MODUŁ 07 · BLOK II: OSCYLATORY MECHANICZNE

Wahadło matematyczne i pomiar przyspieszenia grawitacyjnego

PPrezentacja dla nauczyciela

Wahadło matematyczne to wyidealizowany model: mała, ciężka kulka (punkt materialny o masie $m$) zawieszona na bardzo lekkiej, nierozciągliwej nici o długości $l$. Zobaczmy, dlaczego przy niewielkich wychyleniach ruch wahadła jest ruchem harmonicznym i dlaczego jego okres w ogóle nie zależy od masy kulki.

Rozkład sił i przybliżenie małych kątów

Gdy odchylimy wahadło o kąt $\alpha$ od pionu, na kulkę o masie $m$ działają dwie siły: pionowo w dół siła ciężkości $\vec{F}_g = m\vec{g}$ oraz wzdłuż nici siła naciągu $\vec{F}_n$. Rozłóżmy ciężar $mg$ na dwa kierunki:

Składowa wzdłuż nici: $F_{\parallel} = mg\cos\alpha$ — napina nić (wraz z siłą naciągu $F_n$ daje siłę dośrodkową utrzymującą kulkę na łuku okręgu).
Składowa styczna do toru ruchu: $F_s = -mg\sin\alpha$ — ściąga kulkę z powrotem do najniższego punktu (położenia równowagi).

Zauważmy, że we wzorze $F_s = -mg\sin\alpha$ występuje $\sin\alpha$, a nie samo wychylenie $x$. Oznacza to, że dla dużych kątów wychylenia wahadło nie jest dokładnie oscylatorem harmonicznym! Jeżeli jednak ograniczymy się do małych kątów wychylenia ($\alpha \lesssim 5^\circ\text{–}10^\circ$, wyrażonych w radianach), to $\sin\alpha \approx \alpha = \frac{x}{l}$, gdzie $x$ jest długością łuku (praktycznie równą wychyleniu poziomemu):

Siła zwrotna i wzór Huygensa na okres wahadła matematycznego (dla małych kątów): $$F_s = -mg\sin\alpha \approx -mg\frac{x}{l} = -\left(\frac{mg}{l}\right)x$$ Porównując to z równaniem siły harmonicznej $F = -m\omega^2 x$, widzimy, że masa $m$ po obu stronach się skraca: $$m\omega^2 = \frac{mg}{l} \implies \omega = \sqrt{\frac{g}{l}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

1. Która składowa siły ciężkości pełni rolę siły zwrotnej w ruchu wahadła matematycznego?

składowa równoległa do nici, $mg\cos\alpha$ siła naciągu nici $\vec{F}_n$ wypadkowa ciężaru i naciągu wzdłuż nici składowa styczna do toru, $mg\sin\alpha$

2. Dlaczego wzór $T = 2\pi\sqrt{l/g}$ jest dokładny tylko dla małych kątów wychylenia?

bo przyjmujemy $\sin\alpha \approx \alpha = x/l$, co jest dobre tylko dla małych kątów bo dla dużych kątów przyspieszenie grawitacyjne $g$ wyraźnie maleje bo dla dużych kątów nić rozciąga się i zmienia długość $l$ bo dla dużych kątów masa kulki przestaje się skracać w równaniu

3. Składowa $mg\cos\alpha$ siły ciężkości:

jest siłą zwrotną wprawiającą kulkę w drgania napina nić i współtworzy siłę dośrodkową ma wartość stałą, niezależną od kąta wychylenia odpowiada za przyspieszenie styczne kulki

Izochronizm, wyznaczanie $g$ oraz wahadło w windzie

Z wyprowadzonego wzoru $T = 2\pi\sqrt{l/g}$ wynikają trzy fundamentalne wnioski maturalne:

Izochronizm wahadła: okres małych wahań nie zależy ani od masy kulki $m$, ani od amplitudy wahań (odkrył to Galileusz, obserwując żyrandol w katedrze w Pizie).
Pomiar przyspieszenia ziemskiego $g$: mierząc długość wahadła $l$ oraz okres $T$, wyznaczamy lokalne przyspieszenie grawitacyjne: $$T^2 = 4\pi^2\frac{l}{g} \implies g = \frac{4\pi^2 l}{T^2} = 4\pi^2 l f^2$$
Wahadło w windzie i na innych planetach: w windzie przyspieszającej w górę z przyspieszeniem $a_w$ pojawia się pozorna siła bezwładności skierowana w dół, więc efektywne przyspieszenie wynosi $g_{\text{ef}} = g + a_w$ i okres maleje: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g + a_w}}$. W stanie nieważkości ($g_{\text{ef}} = 0$) wahadło matematyczne nie drga wcale!

4. Zegar wahadłowy umieszczono w windzie, która rusza w górę ze stałym przyspieszeniem $a_w$. W czasie przyspieszania:

okres wahań się nie zmienia okres się wydłuża, więc zegar zaczyna się spóźniać okres się skraca, więc zegar zaczyna się spieszyć wahadło przestaje drgać

5. W stanie nieważkości ($g_{\text{ef}} = 0$) wahadło matematyczne:

drga z okresem $2\pi\sqrt{l/g}$ drga, ale bardzo wolno drga tylko przy małych kątach nie drga wcale, bo brakuje siły zwrotnej

6. Wahadło o długości $l = 1{,}00\ \text{m}$ wykonuje 20 pełnych wahań w ciągu 40 s. Wyznaczone z tych danych przyspieszenie ziemskie wynosi około:

$9{,}87\ \text{m/s}^2$ $4{,}93\ \text{m/s}^2$ $19{,}7\ \text{m/s}^2$ $2{,}47\ \text{m/s}^2$

Interaktywna symulacja: wahadło matematyczne na różnych ciałach niebieskich

Zmieniaj długość nici $l$ oraz wybieraj ciało niebieskie (Ziemia, Księżyc, Mars, Jowisz). Obserwuj rozkład wektorów sił na kulce i zmianę okresu wahań $T$.

Długość nici $l$: 1,0 m Pole grawitacyjne:

7. W symulacji przenosisz wahadło o tej samej długości z Ziemi na Księżyc, gdzie $g \approx 1{,}62\ \text{m/s}^2$. Okres wahań:

nie zmienia się wzrośnie około 2,4 razy wzrośnie około 6 razy zmaleje około 2,4 razy

8. To samo wahadło przeniesiono z Ziemi na Jowisza, gdzie $g \approx 24{,}8\ \text{m/s}^2$. Częstotliwość wahań:

nie zmieni się zmaleje około 1,6 razy wzrośnie około 1,6 razy wzrośnie około 2,5 razy

9. Aby na Księżycu ($g$ około 6 razy mniejsze niż na Ziemi) wahadło miało taki sam okres jak na Ziemi, długość nici trzeba:

wydłużyć 6 razy wydłużyć $\sqrt{6}$ razy skrócić $\sqrt{6}$ razy skrócić 6 razy

Przykładowe problemy z rozwiązaniem krok po kroku

Przykład 1 — Okres i siła styczna działająca na kulkę wahadła

Treść: Kulkę o masie $m = 0{,}50\text{ kg}$ zawieszono na lekkiej nici o długości $l = 1{,}5\text{ m}$ ($g = 9{,}81\text{ m/s}^2$). Oblicz okres małych drgań tego wahadła oraz wartość składowej stycznej siły wypadkowej $F_s$ w chwili, gdy wychylenie kulki z położenia równowagi wynosi $x = 10\text{ cm} = 0{,}10\text{ m}$.

Rozwiązanie krok po kroku:
1. Okres drgań $T$: $$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{1{,}5\text{ m}}{9{,}81\text{ m/s}^2}} \approx 2\pi \cdot 0{,}391\text{ s} \approx 2{,}46\text{ s}$$ 2. Wartość siły stycznej $|F_s|$: $$|F_s| \approx \frac{mg}{l}x = \frac{0{,}50\text{ kg} \cdot 9{,}81\text{ m/s}^2}{1{,}5\text{ m}} \cdot 0{,}10\text{ m} = 0{,}327\text{ N}$$

Przykład 2 — Synchronizacja wahadła matematycznego ze sprężynowym

Treść: Obok siebie umieszczono wahadło matematyczne oraz ciężarek o masie $m = 1{,}0\text{ kg}$ zawieszony na sprężynie o współczynniku sprężystości $k = 50\text{ N/m}$. Oba układy wykonują drgania harmoniczne z dokładnie taką samą częstotliwością ($g = 9{,}81\text{ m/s}^2$). Oblicz długość $l$ wahadła matematycznego.

Rozwiązanie krok po kroku:
Przyrównujemy okresy obu oscylatorów: $$2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \implies \frac{l}{g} = \frac{m}{k} \implies l = \frac{mg}{k} = \frac{1{,}0\text{ kg} \cdot 9{,}81\text{ m/s}^2}{50\text{ N/m}} = 0{,}1962\text{ m} \approx 19{,}6\text{ cm}$$ Ciekawostka: Zauważ, że szukana długość $l = \frac{mg}{k}$ jest dokładnie równa wydłużeniu statycznemu $x_0$, o jakie ten ciężarek rozciągnąłby tę sprężynę w pionie!

10. Kulkę zawieszono na nici o długości $l = 1{,}5\ \text{m}$ ($g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$). Okres małych drgań wynosi około:

$2{,}46\ \text{s}$ $1{,}23\ \text{s}$ $0{,}39\ \text{s}$ $3{,}48\ \text{s}$

11. Dla tego samego wahadła ($m = 0{,}50\ \text{kg}$, $l = 1{,}5\ \text{m}$) wartość składowej stycznej siły wypadkowej przy wychyleniu $x = 10\ \text{cm}$ wynosi około:

$0{,}033\ \text{N}$ $0{,}33\ \text{N}$ $3{,}3\ \text{N}$ $4{,}9\ \text{N}$

12. Wahadło matematyczne ma drgać z takim samym okresem jak ciężarek $m = 1{,}0\ \text{kg}$ na sprężynie $k = 50\ \text{N/m}$ ($g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$). Długość nici powinna wynosić około:

$5{,}1\ \text{m}$ $4{,}9\ \text{cm}$ $19{,}6\ \text{cm}$ $39{,}2\ \text{cm}$

Zadania do samodzielnego rozwiązania (ze wskazówkami)

Zadanie 1. Na pewnej planecie wahadło matematyczne o długości $l = 0{,}50\text{ m}$ drga z częstotliwością $f = 0{,}50\text{ Hz}$. Ile wynosi przyspieszenie grawitacyjne $g_p$ na powierzchni tej planety?

Wskazówka 1 — od czego zacząć?

Oblicz okres $T = \frac{1}{f}$ i przekształć wzór $T = 2\pi\sqrt{l/g_p}$ tak, aby wyznaczyć $g_p$.

Wskazówka 2 — przekształcenie wzoru

$T = \frac{1}{0{,}50\text{ Hz}} = 2{,}0\text{ s}$. Po podniesieniu wzoru na okres do kwadratu mamy: $g_p = \frac{4\pi^2 l}{T^2}$.

Pełne rozwiązanie krok po kroku

$$g_p = \frac{4\pi^2 l}{T^2} = \frac{4\pi^2 \cdot 0{,}50\text{ m}}{(2{,}0\text{ s})^2} = 0{,}5\pi^2\text{ m/s}^2 \approx 4{,}93\text{ m/s}^2$$

$g_p \approx 4{,}93\text{ m/s}^2$ $g_p \approx 9{,}87\text{ m/s}^2$ $g_p \approx 2{,}47\text{ m/s}^2$

Zadanie 2. Ile wynosi na Ziemi ($g = 9{,}81\text{ m/s}^2$) długość $l$ tzw. „wahadła sekundowego”, którego pełny okres drgań wynosi dokładnie $T = 2{,}0\text{ s}$?

Wskazówka 1 — przekształcenie wzoru Huygensa

Z równania $T^2 = 4\pi^2\frac{l}{g}$ wyznacz długość $l = \frac{g T^2}{4\pi^2}$.

Wskazówka 2 — podstawienie liczb

Dla $T = 2{,}0\text{ s}$ mamy $T^2 = 4\text{ s}^2$, więc czwórki w liczniku i mianowniku się skracają: $l = \frac{g}{\pi^2}$.

Pełne rozwiązanie krok po kroku

$$l = \frac{g T^2}{4\pi^2} = \frac{9{,}81\text{ m/s}^2 \cdot 4\text{ s}^2}{4\pi^2} = \frac{9{,}81}{9{,}87}\text{ m} \approx 0{,}994\text{ m} \approx 99{,}4\text{ cm}$$

$l \approx 0{,}25\text{ m}$ ($25\text{ cm}$) $l \approx 0{,}994\text{ m}$ (niemal dokładnie $1\text{ m}$) $l \approx 3{,}98\text{ m}$

Zadanie 3. Wahadło matematyczne ma na Ziemi okres drgań $T_Z = 1{,}5\text{ s}$. Ile wyniesie okres drgań $T_p$ tego samego wahadła na powierzchni planety, na której przyspieszenie grawitacyjne jest $9$-krotnie mniejsze niż na Ziemi ($g_p = \frac{1}{9}g_Z$)?

Wskazówka 1 — jak okres zależy od przyspieszenia grawitacyjnego?

Ze wzoru $T = 2\pi\sqrt{l/g}$ wynika, że przy stałej długości $l$ okres jest odwrotnie proporcjonalny do pierwiastka z przyspieszenia grawitacyjnego: $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$.

Wskazówka 2 — stosunek okresów

$\frac{T_p}{T_Z} = \sqrt{\frac{g_Z}{g_p}} = \sqrt{9} = 3$.

Pełne rozwiązanie krok po kroku

$T_p = 3 \cdot T_Z = 3 \cdot 1{,}5\text{ s} = 4{,}5\text{ s}$.

$T_p = 0{,}5\text{ s}$ $T_p = 13{,}5\text{ s}$ $T_p = 4{,}5\text{ s}$

Wahadło matematyczne i pomiar przyspieszenia grawitacyjnego

Rozkład sił i przybliżenie małych kątów

Izochronizm, wyznaczanie $g$ oraz wahadło w windzie

Interaktywna symulacja: wahadło matematyczne na różnych ciałach niebieskich

Przykładowe problemy z rozwiązaniem krok po kroku

Przykład 1 — Okres i siła styczna działająca na kulkę wahadła

Przykład 2 — Synchronizacja wahadła matematycznego ze sprężynowym

Zadania do samodzielnego rozwiązania (ze wskazówkami)

Quiz wiedzy — Moduł 07