znajduje się najdalej na prawo od osi. Cień lampki na pionowej ścianie porusza się po odcinku o długości $2R$. Zapisz równanie $x(t)$ cienia, oblicz jego położenie po $1\text{ s}$ i po $2\text{ s}$ oraz wyznacz najkrótszy czas, po którym cień znajdzie się $1{,}5\text{ m}$ od środka. Wyjaśnij, dlaczego ruch cienia jest harmoniczny.
Pokaż przykładowe rozwiązanie i kryteria
Przykład: Cień jest rzutem lampki na oś poziomą, więc $x(t) = R\cos(\omega t)$ przy starcie z $x(0) = +R$. Częstość kołowa $\omega = 2\pi/T = \pi/4\text{ rad/s}$, zatem $x(t) = 3\cos\left(\frac{\pi}{4}t\right)$ (w metrach). Po $1\text{ s}$: $x = 3\cos\frac{\pi}{4} \approx 2{,}12\text{ m}$; po $2\text{ s}$: $x = 3\cos\frac{\pi}{2} = 0$. Dla $x = 1{,}5\text{ m}$ mamy $\cos\left(\frac{\pi}{4}t\right) = 0{,}5$, czyli $\frac{\pi}{4}t = \frac{\pi}{3}$ i $t = \frac{4}{3}\text{ s} \approx 1{,}33\text{ s}$. Ruch cienia jest harmoniczny, bo powstaje przez rzutowanie jednostajnego ruchu po okręgu na prostą; jego amplituda wynosi $R$, a okres jest równy okresowi obrotu karuzeli.
Kryteria: (1) pojęcie — uczeń wiąże rzut ruchu po okręgu z ruchem harmonicznym i poprawnie nazywa $A$, $T$ i $\omega$; (2) uzasadnienie — wyjaśnia, dlaczego cień porusza się harmonicznie i dlaczego $A = R$; (3) przykład/dowód — zapisuje $x(t)$ i podstawia czasy oraz wychylenie; (4) język — podaje jednostki i jednoznacznie opisuje wybrany kierunek osi.
Interaktywna symulacja: okrąg odniesienia i faza początkowa
Po lewej widzisz punkt krążący jednostajnie po okręgu o promieniu $A$, a po prawej — jego rzut na oś pionową rysujący wykres $x(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0)$. Przełączaj fazę początkową $\varphi_0$ i obserwuj przesunięcie sinusoidy.
Przykład z biologii. Spokojny oddech człowieka powtarza się mniej więcej co $4\text{ s}$, czyli z częstotliwością około $0{,}25\text{ Hz}$. Wdech i wydech nie są idealnie sinusoidalne, ale w pierwszym przybliżeniu opisujemy je jak ruch okresowy: objętość płuc rośnie i maleje wokół wartości średniej. Faza początkowa zależy od tego, w której chwili zaczniemy obserwację — inna będzie przy pełnym wdechu, a inna przy wydechu. W spirometrii lekarz mierzy właśnie okres i amplitudę takiego przebiegu, choć oddychanie jest procesem biologicznym, a nie idealnym oscylatorem.
W poprzedniej sekcji zobaczyliśmy, że faza początkowa przesuwa wykres, ale nie zmienia ani amplitudy, ani okresu. Symulacja potwierdza to w praktyce: przy tym samym $T$ i $A$ zmiana $\varphi_0$ tylko wybiera moment startu i kierunek pierwszego wychylenia.
W module 03 różniczkowanie wychylenia da prędkość i przyspieszenie, a w module 09 zobaczymy, jak energia zależy od położenia i prędkości. Moduł 10 doda bilans energii dla sprężyny pionowej i wahadła.
Biologia: rytm oddechu i pracy serca opisujemy okresem i częstotliwością, choć organizm nie jest prostym oscylatorem. Faza początkowa jest w biologii sprawą umowną — zależy od momentu, w którym zaczynamy pomiar — ale okres i amplituda niosą realną informację o stanie organizmu.
Przykładowe problemy z rozwiązaniem krok po kroku
Przykład 1 — Odczytywanie wszystkich parametrów z równania $x(t)$
Treść: Ruch ciężarka opisuje w układzie SI równanie $x(t) = 0{,}08\sin\!\left(4\pi t + \frac{\pi}{6}\right)$. Wyznacz amplitudę $A$, częstość kołową $\omega$, okres $T$, częstotliwość $f$, fazę początkową $\varphi_0$ oraz wychylenie w chwili $t = 0$.
Porównujemy dane równanie ze wzorem ogólnym $x(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0)$:
1. Amplituda: $A = 0{,}08\text{ m} = 8\text{ cm}$.
2. Częstość kołowa: współczynnik przy czasie $t$ wynosi $\omega = 4\pi\text{ rad/s} \approx 12{,}57\text{ rad/s}$.
3. Okres i częstotliwość: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4\pi} = 0{,}5\text{ s}$, stąd $f = \frac{1}{T} = 2\text{ Hz}$.
4. Faza początkowa i położenie startowe: $\varphi_0 = \frac{\pi}{6}\text{ rad}$ ($30^\circ$), więc w chwili $t = 0$: $$x(0) = 0{,}08\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = 0{,}08 \cdot 0{,}5 = 0{,}04\text{ m} = 4\text{ cm}$$
Przykład 2 — Czas dotarcia do zadanej współrzędnej przy niezerowej fazie początkowej
Treść: Przedmiot wykonuje drgania harmoniczne o okresie $T = 6\text{ s}$, amplitudzie $A = 20\text{ cm}$ i fazie początkowej $\varphi_0 = \frac{\pi}{6}\text{ rad}$. Oblicz, po jakim najkrótszym czasie $t_1$ przedmiot ten znajdzie się w odległości $x_1 = 15\text{ cm}$ od położenia równowagi.
1. W chwili $t = 0$ wychylenie wynosi $x(0) = 20\sin(\pi/6) = 10\text{ cm}$ i rośnie w stronę $+20\text{ cm}$. Punkt $x_1 = 15\text{ cm}$ ciało osiągnie jeszcze podczas pierwszego ruchu w górę.
2. Zapisujemy równanie dla $x(t_1) = 15\text{ cm}$ (z $\omega = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}\text{ rad/s}$): $$15 = 20\sin\!\left(\frac{\pi}{3}t_1 + \frac{\pi}{6}\right) \implies \sin\!\left(\frac{\pi}{3}t_1 + \frac{\pi}{6}\right) = 0{,}75$$ 3. Z tablic lub kalkulatora odczytujemy $\arcsin(0{,}75) \approx 0{,}848\text{ rad}$, a ponieważ $\frac{\pi}{6} \approx 0{,}524\text{ rad}$: $$\frac{\pi}{3}t_1 = 0{,}848 - 0{,}524 = 0{,}324\text{ rad} \implies t_1 = \frac{3 \cdot 0{,}324}{\pi} \approx 0{,}31\text{ s}$$ Odpowiedź: Ciało dotrze do położenia $x_1 = 15\text{ cm}$ po czasie $t_1 \approx 0{,}31\text{ s}$.
W poprzedniej sekcji śledziliśmy wykres $x(t)$ i uczyliśmy się odczytywać z niego amplitudę, okres oraz fazę. Przykłady pokazały, że równanie ruchu trzeba dopasować do warunków startowych, a nie odwrotnie — faza początkowa wynika z tego, gdzie ciało było w chwili $t = 0$.
W module 03 to samo równanie zróżniczkujemy, aby otrzymać prędkość i przyspieszenie, a w module 09 obliczymy energię kinetyczną i potencjalną. Moduł 11 pokaże, dlaczego w rzeczywistych układach amplituda z czasem maleje.
Chemia: cząsteczki drgają wokół położeń równowagi, a w spektroskopii w podczerwieni mierzy się częstotliwości tych drgań. Faz poszczególnych cząsteczek nie da się zsynchronizować, dlatego widmo opisuje częstotliwości, a nie fazę początkową — to dobra lekcja o tym, które parametry mają sens dla całej populacji, a które tylko dla pojedynczego oscylatora.
Zadania do samodzielnego rozwiązania (ze wskazówkami)
Boja unosząca się na wodzie wykonuje pionowe drgania, które w przybliżeniu opisuje ruch harmoniczny o okresie $T = 3{,}0\text{ s}$ i amplitudzie $A = 0{,}40\text{ m}$. W chwili $t = 0$ boja znajduje się w najwyższym położeniu. Zapisz równanie $x(t)$, oblicz wychylenie po $0{,}5\text{ s}$ i po $1{,}5\text{ s}$ oraz podaj najkrótszy czas, po którym boja przechodzi przez położenie równowagi. Wyjaśnij, dlaczego model harmoniczny jest tu tylko przybliżeniem.
Pokaż przykładowe rozwiązanie i kryteria
Przykład: Start z górnego położenia oznacza $x(0) = +A$, więc wygodnie jest zapisać $x(t) = A\cos(\omega t)$ z $\omega = 2\pi/T = 2\pi/3\text{ rad/s}$. Po $0{,}5\text{ s}$: $x = 0{,}40\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0{,}20\text{ m}$; po $1{,}5\text{ s}$: $x = 0{,}40\cos(\pi) = -0{,}40\text{ m}$. Położenie równowagi odpowiada $\cos\left(\frac{2\pi}{3}t\right) = 0$, czyli $\frac{2\pi}{3}t = \frac{\pi}{2}$ i $t = 0{,}75\text{ s}$. Model harmoniczny jest przybliżeniem, bo fala działa na boję w sposób złożony, a opór wody i ruch samej fali powodują tłumienie i zmianę amplitudy.
Kryteria: (1) pojęcie — uczeń poprawnie wybiera funkcję cosinus dla startu z $+A$ i nazywa $A$, $T$, $\omega$; (2) uzasadnienie — wyjaśnia, dlaczego model jest przybliżeniem i co go ogranicza; (3) przykład/dowód — podstawia czasy i rozwiązuje równanie trygonometryczne; (4) język — podaje jednostki, znak wychylenia i jasno opisuje położenie boi.