← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit
Materiał edukacyjny · Fizyka · Liceum

MODUŁ 10 · BLOK III: ENERGIA DRGAŃ I REZONANS

Bilans energii sprężyny pionowej i wahadła matematycznego

PPrezentacja dla nauczyciela

W sprężynie poziomej zmieniała się tylko energia sprężystości i kinetyczna. Co jednak zrobić, gdy ciężarek drga w pionie (gdzie zmienia się też wysokość, a więc energia potencjalna grawitacji) albo gdy badamy wahadło matematyczne (gdzie nie ma żadnej sprężyny)? Zobaczmy, jak oba przypadki prowadzą do tych samych eleganckich wzorów.

Masa na sprężynie drgająca w pionie — trzy energie w jednej

Gdy ciało o masie $m$ wisi na pionowej sprężynie, w położeniu równowagi sprężyna jest już wydłużona o $x_0 = \frac{mg}{k}$ (czyli $kx_0 = mg$). Całkowita energia mechaniczna jest sumą trzech składników: energii kinetycznej $E_k$, energii potencjalnej sprężystości $E_{\text{spr}}$ oraz energii potencjalnej grawitacji $E_{\text{graw}}$:

$$E_c = E_k + E_{\text{spr}} + E_{\text{graw}}$$

Oznaczmy przez $x$ chwilowe wychylenie w dół od położenia równowagi. Wówczas całkowite wydłużenie sprężyny wynosi $x_0 + x$, a wysokość ciała maleje o $x$. Zapiszmy sumę energii sprężystości i grawitacji (przyjmując poziom odniesienia grawitacji tak, by wyrazy stałe się uprościły, np. w połowie odcinka $x_0$):

$$E_{\text{spr}} + E_{\text{graw}} = \frac{1}{2}k(x_0 + x)^2 - mg\left(\frac{1}{2}x_0 + x\right) = \frac{1}{2}kx_0^2 + kx_0 x + \frac{1}{2}kx^2 - \frac{1}{2}mgx_0 - mgx$$

Ponieważ w położeniu równowagi $kx_0 = mg$, wyrazy liniowe $kx_0 x - mgx$ oraz stałe $\frac{1}{2}kx_0^2 - \frac{1}{2}mgx_0$ dokładnie się redukują! Otrzymujemy:

Bilans energii dla sprężyny pionowej (mierzony od położenia równowagi): $$E_p^{\text{ef}}(x) = \frac{1}{2}kx^2, \qquad E_k = \frac{1}{2}mv^2, \qquad E_c = \frac{1}{2}kA^2 = \text{const}$$ Mierząc wychylenie $x$ od położenia równowagi, możemy korzystać z dokładnie tego samego wzoru $E_c = \frac{1}{2}kA^2$ co dla sprężyny poziomej!
1. W pionowym układzie masa–sprężyna położenie równowagi odpowiada wydłużeniu sprężyny:
2. Dzięki czemu w drganiach pionowych wolno stosować wzór $E_c=\frac{1}{2}kA^2$ z wychyleniem mierzonym od położenia równowagi?
3. Przy wychyleniu $x$ od położenia równowagi efektywna energia potencjalna drgań pionowych wynosi:

Energia wahadła matematycznego — wzór dokładny i przybliżony

W wahadle matematycznym o długości $l$ jedyną energią potencjalną jest energia potencjalna grawitacji $E_p = mgh$, gdzie $h$ to wysokość kulki ponad najniższym położeniem (poziomem równowagi).

Z trójkąta prostokątnego utworzonego przez odchyloną nić o długości $l$, pionowy odcinek $(l - h)$ oraz poziome wychylenie $x$ otrzymujemy dwa wzory na wysokość $h$:

1. Wzór dokładny (dla dowolnego kąta odchylenia $\alpha$): $$h = l(1 - \cos\alpha), \qquad E_p = mgl(1 - \cos\alpha), \qquad v_{\max} = \sqrt{2gh_{\max}} = \sqrt{2gl(1 - \cos\alpha_0)}$$ 2. Przybliżenie małych wychyleń ($x \ll l$, z twierdzenia Pitagorasa $(l-h)^2 + x^2 = l^2$): $$l^2 - 2lh + h^2 + x^2 = l^2 \quad \xrightarrow{h^2 \approx 0} \quad 2lh \approx x^2 \implies h \approx \frac{x^2}{2l}$$ Podstawiając $h \approx \frac{x^2}{2l}$ do $E_p = mgh$ i pamiętając, że $\omega^2 = \frac{g}{l}$, dostajemy: $$E_p(x) = mgh \approx \frac{1}{2}\left(\frac{mg}{l}\right)x^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2, \qquad E_c = \frac{1}{2}\left(\frac{mg}{l}\right)A^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2$$
4. Dokładna wysokość, na jaką wznosi się kulka wahadła o długości $l$ odchylonego o kąt $\alpha$ od pionu, wynosi:
5. Dla małych wychyleń ($x\ll l$) przybliżona wysokość uniesienia kulki to:
6. Wzór $E_p(x)=\frac{1}{2}m\omega^2x^2$ dla wahadła otrzymujemy, podstawiając do $E_p=mgh$:

Interaktywna symulacja: geometria wysokości $h$ i przemiany energii wahadła

Obserwuj trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej $l$ i przyprostokątnych $(l - h)$ oraz $x$, a obok — słupki energii potencjalnej $E_p = mgh$ i kinetycznej $E_k = \frac{1}{2}mv^2$.

35°
7. W trójkącie prostokątnym pokazanym na symulacji przeciwprostokątną i przyprostokątnymi są odpowiednio:
8. Po przesunięciu suwaka kąta maksymalnego z $10^\circ$ do $60^\circ$ energia potencjalna w skrajnym położeniu:
9. W najniższym punkcie toru w symulacji słupki energii pokazują:

Przykładowe problemy z rozwiązaniem krok po kroku

Przykład 1 — Energia całkowita sprężyny pionowej z wydłużenia statycznego

Treść: Zawieszenie ciężarka o masie $m = 0{,}05\text{ kg}$ na pionowej sprężynie spowodowało jej wydłużenie w stanie równowagi o $x_0 = 2\text{ cm} = 0{,}02\text{ m}$ ($g = 9{,}81\text{ m/s}^2$). Następnie ciężarek wprawiono w drgania pionowe o amplitudzie $A = 5\text{ cm} = 0{,}05\text{ m}$. Oblicz całkowitą energię mechaniczną $E_c$ tego oscylatora.

Rozwiązanie krok po kroku:
1. Z warunku równowagi $mg = kx_0$ wyznaczamy współczynnik sprężystości $k$: $$k = \frac{mg}{x_0} = \frac{0{,}05\text{ kg} \cdot 9{,}81\text{ m/s}^2}{0{,}02\text{ m}} = 24{,}525\text{ N/m}$$ 2. Obliczamy całkowitą energię drgań wokół położenia równowagi: $$E_c = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2} \cdot 24{,}525\text{ N/m} \cdot (0{,}05\text{ m})^2 \approx 0{,}0307\text{ J} \approx 30{,}7\text{ mJ}$$

Przykład 2 — Czas, po którym $E_k = E_p$ w wahadle matematycznym

Treść: Wahadło matematyczne o długości $l = 0{,}20\text{ m}$ ($g = 9{,}81\text{ m/s}^2$) rozpoczęło ruch z położenia równowagi w chwili $t = 0$. Po jakim najkrótszym czasie $t_1$ jego energia kinetyczna i energia potencjalna będą sobie równe ($E_k = E_p$)?

Rozwiązanie krok po kroku:
1. Obliczamy okres wahań wahadła: $$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}20\text{ m}}{9{,}81\text{ m/s}^2}} \approx 0{,}897\text{ s}$$ 2. Dla startu z położenia równowagi ($\varphi_0 = 0$) mamy $E_p = E_c\sin^2(\omega t)$ oraz $E_k = E_c\cos^2(\omega t)$. Równość $E_p = E_k$ zachodzi po raz pierwszy dla kąta fazy $\omega t_1 = \frac{\pi}{4}\text{ rad}$ ($45^\circ$), czyli po jednej ósmej okresu: $$t_1 = \frac{T}{8} \approx \frac{0{,}897\text{ s}}{8} \approx 0{,}112\text{ s}$$
10. Ciężarek $m=0{,}05$ kg zawieszony na sprężynie wydłuża ją o $x_0=0{,}02$ m ($g=9{,}81$ m/s²). Współczynnik sprężystości wynosi około:
11. Wahadło o długości $l=0{,}20$ m ($g=9{,}81$ m/s²) ma okres małych drgań równy około:
12. Wahadło z przykładu 2 startuje z położenia równowagi. Najkrótszy czas, po którym $E_k=E_p$, wynosi:

Zadania do samodzielnego rozwiązania (ze wskazówkami)

Zadanie 1. Kulkę wahadła o długości $l = 0{,}80\text{ m}$ odchylono od pionu o kąt $\alpha_0 = 60^\circ$ i puszczono swobodnie (przyjmij $g = 10\text{ m/s}^2$). Ile wynosi maksymalna prędkość $v_{\max}$ kulki podczas przechodzenia przez najniższe położenie?
Wskazówka 1 — dlaczego tu stosujemy wzór dokładny?
Kąt $60^\circ$ jest dużym kątem, więc korzystamy z dokładnego wzoru geometrycznego na wysokość $h_{\max} = l(1 - \cos 60^\circ)$ oraz zasady zachowania energii $mgh_{\max} = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$.
Wskazówka 2 — oblicz wysokość $h_{\max}$
Ponieważ $\cos 60^\circ = 0{,}5$, mamy $h_{\max} = 0{,}80\text{ m} \cdot (1 - 0{,}5) = 0{,}40\text{ m}$.
Pełne rozwiązanie krok po kroku
$$v_{\max} = \sqrt{2gh_{\max}} = \sqrt{2 \cdot 10\text{ m/s}^2 \cdot 0{,}40\text{ m}} = \sqrt{8}\text{ m/s} \approx 2{,}83\text{ m/s}$$
Zadanie 2. Wahadło matematyczne o długości $l = 1{,}0\text{ m}$ wykonuje małe drgania o amplitudzie łukowej $A = 8\text{ cm} = 0{,}08\text{ m}$. O jaką wysokość $h_{\max}$ unosi się kulka w skrajnym położeniu względem najniższego punktu toru?
Wskazówka 1 — użyj przybliżenia dla małych wychyleń
Dla małych wychyleń ($A \ll l$) wysokość uniesienia wyraża się wzorem $h_{\max} \approx \frac{A^2}{2l}$.
Wskazówka 2 — podstawienie liczb w metrach
$h_{\max} = \frac{(0{,}08\text{ m})^2}{2 \cdot 1{,}0\text{ m}} = \frac{0{,}0064}{2}\text{ m}$.
Pełne rozwiązanie krok po kroku
$$h_{\max} \approx \frac{A^2}{2l} = \frac{0{,}0064\text{ m}^2}{2{,}0\text{ m}} = 0{,}0032\text{ m} = 3{,}2\text{ mm}$$
Zadanie 3. Ciężarek zawieszony na pionowej sprężynie rozciąga ją w stanie równowagi o $x_0 = 4\text{ cm}$, a jego ciężar wynosi $mg = 2{,}0\text{ N}$. Następnie wprawiono go w drgania pionowe o amplitudzie $A = 4\text{ cm}$ (równej $x_0$). Ile wynosi całkowita energia mechaniczna drgań $E_c$ (mierzona względem położenia równowagi)?
Wskazówka 1 — wyznacz $k$ lub użyj iloczynu $kx_0 = mg$
Skoro $A = x_0 = 0{,}04\text{ m}$ oraz $kA = kx_0 = mg = 2{,}0\text{ N}$, to wzór $E_c = \frac{1}{2}kA^2$ można zapisać jako $E_c = \frac{1}{2}(kA)\cdot A$.
Wskazówka 2 — podstawienie liczb
$E_c = \frac{1}{2} \cdot 2{,}0\text{ N} \cdot 0{,}04\text{ m}$.
Pełne rozwiązanie krok po kroku
1. $k = \frac{mg}{x_0} = \frac{2{,}0\text{ N}}{0{,}04\text{ m}} = 50\text{ N/m}$.
2. $E_c = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2} \cdot 50\text{ N/m} \cdot (0{,}04\text{ m})^2 = 0{,}04\text{ J} = 40\text{ mJ}$.

Quiz wiedzy — Moduł 10

1. W ruchu ciężarka na pionowej sprężynie energia potencjalna sprężystości samej sprężyny ($\frac{1}{2}k\Delta l^2$) jest największa:
2. Dla małych wychyleń wahadła matematycznego maksymalna wysokość uniesienia kulki $h_{\max} \approx \frac{A^2}{2l}$ jest proporcjonalna do:
3. W którym punkcie toru siła naciągu nici $F_n$ wahadła matematycznego osiąga największą wartość?
4. Po jakim najkrótszym czasie od momentu przejścia przez położenie równowagi energia kinetyczna oscylatora harmonicznego zrównuje się z jego energią potencjalną ($E_k = E_p$)?

Materiały edukacyjne Hyżyk · Kurs Fizyki: Ruch drgający