MODUŁ 09 · BLOK III: ENERGIA DRGAŃ I REZONANS
Energia w ruchu harmonicznym: przemiany energii kinetycznej i potencjalnej
PPrezentacja dla nauczyciela
W idealnym oscylatorze harmonicznym (bez oporów ruchu) energia nieustannie przelewa się między dwiema formami: energią potencjalną sprężystości $E_p$ (gromadzoną podczas odkształcania sprężyny) a energią kinetyczną $E_k$ (związaną z prędkością ciężarka). Ich suma — całkowita energia mechaniczna $E_c = \frac{1}{2}kA^2$ — pozostaje przez cały czas stała.
Wyprowadzenie wzorów na $E_p$, $E_k$ oraz energię całkowitą $E_c$
Rozważmy ciężarek o masie $m$ drgający na poziomej sprężynie o współczynniku $k$ zgodnie z równaniem $x(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0)$. Energia potencjalna sprężystości przy wychyleniu $x$ wyraża się wzorem:
$$E_p(t) = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2\sin^2(\omega t + \varphi_0)$$Energia kinetyczna zależy od prędkości $v(t) = \omega A\cos(\omega t + \varphi_0)$. Korzystając z faktu, że $m\omega^2 = k$, otrzymujemy:
$$E_k(t) = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2\cos^2(\omega t + \varphi_0) = \frac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega t + \varphi_0)$$Dodając obie energie i stosując jedynkę trygonometryczną $\sin^2\Phi + \cos^2\Phi = 1$, dostajemy zasadę zachowania energii mechanicznej dla oscylatora harmonicznego:
Całkowita energia mechaniczna oscylatora i zależność $E_k(x)$:
$$E_c = E_p + E_k = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 = \frac{1}{2}mv_{\max}^2 = \text{const}$$
$$E_p(x) = \frac{1}{2}kx^2, \qquad E_k(x) = E_c - E_p(x) = \frac{1}{2}k(A^2 - x^2)$$
Najważniejszy wniosek: Energia całkowita jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy ($E_c \propto A^2$). Dwukrotny wzrost amplitudy oznacza czterokrotny wzrost energii całkowitej!
Quiz na żywo — 3 pytania
1. Po podstawieniu $v(t)=\omega A\cos(\omega t+\varphi_0)$ do wzoru na energię kinetyczną i skorzystaniu z $m\omega^2=k$ otrzymujemy:
2. Suma $E_p+E_k$ jest w każdej chwili równa $\frac{1}{2}kA^2$, ponieważ:
3. Przy tej samej sprężynie dwukrotne zwiększenie amplitudy sprawia, że energia całkowita drgań:
Kluczowe położenia na osi $x$ i częstotliwość przemian energii
| Położenie $|x|$ | Ułamek energii potencjalnej $E_p / E_c$ | Ułamek energii kinetycznej $E_k / E_c$ | Stosunek $E_k : E_p$ |
|---|---|---|---|
| $x = 0$ (równowaga) | $0$ ($0\%$) | $1$ ($100\%$ — cała energia w $E_k$) | $E_p = 0, \ E_k = E_c$ |
| $|x| = \frac{1}{2}A$ | $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ ($25\%$) | $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ ($75\%$) | $3 : 1$ |
| $|x| = \frac{A}{\sqrt{2}} \approx 0{,}71A$ | $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2}$ ($50\%$) | $\frac{1}{2}$ ($50\%$) | $1 : 1$ ($E_k = E_p$) |
| $|x| = A$ (skrajne) | $1$ ($100\%$ — cała energia w $E_p$) | $0$ ($0\%$) | $E_k = 0, \ E_p = E_c$ |
Dwie ulubione pułapki maturalne z energii drgań:
1. W połowie amplitudy ($x = \frac{1}{2}A$) energie NIE są równe! Ponieważ $E_p \propto x^2$, dla $x = \frac{1}{2}A$ energia potencjalna stanowi tylko $\frac{1}{4}E_c$, a kinetyczna aż $\frac{3}{4}E_c$. Zrównanie $E_k = E_p$ zachodzi dopiero dla $|x| = \frac{A}{\sqrt{2}} \approx 0{,}71A$ (czyli po czasie $t = \frac{T}{8}$ od przejścia przez położenie równowagi).
2. Okres zmian energii to $\frac{1}{2}T$, a częstotliwość to $2f$! W ciągu jednego pełnego okresu drgań $T$ ciało dwa razy mija położenie równowagi (dwa maksima $E_k$) i dwa razy osiąga skrajne wychylenie (dwa maksima $E_p$).
1. W połowie amplitudy ($x = \frac{1}{2}A$) energie NIE są równe! Ponieważ $E_p \propto x^2$, dla $x = \frac{1}{2}A$ energia potencjalna stanowi tylko $\frac{1}{4}E_c$, a kinetyczna aż $\frac{3}{4}E_c$. Zrównanie $E_k = E_p$ zachodzi dopiero dla $|x| = \frac{A}{\sqrt{2}} \approx 0{,}71A$ (czyli po czasie $t = \frac{T}{8}$ od przejścia przez położenie równowagi).
2. Okres zmian energii to $\frac{1}{2}T$, a częstotliwość to $2f$! W ciągu jednego pełnego okresu drgań $T$ ciało dwa razy mija położenie równowagi (dwa maksima $E_k$) i dwa razy osiąga skrajne wychylenie (dwa maksima $E_p$).
Quiz na żywo — 3 pytania
4. W wychyleniu $|x|=\frac{1}{2}A$ energia potencjalna stanowi:
5. W ciągu jednego pełnego okresu $T$ energia kinetyczna osiąga maksimum:
6. Okres zmian energii kinetycznej (a więc i potencjalnej) oscylatora wynosi:
Interaktywna symulacja: parabola energetyczna $E(x)$ i słupki $E_p, E_k, E_c$
Obserwuj punkt wędrujący po wykresie parabol $E_p(x) = \frac{1}{2}kx^2$ i $E_k(x) = \frac{1}{2}k(A^2-x^2)$ oraz słupki energii po prawej stronie. Możesz zatrzymać ruch i ustawić suwakiem dowolne wychylenie $x/A$.
Quiz na żywo — 3 pytania
7. Na wykresie $E(x)$ energia potencjalna $E_p=\frac{1}{2}kx^2$ jest parabolą zwróconą ramionami do góry, a energia kinetyczna $E_k=\frac{1}{2}k(A^2-x^2)$:
8. Przy $x/A=0$ (suwak ustawiony w pauzie) słupki energii pokazują, że:
9. Przycisk „Pokaż x = A/√2” ustawia wychylenie, przy którym:
Przykładowe problemy z rozwiązaniem krok po kroku
Przykład 1 — Energia całkowita i wyznaczanie amplitudy dla dwóch sprężyn
Treść: Na dwóch sprężynach o współczynnikach $k_1 = 60\text{ N/m}$ i $k_2 = 120\text{ N/m}$ połączonych szeregowo drga ciężarek, a całkowita energia mechaniczna tych drgań wynosi $E_c = 5{,}0\text{ J}$. Oblicz amplitudę drgań $A$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Obliczamy zastępczy współczynnik sprężystości dla połączenia szeregowego: $$k_z = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2} = \frac{60 \cdot 120}{60 + 120} = \frac{7200}{180} = 40\text{ N/m}$$ 2. Ze wzoru $E_c = \frac{1}{2}k_z A^2$ wyznaczamy amplitudę $A$: $$A = \sqrt{\frac{2E_c}{k_z}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 5{,}0\text{ J}}{40\text{ N/m}}} = \sqrt{0{,}25\text{ m}^2} = 0{,}50\text{ m}$$
1. Obliczamy zastępczy współczynnik sprężystości dla połączenia szeregowego: $$k_z = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2} = \frac{60 \cdot 120}{60 + 120} = \frac{7200}{180} = 40\text{ N/m}$$ 2. Ze wzoru $E_c = \frac{1}{2}k_z A^2$ wyznaczamy amplitudę $A$: $$A = \sqrt{\frac{2E_c}{k_z}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 5{,}0\text{ J}}{40\text{ N/m}}} = \sqrt{0{,}25\text{ m}^2} = 0{,}50\text{ m}$$
Przykład 2 — Stosunek energii kinetycznej do potencjalnej w punkcie pośrednim
Treść: Całkowita energia oscylatora harmonicznego wynosi $E_c = 1{,}8\text{ J}$. Ile wynoszą jego energia potencjalna $E_p$ oraz energia kinetyczna $E_k$ w chwili, gdy wychylenie z położenia równowagi stanowi $x = \frac{1}{3}A$?
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Ponieważ $E_p(x) = \frac{1}{2}kx^2$, a $E_c = \frac{1}{2}kA^2$, ich iloraz wynosi: $$\frac{E_p}{E_c} = \left(\frac{x}{A}\right)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} \implies E_p = \frac{1}{9}E_c = \frac{1{,}8\text{ J}}{9} = 0{,}2\text{ J}$$ 2. Energię kinetyczną obliczamy z zasady zachowania energii: $$E_k = E_c - E_p = 1{,}8\text{ J} - 0{,}2\text{ J} = 1{,}6\text{ J} \quad \left(\text{czyli } \frac{8}{9}E_c\right)$$
1. Ponieważ $E_p(x) = \frac{1}{2}kx^2$, a $E_c = \frac{1}{2}kA^2$, ich iloraz wynosi: $$\frac{E_p}{E_c} = \left(\frac{x}{A}\right)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} \implies E_p = \frac{1}{9}E_c = \frac{1{,}8\text{ J}}{9} = 0{,}2\text{ J}$$ 2. Energię kinetyczną obliczamy z zasady zachowania energii: $$E_k = E_c - E_p = 1{,}8\text{ J} - 0{,}2\text{ J} = 1{,}6\text{ J} \quad \left(\text{czyli } \frac{8}{9}E_c\right)$$
Quiz na żywo — 3 pytania
10. Dwie sprężyny o $k_1=60$ N/m i $k_2=120$ N/m połączono szeregowo. Zastępczy współczynnik sprężystości wynosi:
11. Całkowita energia oscylatora wynosi $E_c=1{,}8$ J. Przy wychyleniu $x=\frac{1}{3}A$ energia potencjalna jest równa:
12. Oscylator o energii całkowitej $E_c=5{,}0$ J drga na układzie sprężyn o zastępczym $k_z=40$ N/m. Amplituda drgań wynosi:
Zadania do samodzielnego rozwiązania (ze wskazówkami)
Zadanie 1. Masa drga na poziomej sprężynie o współczynniku sprężystości $k = 50\text{ N/m}$ z amplitudą $A = 20\text{ cm} = 0{,}20\text{ m}$. Ile wynosi całkowita energia mechaniczna $E_c$ tego oscylatora?
Wskazówka 1 — od czego zacząć?
Zamień amplitudę na metry ($A = 0{,}20\text{ m}$) i podstaw do wzoru $E_c = \frac{1}{2}kA^2$.
Wskazówka 2 — podstawienie liczb
$A^2 = (0{,}20\text{ m})^2 = 0{,}04\text{ m}^2$, więc $E_c = 0{,}5 \cdot 50 \cdot 0{,}04\text{ J}$.
Pełne rozwiązanie krok po kroku
$$E_c = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2} \cdot 50\text{ N/m} \cdot (0{,}20\text{ m})^2 = 25 \cdot 0{,}04\text{ J} = 1{,}0\text{ J}$$
Zadanie 2. W jakiej odległości $|x|$ od położenia równowagi energia kinetyczna ciała drgającego harmonicznie z amplitudą $A = 10\text{ cm}$ stanowi dokładnie $75\%$ jego energii całkowitej ($E_k = \frac{3}{4}E_c$)?
Wskazówka 1 — ile wynosi wówczas energia potencjalna?
Skoro $E_k = \frac{3}{4}E_c$, to energia potencjalna stanowi pozostałą jedną czwartą: $E_p = E_c - E_k = \frac{1}{4}E_c$.
Wskazówka 2 — powiąż $E_p / E_c$ z wychyleniem
$\frac{E_p}{E_c} = \left(\frac{x}{A}\right)^2 = \frac{1}{4} \implies \frac{|x|}{A} = \frac{1}{2}$.
Pełne rozwiązanie krok po kroku
$|x| = \frac{1}{2}A = \frac{1}{2} \cdot 10\text{ cm} = 5\text{ cm}$.
Zadanie 3. Ciężarek o masie $m = 0{,}50\text{ kg}$ drga harmonicznie, a jego całkowita energia mechaniczna wynosi $E_c = 0{,}64\text{ J}$. Ile wynosi maksymalna prędkość $v_{\max}$ tego ciężarka (osiągana w położeniu równowagi)?
Wskazówka 1 — jaka jest energia potencjalna w położeniu równowagi?
W położeniu równowagi $E_p = 0$, więc cała energia mechaniczna ma postać energii kinetycznej: $E_c = E_{k,\max} = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$.
Wskazówka 2 — przekształcenie wzoru
$v_{\max} = \sqrt{\frac{2E_c}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0{,}64}{0{,}50}}$.
Pełne rozwiązanie krok po kroku
$$v_{\max} = \sqrt{\frac{2E_c}{m}} = \sqrt{\frac{1{,}28\text{ J}}{0{,}50\text{ kg}}} = \sqrt{2{,}56}\text{ m/s} = 1{,}6\text{ m/s}$$
Quiz wiedzy — Moduł 09
1. Jeżeli amplitudę drgań harmonicznych tego samego oscylatora zwiększymy trzykrotnie ($A_2 = 3A_1$), to jego całkowita energia mechaniczna $E_c$:
2. Oscylator harmoniczny drga z częstotliwością $f = 3\text{ Hz}$. Z jaką częstotliwością $f_E$ zmienia się jego energia kinetyczna $E_k(t)$?
3. W jakim położeniu $|x|$ energia kinetyczna oscylatora harmonicznego jest dokładnie równa jego energii potencjalnej ($E_k = E_p$)?
4. Wykres zależności całkowitej energii mechanicznej $E_c$ od chwilowego wychylenia $x$ (w przedziale $[-A, +A]$ dla drgań nietłumionych) jest: