MODUŁ 04 · SPRAWDZIAN WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI I
Sprawdzian I: opis, kinematyka i siła w ruchu harmonicznym (moduły 01–03)
PPrezentacja dla nauczyciela
Pierwszy sprawdzian zamyka blok poświęcony ogólnemu opisowi drgań. Zanim przejdziesz do zadań i pytań, przejrzyj syntetyczną ściągę wzorów z modułów 01–03. Pamiętaj: w zadaniach rachunkowych zawsze możesz skorzystać z rozwijanych wskazówek.
Podsumowanie wzorów z modułów 01–03
| Zagadnienie | Wzory maturalne | Najważniejsza uwaga / pułapka |
|---|---|---|
| Okres, częstotliwość i droga | $T = \frac{t}{N} = \frac{1}{f}, \quad f = \frac{N}{t} = \frac{1}{T}, \quad \Delta T = \frac{\Delta t}{N}, \quad s_1 = 4A$ | Odległość między skrajnymi położeniami to $2A$; czas między sąsiednimi przejściami przez równowagę to $\frac{1}{2}T$. |
| Pulsacja i wychylenie | $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f, \quad x(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0)$ | Przejście $0 \to \frac{1}{2}A$ trwa $\frac{T}{12}$, a przejście $\frac{1}{2}A \to A$ trwa $\frac{T}{6}$ (dwa razy dłużej!). |
| Prędkość w ruchu harmonicznym | $v(t) = \omega A\cos(\omega t + \varphi_0), \quad v_{\max} = \omega A, \quad v(x) = \pm\omega\sqrt{A^2 - x^2}$ | Maksymalna w położeniu równowagi ($x = 0$), zerowa w punktach zwrotnych ($x = \pm A$). |
| Przyspieszenie i siła zwrotna | $a(x) = -\omega^2 x, \quad a_{\max} = \omega^2 A, \quad F(x) = -kx = -m\omega^2 x$ | Zawsze zwrócone ku położeniu równowagi; zerowe w $x = 0$, maksymalne w $x = \pm A$. |
Część 1 — Zadania rachunkowe (ze wskazówkami)
Zadanie 1. Punkt materialny wykonuje drgania harmoniczne o okresie $T = 2\text{ s}$ i w czasie $t = 6\text{ s}$ pokonuje łączną drogę $s = 0{,}60\text{ m}$. W chwili początkowej $t = 0$ punkt przechodził przez położenie równowagi w stronę dodatnią. Które równanie poprawnie opisuje ruch $x(t)$ tego punktu w jednostkach SI?
Wskazówka 1 — jak wyznaczyć amplitudę z przebytej drogi?
Oblicz, ile pełnych okresów ($N = t/T$) mieści się w czasie $6\text{ s}$. W każdym pełnym okresie ciało pokonuje drogę $4A$, więc całkowita droga to $s = N \cdot 4A$.
Wskazówka 2 — wyznaczenie pulsacji $\omega$ i fazy początkowej $\varphi_0$
$N = \frac{6\text{ s}}{2\text{ s}} = 3$, zatem $12A = 0{,}60\text{ m} \implies A = 0{,}05\text{ m}$. Pulsacja $\omega = \frac{2\pi}{T} = \pi\text{ rad/s}$, a start z $x = 0$ w stronę dodatnią oznacza $\varphi_0 = 0$.
Pełne rozwiązanie krok po kroku
1. Liczba okresów: $N = \frac{6\text{ s}}{2\text{ s}} = 3$.
2. Amplituda: $A = \frac{s}{4N} = \frac{0{,}60\text{ m}}{12} = 0{,}05\text{ m}$.
3. Częstość kołowa: $\omega = \frac{2\pi}{2\text{ s}} = \pi\text{ rad/s}$.
4. Równanie ruchu: $x(t) = 0{,}05\sin(\pi t)\text{ [m]}$.
2. Amplituda: $A = \frac{s}{4N} = \frac{0{,}60\text{ m}}{12} = 0{,}05\text{ m}$.
3. Częstość kołowa: $\omega = \frac{2\pi}{2\text{ s}} = \pi\text{ rad/s}$.
4. Równanie ruchu: $x(t) = 0{,}05\sin(\pi t)\text{ [m]}$.
Zadanie 2. W ruchu harmonicznym o amplitudzie $A = 0{,}10\text{ m}$ stosunek maksymalnego przyspieszenia do maksymalnej prędkości wynosi $\frac{a_{\max}}{v_{\max}} = 2\text{ s}^{-1}$. Ile wynoszą częstość kołowa $\omega$ oraz prędkość maksymalna $v_{\max}$?
Wskazówka 1 — od czego zacząć?
Podstaw do ilorazu $\frac{a_{\max}}{v_{\max}}$ wzory $a_{\max} = \omega^2 A$ oraz $v_{\max} = \omega A$.
Wskazówka 2 — uproszczenie ułamka
$\frac{a_{\max}}{v_{\max}} = \frac{\omega^2 A}{\omega A} = \omega$. Zatem ten iloraz jest po prostu równy częstości kołowej $\omega$!
Pełne rozwiązanie krok po kroku
1. $\omega = \frac{a_{\max}}{v_{\max}} = 2\text{ rad/s}$.
2. $v_{\max} = \omega A = 2\text{ rad/s} \cdot 0{,}10\text{ m} = 0{,}20\text{ m/s}$.
2. $v_{\max} = \omega A = 2\text{ rad/s} \cdot 0{,}10\text{ m} = 0{,}20\text{ m/s}$.
Zadanie 3. Ciało o masie $m = 0{,}20\text{ kg}$ drga zgodnie z równaniem $x(t) = 0{,}15\cos(10t)\text{ [m]}$. Ile wynosi wartość siły wypadkowej działającej na to ciało w chwili, gdy przechodzi ono przez punkt o współrzędnej $x = -0{,}04\text{ m}$?
Wskazówka 1 — jaki wzór łączy siłę bezpośrednio z położeniem $x$?
Nie musisz wyznaczać czasu $t$! Skorzystaj ze wzoru $F(x) = -m\omega^2 x$, odczytując $\omega$ wprost z równania ruchu.
Wskazówka 2 — podstawienie danych
Z równania $x(t) = 0{,}15\cos(10t)$ odczytujemy $\omega = 10\text{ rad/s}$. Podstaw $m = 0{,}20\text{ kg}$, $\omega^2 = 100\text{ s}^{-2}$ oraz $|x| = 0{,}04\text{ m}$.
Pełne rozwiązanie krok po kroku
$|F| = m\omega^2 |x| = 0{,}20\text{ kg} \cdot (10\text{ s}^{-1})^2 \cdot 0{,}04\text{ m} = 20\text{ N/m} \cdot 0{,}04\text{ m} = 0{,}80\text{ N}$ (siła zwrócona jest w stronę dodatnią, ku położeniu równowagi).
Zadanie 4. Ciało drgające harmonicznie o okresie $T = 0{,}60\text{ s}$ rusza w chwili $t = 0$ z położenia równowagi ($x = 0$). Po jakim najkrótszym czasie $t_1$ wartość jego przyspieszenia będzie równa połowie wartości maksymalnej ($|a| = \frac{1}{2}a_{\max}$)?
Wskazówka 1 — jak powiązać przyspieszenie z wychyleniem?
Ponieważ $|a| = \omega^2 |x|$ oraz $a_{\max} = \omega^2 A$, warunek $|a| = \frac{1}{2}a_{\max}$ zachodzi dokładnie wtedy, gdy $|x| = \frac{1}{2}A$.
Wskazówka 2 — ułamek okresu dla $x = \frac{1}{2}A$
Dla ruchu startującego z $x = 0$ ($\varphi_0 = 0$) mamy $\sin(\omega t_1) = \frac{1}{2} \implies \omega t_1 = \frac{\pi}{6} \implies t_1 = \frac{T}{12}$.
Pełne rozwiązanie krok po kroku
$t_1 = \frac{T}{12} = \frac{0{,}60\text{ s}}{12} = 0{,}05\text{ s}$.
Część 2 — Sprawdzian wiedzy (moduły 01–03)
1. Ciało drga z okresem $T = 0{,}8\text{ s}$. W jakim najkrótszym odstępie czasu mijają po sobie dwa kolejne momenty, w których prędkość ciała jest równa zeru?
2. Kiedy wektory prędkości $\vec{v}$ oraz przyspieszenia $\vec{a}$ w ruchu harmonicznym mają ten sam zwrot?
3. Dwa oscylatory drgają zgodnie z równaniami $x_1(t) = A\sin(\omega t)$ oraz $x_2(t) = A\cos(\omega t)$. Różnica faz między tymi drganiami wynosi:
4. Jeżeli częstotliwość drgań harmonicznych wzrośnie dwukrotnie przy niezmienionej amplitudzie $A$, to maksymalne przyspieszenie $a_{\max}$:
5. W jakiej odległości $x$ od położenia równowagi wartość siły zwrotnej działającej na ciało stanowi dokładnie $25\%$ wartości maksymalnej $F_{\max}$?
6. Uczennica zwiększyła liczbę mierzonych stoperem cykli z $N_1 = 10$ do $N_2 = 50$ przy tej samej niepewności włączenia/wyłączenia stopera $\Delta t = 0{,}2\text{ s}$. Niepewność bezwzględna wyznaczonego okresu $\Delta T$: