MODUŁ 12 · SPRAWDZIAN WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI III · FINAŁ KURSU
Sprawdzian III: energia drgań, rezonans i przekrój całego działu
PPrezentacja dla nauczyciela
Ostatni moduł łączy sprawdzian z bloku III (przemiany energii, tłumienie i rezonans) z przekrojowym podsumowaniem całego kursu ruchu drgającego. Poniższa tabela zbiera wszystkie wzory, które warto mieć w głowie przed sprawdzianem w liceum i maturą z fizyki.
Kompletne kompendium wzorów z ruchu drgającego
| Dział | Najważniejsze wzory | Kluczowe zależności i pułapki |
|---|---|---|
| 1. Wielkości podstawowe | $T = \frac{t}{N} = \frac{1}{f}, \quad \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f, \quad s_1 = 4A$ | Odległość między skrajnymi położeniami to $2A$; czas między sąsiednimi przejściami przez równowagę to $\frac{1}{2}T$. |
| 2. Kinematyka i siła | $x(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0), \quad v_{\max} = \omega A, \quad a_{\max} = \omega^2 A$ $v(x) = \pm\omega\sqrt{A^2 - x^2}, \quad a(x) = -\omega^2 x, \quad F = -kx$ |
Odcinek $0 \to \frac{1}{2}A$ trwa $\frac{T}{12}$, a odcinek $\frac{1}{2}A \to A$ trwa $\frac{T}{6}$. Dla $|x| = 0{,}6A$ mamy $|v| = 0{,}8v_{\max}$. |
| 3. Sprężyny i układy sprężyn | $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{x_0}{g}}, \quad F_{s,\max}^{\text{pion}} = mg + kA$ Równolegle: $k_z = k_1 + k_2$, Szeregowo: $\frac{1}{k_z} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$ |
Wózek między dwiema sprężynami ma $k_z = k_1 + k_2$. Przecięcie sprężyny na $n$ równych części daje $k' = n\cdot k$. |
| 4. Wahadło matematyczne | $F_s \approx -\frac{mg}{l}x, \quad T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}, \quad g = \frac{4\pi^2 l}{T^2}$ | Okres małych wahań nie zależy od masy $m$ ani amplitudy. W windzie $g_{\text{ef}} = g \pm a_w$. |
| 5. Energia i rezonans | $E_p = \frac{1}{2}kx^2, \quad E_k = \frac{1}{2}mv^2, \quad E_c = \frac{1}{2}kA^2 = \text{const}$ Rezonans: $f_w \approx f_0, \quad v_{\text{rez}} = d \cdot f_0 = \frac{d}{T_0}$ |
$E_k = E_p$ dla $|x| = \frac{A}{\sqrt{2}}$ (po czasie $\frac{T}{8}$ od $x=0$). Częstotliwość zmian energii wynosi $2f$. |
Część 1 — Zadania przekrojowe (ze wskazówkami)
Zadanie 1. Ciało drga harmonicznie z amplitudą $A = 12\text{ cm}$. W jakiej odległości $|x|$ od położenia równowagi energia kinetyczna tego ciała jest dokładnie trzy razy większa od jego energii potencjalnej ($E_k = 3E_p$)?
Wskazówka 1 — zapisz energię całkowitą przez $E_p$
Skoro $E_c = E_p + E_k$, a $E_k = 3E_p$, to $E_c = 4E_p \implies \frac{E_p}{E_c} = \frac{1}{4}$.
Wskazówka 2 — powiąż ułamek energii z wychyleniem
Ponieważ $\frac{E_p}{E_c} = \left(\frac{x}{A}\right)^2 = \frac{1}{4}$, mamy $|x| = \frac{1}{2}A$.
Pełne rozwiązanie krok po kroku
$$E_c = E_p + 3E_p = 4E_p \implies \left(\frac{x}{A}\right)^2 = \frac{1}{4} \implies |x| = \frac{1}{2}A = 6\text{ cm}$$
Zadanie 2. Ciężarek o masie $m = 0{,}20\text{ kg}$ drga na poziomej sprężynie zgodnie z równaniem $x(t) = 0{,}10\sin(5t)\text{ [m]}$. Ile wynosi całkowita energia mechaniczna $E_c$ tego oscylatora?
Wskazówka 1 — odczytaj $A$ i $\omega$ z równania ruchu
Z równania mamy $A = 0{,}10\text{ m}$ oraz $\omega = 5\text{ rad/s}$.
Wskazówka 2 — użyj wzoru na energię całkowitą przez $m, \omega, A$
$E_c = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}20 \cdot 5^2 \cdot (0{,}10)^2\text{ J}$.
Pełne rozwiązanie krok po kroku
$$E_c = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 = 0{,}5 \cdot 0{,}20\text{ kg} \cdot 25\text{ s}^{-2} \cdot 0{,}01\text{ m}^2 = 0{,}025\text{ J} = 25\text{ mJ}$$
Zadanie 3. Dwa wahadła sprężynowe mają jednakowe sprężyny ($k_1 = k_2 = k$) i drgają z jednakowymi amplitudami ($A_1 = A_2 = A$), ale masa pierwszego ciężarka jest cztery razy większa od masy drugiego ($m_1 = 4m_2$). Porównaj całkowite energie mechaniczne obu oscylatorów ($E_{c1}$ i $E_{c2}$) oraz ich maksymalne prędkości ($v_{\max 1}$ i $v_{\max 2}$).
Wskazówka 1 — od czego zależy energia całkowita $E_c = \frac{1}{2}kA^2$?
We wzorze $E_c = \frac{1}{2}kA^2$ nie ma masy $m$! Skoro $k$ i $A$ są takie same, to energie całkowite obu układów są równe.
Wskazówka 2 — porównaj prędkości maksymalne
Skoro $\frac{1}{2}m_1 v_{\max 1}^2 = \frac{1}{2}m_2 v_{\max 2}^2$ oraz $m_1 = 4m_2$, to cięższy ciężarek musi mieć dwukrotnie mniejszą prędkość maksymalną.
Pełne rozwiązanie krok po kroku
1. $E_{c1} = E_{c2} = \frac{1}{2}kA^2$.
2. $v_{\max 1} = \frac{1}{2}v_{\max 2}$ (bo $\omega_1 = \sqrt{k/(4m_2)} = \frac{1}{2}\omega_2$).
2. $v_{\max 1} = \frac{1}{2}v_{\max 2}$ (bo $\omega_1 = \sqrt{k/(4m_2)} = \frac{1}{2}\omega_2$).
Zadanie 4. Po ilu pełnych wahaniach amplituda drgań słabo tłumionych spadnie do $\frac{1}{4}$ wartości początkowej, jeśli w każdym pojedynczym pełnym wahaniu amplituda maleje o $50\%$ (czyli po jednym okresie stanowi $\frac{1}{2}$ poprzedniej wartości)? Jaki ułamek początkowej energii mechanicznej pozostanie wówczas w układzie?
Wskazówka 1 — policz liczbę okresów dla spadku amplitudy do $\frac{1}{4}A_0$
Po pierwszym okresie $A_1 = \frac{1}{2}A_0$, a po drugim okresie $A_2 = \frac{1}{2}A_1 = \frac{1}{4}A_0$.
Wskazówka 2 — policz ułamek pozostałej energii
Ponieważ $E \propto A^2$, dla $A_2 = \frac{1}{4}A_0$ mamy $\frac{E_2}{E_0} = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$.
Pełne rozwiązanie krok po kroku
Po $N = 2$ pełnych wahaniach amplituda wynosi $\frac{1}{4}A_0$, a w układzie pozostaje $\left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$ (czyli $6{,}25\%$) początkowej energii mechanicznej.
Zadanie 5. Człowiek niesie na sztywnym nosidle dwa wiadra z wodą zawieszone na sprężystych pałąkach, których okres drgań własnych wynosi $T_0 = 0{,}80\text{ s}$. Długość jednego kroku człowieka wynosi $d = 0{,}60\text{ m}$. Przy jakiej prędkości marszu $v_{\text{rez}}$ woda zacznie najsilniej wychlapywać się z wiader wskutek rezonansu?
Wskazówka 1 — warunek rezonansu podczas marszu
Woda rozkołysze się najsilniej, gdy czas trwania jednego kroku $T_w = \frac{d}{v}$ będzie równy okresowi drgań własnych $T_0$.
Wskazówka 2 — podstawienie liczb
$v_{\text{rez}} = \frac{d}{T_0} = \frac{0{,}60\text{ m}}{0{,}80\text{ s}}$.
Pełne rozwiązanie krok po kroku
$$v_{\text{rez}} = \frac{d}{T_0} = \frac{0{,}60\text{ m}}{0{,}80\text{ s}} = 0{,}75\text{ m/s} = 2{,}7\text{ km/h}$$
Część 2 — Przekrojowy sprawdzian wiedzy (moduły 01–12)
1. W ciągu jednego pełnego okresu drgań harmonicznych $T$ energia kinetyczna i energia potencjalna zrównują się ze sobą ($E_k = E_p$):
2. Kiedy w ruchu harmonicznym wartość przyspieszenia ciała rośnie?
3. Dwie identyczne sprężyny o współczynniku $k$ połączono najpierw równolegle, a potem szeregowo, i w obu przypadkach rozciągnięto cały układ o to samo całkowite wydłużenie $x$. W którym układzie zgromadzona energia potencjalna sprężystości jest większa i ile razy?
4. Przesunięcie fazowe pomiędzy wychyleniem $x(t) = A\sin(\omega t)$ a przyspieszeniem $a(t) = -\omega^2 A\sin(\omega t)$ wynosi:
5. Jeżeli długość wahadła matematycznego zmniejszymy o $19\%$ (czyli $l_2 = 0{,}81\,l_1$), to okres jego małych drgań:
6. Zjawisko rezonansu mechanicznego zachodzi wówczas, gdy:
7. Ciężarek na sprężynie wykonuje drgania harmoniczne o okresie $T = 0{,}4\text{ s}$. Z jakim okresem $T_E$ zmienia się jego energia potencjalna sprężystości?
8. W chwili, gdy prędkość ciała w ruchu harmonicznym wynosi $v = \frac{1}{2}v_{\max}$, jego energia kinetyczna stanowi: