MODUŁ 06 · BLOK II: OSCYLATORY MECHANICZNE

Układy sprężyn: łączenie równoległe, szeregowe i dzielenie sprężyny

PPrezentacja dla nauczyciela

Układ kilku sprężyn możemy zawsze zastąpić jedną sprężyną zastępczą o współczynniku $k_z$, nie zmieniając okresu drgań zawieszonego ciała. Warto raz na zawsze wyprowadzić oba wzory z równowagi sił i wydłużeń, zamiast zgadywać na maturze, w którym połączeniu współczynniki się dodają, a w którym dodają się ich odwrotności.

Połączenie równoległe sprężyn — układ sztywniejszy

W połączeniu równoległym obie sprężyny ($k_1$ i $k_2$) są przymocowane obok siebie do tego samego ciężarka, więc przy przesunięciu o $x$ obie wydłużają się dokładnie o tyle samo ($x_1 = x_2 = x$). Siła wypadkowa działająca na ciężarek jest sumą sił pochodzących od każdej sprężyny:

Wyprowadzenie i wzór dla połączenia równoległego: $$F = F_1 + F_2 = k_1 x + k_2 x = (k_1 + k_2)x = k_z x \implies k_z = k_1 + k_2$$ Dla $n$ jednakowych sprężyn o współczynniku $k$ połączonych równolegle: $$k_z = n \cdot k \implies T_{\text{równ}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{n k}} = \frac{T_1}{\sqrt{n}}$$

Wózek między dwiema sprężynami to też połączenie równoległe!
Gdy wózek stoi między dwiema sprężynami przymocowanymi do przeciwległych ścian i przesuniemy go w prawo o $x$, lewa sprężyna rozciąga się i ciągnie wózek w lewo siłą $k_1 x$, a prawa ściska się i pcha go również w lewo siłą $k_2 x$. Obie siły działają zgodnie w tę samą stronę, więc $k_z = k_1 + k_2$!

1. Dwie sprężyny o współczynnikach $k_1 = 30\ \text{N/m}$ i $k_2 = 60\ \text{N/m}$ połączono równolegle. Współczynnik sprężystości układu wynosi:

$90\ \text{N/m}$ $20\ \text{N/m}$ $45\ \text{N/m}$ $1800\ \text{N/m}$

2. Wózek umieszczony między dwiema sprężynami przymocowanymi do przeciwległych ścian to połączenie:

szeregowe, bo siła naciągu przenosi się przez obie sprężyny równoległe, bo przy wychyleniu obie sprężyny działają na wózek w tę samą stronę szeregowe, bo obie sprężyny mają różne wydłużenia równoległe, bo obie sprężyny mają identyczną długość

3. Ciężarek wisi na $n$ jednakowych sprężynach o współczynniku $k$ połączonych równolegle. W porównaniu z jedną sprężyną okres drgań jest:

$n$ razy dłuższy $\sqrt{n}$ razy dłuższy $\sqrt{n}$ razy krótszy $n$ razy krótszy

Połączenie szeregowe sprężyn — układ bardziej miękki

Gdy dwie sprężyny połączymy jedna za drugą w łańcuch, przez obie przenosi się dokładnie ta sama siła naciągu ($F_1 = F_2 = F$), natomiast całkowite wydłużenie układu jest sumą wydłużeń obu sprężyn ($x = x_1 + x_2$):

Wyprowadzenie i wzór dla połączenia szeregowego: $$x = x_1 + x_2 = \frac{F}{k_1} + \frac{F}{k_2} = F\left(\frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}\right) = \frac{F}{k_z}$$ $$\frac{1}{k_z} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \implies k_z = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$$ Dla $n$ jednakowych sprężyn o współczynniku $k$ połączonych szeregowo: $$k_z = \frac{k}{n} \implies T_{\text{szer}} = 2\pi\sqrt{\frac{n m}{k}} = T_1\sqrt{n}$$

4. Sprężyny $k_1 = 20\ \text{N/m}$ i $k_2 = 80\ \text{N/m}$ połączono szeregowo. Współczynnik zastępczy wynosi:

$100\ \text{N/m}$ $50\ \text{N/m}$ $8\ \text{N/m}$ $16\ \text{N/m}$

5. Dwie jednakowe sprężyny o współczynniku $k$ połączono szeregowo. Współczynnik sprężystości układu wynosi:

$k/2$ $2k$ $k$ $k/4$

6. Dlaczego współczynnik zastępczy układu szeregowego jest mniejszy od każdego z $k_1$ i $k_2$?

bo siła naciągu rozkłada się po równo na obie sprężyny bo przy tej samej sile wydłużenia obu sprężyn się sumują bo sprężyny po skręceniu w łańcuch tracą część sztywności bo w układzie działa tylko sprężyna o mniejszym $k$

Co się dzieje po przecięciu sprężyny na części?

Wyobraź sobie jednorodną sprężynę o współczynniku $k$, którą przecinamy na dwie równe połówki. Zanim ją przecięliśmy, była ona niczym innym jak dwiema takimi połówkami (o sztywności $k'$) połączonymi szeregowo:

$$\frac{1}{k} = \frac{1}{k'} + \frac{1}{k'} = \frac{2}{k'} \implies k' = 2k$$

Krótsza sprężyna jest sztywniejsza! Ogólnie: po podzieleniu jednorodnej sprężyny o współczynniku $k$ na $n$ równych części każda część ma współczynnik sprężystości $k' = n \cdot k$.

7. Jednorodną sprężynę o współczynniku $k = 25\ \text{N/m}$ pocięto na 4 równe części. Współczynnik sprężystości każdej części wynosi:

$6{,}25\ \text{N/m}$ $25\ \text{N/m}$ $100\ \text{N/m}$ $50\ \text{N/m}$

8. Dlaczego krótszy odcinek tej samej sprężyny jest sztywniejszy?

bo krótszy odcinek ma mniejszą masę, a współczynnik $k$ zależy od masy sprężyny bo przy tej samej sile krótszy odcinek musi się bardziej wydłużyć bo po przecięciu zmienia się materiał, z którego wykonana jest sprężyna bo całą sprężynę można rozłożyć na części połączone szeregowo, a ich wydłużenia się sumują

9. Sprężynę przecięto na dwie równe połówki, a następnie połączono je z powrotem szeregowo. Współczynnik sprężystości takiego układu jest:

taki sam jak przed cięciem, $k$ dwa razy większy, $2k$ cztery razy większy, $4k$ dwa razy mniejszy, $k/2$

Interaktywna symulacja: porównanie układów sprężyn

Przełączaj rodzaj układu (pojedyncza sprężyna, równoległe, szeregowe) oraz zmieniaj $k_1$ i $k_2$. Zobacz, jak zmienia się zastępcza sztywność $k_z$ i okres drgań $T$.

Układ: $k_1$: 30 N/m $k_2$: 60 N/m

10. W symulacji ustawiasz $k_1 = k_2 = 40\ \text{N/m}$. Pojedyncza sprężyna ma okres $T$, układ równoległy $T_{\text{równ}}$, a szeregowy $T_{\text{szer}}$. Który stosunek jest poprawny?

$T_{\text{równ}} = 2T$, $T_{\text{szer}} = T/2$ $T_{\text{równ}} = T/\sqrt{2}$, $T_{\text{szer}} = T\sqrt{2}$ $T_{\text{równ}} = T\sqrt{2}$, $T_{\text{szer}} = T/\sqrt{2}$ wszystkie trzy okresy są jednakowe

11. W trybie równoległym zwiększasz oba współczynniki $k_1$ i $k_2$, a masa pozostaje ta sama. Co obserwujesz?

$k_z$ rośnie, a $T$ rośnie $k_z$ się nie zmienia, a $T$ maleje $k_z$ rośnie, a $T$ maleje $k_z$ maleje, a $T$ rośnie

12. W trybie szeregowym ustawiasz $k_1 = k_2 = 80\ \text{N/m}$. Współczynnik zastępczy pokazany przez symulację wynosi:

$160\ \text{N/m}$ $80\ \text{N/m}$ $20\ \text{N/m}$ $40\ \text{N/m}$

Przykładowe problemy z rozwiązaniem krok po kroku

Przykład 1 — Deska na 2 a na 5 sprężynach połączonych szeregowo

Treść: Deska zawieszona na dwóch jednakowych sprężynach połączonych szeregowo drga w pionie z częstotliwością $f_2 = 0{,}20\text{ Hz}$. Oblicz, ile wynosiłby okres drgań $T_5$ tej samej deski, gdyby wisiała na pięciu takich samych sprężynach połączonych szeregowo.

Rozwiązanie krok po kroku:
1. Okres dla układu 2 sprężyn szeregowo ($k_{z2} = \frac{k}{2}$): $$T_2 = \frac{1}{f_2} = \frac{1}{0{,}20\text{ Hz}} = 5{,}0\text{ s}, \qquad T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{2m}{k}}$$ 2. Okres dla układu 5 sprężyn szeregowo ($k_{z5} = \frac{k}{5}$): $$T_5 = 2\pi\sqrt{\frac{5m}{k}} = T_2\sqrt{\frac{5}{2}} = 5{,}0\text{ s} \cdot \sqrt{2{,}5} \approx 5{,}0 \cdot 1{,}581 \approx 7{,}91\text{ s}$$

Przykład 2 — Przecięcie sprężyny na pół i złożenie równoległe

Treść: Ciężarek zawieszony na jednorodnej sprężynie o współczynniku $k$ drga z okresem $T_0 = 1{,}2\text{ s}$. Sprężynę przecięto na dwie równe połówki, połączono je ze sobą równolegle i zawieszono ten sam ciężarek. Ile wynosi nowy okres drgań $T'$?

Rozwiązanie krok po kroku:
1. Każda połówka przeciętej sprężyny jest dwa razy sztywniejsza od całej sprężyny: $k' = 2k$.
2. Połączenie dwóch takich połówek równolegle daje zastępczy współczynnik: $$k_z = k' + k' = 2k + 2k = 4k$$ 3. Ponieważ sztywność wzrosła czterokrotnie przy tej samej masie $m$, okres zmalał dwukrotnie: $$T' = 2\pi\sqrt{\frac{m}{4k}} = \frac{1}{2}T_0 = 0{,}6\text{ s}$$

13. Deska zawieszona na dwóch jednakowych sprężynach połączonych szeregowo drga z częstotliwością $f_2 = 0{,}20\ \text{Hz}$. Gdy zawiesimy ją na pięciu takich sprężynach szeregowo, okres wyniesie około:

$7{,}9\ \text{s}$ $5{,}0\ \text{s}$ $12{,}5\ \text{s}$ $3{,}2\ \text{s}$

14. Ciężarek zawieszony na sprężynie o $k$ ma okres $T_0 = 1{,}2\ \text{s}$. Sprężynę przecięto na dwie równe połówki, połączono je równolegle i zawieszono ten sam ciężarek. Nowy okres wynosi:

$2{,}4\ \text{s}$ $0{,}6\ \text{s}$ $0{,}85\ \text{s}$ $0{,}3\ \text{s}$

15. Gdyby te dwie połówki połączono szeregowo zamiast równolegle, okres drgań tego samego ciężarka wyniósłby:

$0{,}6\ \text{s}$ $1{,}7\ \text{s}$ $1{,}2\ \text{s}$ $2{,}4\ \text{s}$

Zadania do samodzielnego rozwiązania (ze wskazówkami)

Zadanie 1. Dwie sprężyny o współczynnikach $k_1 = 20\text{ N/m}$ oraz $k_2 = 80\text{ N/m}$ połączono szeregowo i zawieszono na nich ciężarek o masie $m = 1{,}0\text{ kg}$. Ile wynoszą zastępczy współczynnik sprężystości $k_z$ oraz częstość kołowa $\omega$ drgań układu?

Wskazówka 1 — od czego zacząć?

Dla połączenia szeregowego oblicz $k_z = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$, a następnie wyznacz częstość kołową ze wzoru $\omega = \sqrt{k_z / m}$.

Wskazówka 2 — rachunek dla $k_z$

$k_z = \frac{20 \cdot 80}{20 + 80} = \frac{1600}{100} = 16\text{ N/m}$.

Pełne rozwiązanie krok po kroku

1. $k_z = \frac{20 \cdot 80}{20 + 80} = 16\text{ N/m}$.
2. $\omega = \sqrt{\frac{k_z}{m}} = \sqrt{\frac{16\text{ N/m}}{1{,}0\text{ kg}}} = 4\text{ rad/s}$.

$k_z = 100\text{ N/m}$, $\omega = 10\text{ rad/s}$ $k_z = 16\text{ N/m}$, $\omega = 4\text{ rad/s}$ $k_z = 16\text{ N/m}$, $\omega = 16\text{ rad/s}$

Zadanie 2. Wózek o masie $m = 0{,}50\text{ kg}$ znajduje się na poziomym bezoporowym torze pomiędzy dwiema sprężynami o współczynnikach $k_1 = 15\text{ N/m}$ oraz $k_2 = 35\text{ N/m}$, których zewnętrzne końce przymocowano do nieruchomych ścian. Ile wynoszą zastępczy współczynnik $k_z$ oraz częstość kołowa $\omega$ drgań wózka?

Wskazówka 1 — jakie to połączenie sprężyn?

Gdy wózek wychyla się o $x$, jedna sprężyna ciągnie go do położenia równowagi, a druga pcha go w tę samą stronę — obie siły się dodają!

Wskazówka 2 — podstawienie do wzoru

$k_z = k_1 + k_2 = 15 + 35 = 50\text{ N/m}$, a $\omega = \sqrt{k_z / m} = \sqrt{50 / 0{,}50}$.

Pełne rozwiązanie krok po kroku

1. $k_z = k_1 + k_2 = 15\text{ N/m} + 35\text{ N/m} = 50\text{ N/m}$.
2. $\omega = \sqrt{\frac{50\text{ N/m}}{0{,}50\text{ kg}}} = \sqrt{100} = 10\text{ rad/s}$.

$k_z = 10{,}5\text{ N/m}$, $\omega \approx 4{,}58\text{ rad/s}$ $k_z = 50\text{ N/m}$, $\omega = 5\text{ rad/s}$ $k_z = 50\text{ N/m}$, $\omega = 10\text{ rad/s}$

Zadanie 3. Ciężarek zawieszony na dwóch jednakowych sprężynach połączonych równolegle ma okres drgań $T_{\text{równ}} = 0{,}80\text{ s}$. Ile wyniesie okres drgań $T_{\text{szer}}$ tego samego ciężarka, jeśli te dwie sprężyny połączymy szeregowo?

Wskazówka 1 — porównaj współczynniki zastępcze obu układów

Dla dwóch jednakowych sprężyn o sztywności $k$: równolegle mamy $k_{\text{równ}} = 2k$, a szeregowo $k_{\text{szer}} = \frac{1}{2}k$.

Wskazówka 2 — stosunek okresów

Ponieważ $k_{\text{szer}}$ jest 4 razy mniejsze niż $k_{\text{równ}}$, a okres $T \propto \frac{1}{\sqrt{k_z}}$, to okres w połączeniu szeregowym będzie $\sqrt{4} = 2$ razy dłuższy.

Pełne rozwiązanie krok po kroku

$$\frac{T_{\text{szer}}}{T_{\text{równ}}} = \sqrt{\frac{k_{\text{równ}}}{k_{\text{szer}}}} = \sqrt{\frac{2k}{k/2}} = \sqrt{4} = 2 \implies T_{\text{szer}} = 2 \cdot 0{,}80\text{ s} = 1{,}60\text{ s}$$

$T_{\text{szer}} = 1{,}60\text{ s}$ $T_{\text{szer}} = 0{,}40\text{ s}$ $T_{\text{szer}} = 3{,}20\text{ s}$

Układy sprężyn: łączenie równoległe, szeregowe i dzielenie sprężyny

Połączenie równoległe sprężyn — układ sztywniejszy

Połączenie szeregowe sprężyn — układ bardziej miękki

Co się dzieje po przecięciu sprężyny na części?

Interaktywna symulacja: porównanie układów sprężyn

Przykładowe problemy z rozwiązaniem krok po kroku

Przykład 1 — Deska na 2 a na 5 sprężynach połączonych szeregowo

Przykład 2 — Przecięcie sprężyny na pół i złożenie równoległe

Zadania do samodzielnego rozwiązania (ze wskazówkami)

Quiz wiedzy — Moduł 06