W budowie
Prezentacja modułu

Moduł 10 — Bilans energii sprężyny pionowej i wahadła — kurs Ruch drgający

Moduł 10 kursu Ruch drgający: bilans trzech energii dla sprężyny pionowej, energia potencjalna grawitacji wahadła matematycznego h = l(1 − cos α) ≈ x²/(2l) i wyznaczanie prędkości maksymalnej.

  • 45 min
  • 11 slajdów
  • Notatki nauczyciela: N
  • Strona modułu: otwórz
Plan · 45 min

Co dziś robimy

  1. 9 minMasa na sprężynie drgająca w pionie — trzy energie w jednej Ponieważ w położeniu równowagi $kx_0 = mg$, wyrazy liniowe $kx_0 x - mgx$ oraz stałe…
  2. 10 minEnergia wahadła matematycznego — wzór dokładny i przybliżony Z trójkąta prostokątnego utworzonego przez odchyloną nić o długości $l$, pionowy odcinek…
  3. 9 minInteraktywna symulacja: geometria wysokości $h$ i przemiany energii wahadła teza, kod i pytanie kontrolne
  4. 10 minPrzykładowe problemy z rozwiązaniem krok po kroku Treść: Wahadło matematyczne o długości $l = 0{,}20\text{ m}$ ($g = 9{,}81\text{ m/s}^2$)…
  5. 5 minPodsumowanie bilet wyjściowy i zadanie domowe
Atom 1 z 4 · ~9 min

Masa na sprężynie drgająca w pionie — trzy energie w jednej

Gdy ciało o masie $m$ wisi na pionowej sprężynie, w położeniu równowagi sprężyna jest już wydłużona o $x_0 = \frac{mg}{k}$ (czyli $kx_0 = mg$). Całkowita energia mechaniczna jest sumą trzech składników: energii kinetycznej $E_k$, energii…

  • Ponieważ w położeniu równowagi $kx_0 = mg$, wyrazy liniowe $kx_0 x - mgx$ oraz stałe $\frac{1}{2}kx_0^2 - \frac{1}{2}mgx_0$ dokładnie się redukują !
  • Oznaczmy przez $x$ chwilowe wychylenie w dół od położenia równowagi.
  • Wówczas całkowite wydłużenie sprężyny wynosi $x_0 + x$, a wysokość ciała maleje o $x$.
Bilans energii dla sprężyny pionowej (mierzony od położenia równowagi): $$E_p^{\text{ef}}(x) = \frac{1}{2}kx^2, \qquad E_k = \frac{1}{2}mv^2, \qquad E_c = \frac{1}{2}kA^2 = \text{const}$$ Mierząc wychylenie $x$ od położenia równowagi, możemy korzystać z dokładnie tego samego wzoru $E_c = \frac{1}{2}kA^2$ co dla sprężyny poziomej!
Sprawdzenie · atom 1 · ~3 min

Pytanie do klasy

W pionowym układzie masa–sprężyna położenie równowagi odpowiada wydłużeniu sprężyny:

Atom 2 z 4 · ~10 min

Energia wahadła matematycznego — wzór dokładny i przybliżony

W wahadle matematycznym o długości $l$ jedyną energią potencjalną jest energia potencjalna grawitacji $E_p = mgh$, gdzie $h$ to wysokość kulki ponad najniższym położeniem (poziomem równowagi).

  • Z trójkąta prostokątnego utworzonego przez odchyloną nić o długości $l$, pionowy odcinek $(l - h)$ oraz poziome wychylenie $x$ otrzymujemy dwa wzory na wysokość $h$:
1. Wzór dokładny (dla dowolnego kąta odchylenia $\alpha$): $$h = l(1 - \cos\alpha), \qquad E_p = mgl(1 - \cos\alpha), \qquad v_{\max} = \sqrt{2gh_{\max}} = \sqrt{2gl(1 - \cos\alpha_0)}$$ 2. Przybliżenie małych wychyleń ($x \ll l$, z twierdzenia Pitagorasa $(l-h)^2 + x^2 = l^2$): $$l^2 - 2lh + h^2 + x^2 = l^2 \quad \xrightarrow{h^2 \approx 0} \quad 2lh \approx x^2 \implies h \approx \frac{x^2}{2l}$$ Podstawiając $h \approx \frac{x^2}{2l}$ do $E_p = mgh$ i pamiętając, że $\omega^2 = \frac{g}{l}$, dostajemy: $$E_p(x) = mgh \approx \frac{1}{2}\left(\frac{mg}{l}\right)x^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2, \qquad E_c = \frac{1}{2}\left(\frac{mg}{l}\right)A^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2$$
Sprawdzenie · atom 2 · ~3 min

Pytanie do klasy

Dokładna wysokość, na jaką wznosi się kulka wahadła o długości $l$ odchylonego o kąt $\alpha$ od pionu, wynosi:

Symulacja · atom 3 · ~6 min

Interaktywna symulacja: geometria wysokości $h$ i przemiany energii wahadła

Sprawdzenie · atom 3 · ~3 min

Pytanie do klasy

W trójkącie prostokątnym pokazanym na symulacji przeciwprostokątną i przyprostokątnymi są odpowiednio:

Atom 4 z 4 · ~10 min

Przykładowe problemy z rozwiązaniem krok po kroku

Treść: Zawieszenie ciężarka o masie $m = 0{,}05\text{ kg}$ na pionowej sprężynie spowodowało jej wydłużenie w stanie równowagi o $x_0 = 2\text{ cm} = 0{,}02\text{ m}$ ($g = 9{,}81\text{ m/s}^2$).

  • Treść: Wahadło matematyczne o długości $l = 0{,}20\text{ m}$ ($g = 9{,}81\text{ m/s}^2$) rozpoczęło ruch z położenia równowagi w chwili $t = 0$.
  • Po jakim najkrótszym czasie $t_1$ jego energia kinetyczna i energia potencjalna będą sobie równe ($E_k = E_p$)?
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Z warunku równowagi $mg = kx_0$ wyznaczamy współczynnik sprężystości $k$: $$k = \frac{mg}{x_0} = \frac{0{,}05\text{ kg} \cdot 9{,}81\text{ m/s}^2}{0{,}02\text{ m}} = 24{,}525\text{ N/m}$$ 2. Obliczamy całkowitą energię drgań wokół położenia równowagi: $$E_c = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2} \cdot 24{,}525\text{ N/m} \cdot (0{,}05\text{ m})^2 \approx 0{,}0307\text{ J} \approx 30{,}7\text{ mJ}$$
Sprawdzenie · atom 4 · ~3 min

Pytanie do klasy

Ciężarek $m=0{,}05$ kg zawieszony na sprężynie wydłuża ją o $x_0=0{,}02$ m ($g=9{,}81$ m/s²). Współczynnik sprężystości wynosi około:

Zamknięcie · ~5 min

Co zabrać z lekcji

  • Ponieważ w położeniu równowagi $kx_0 = mg$, wyrazy liniowe $kx_0 x - mgx$ oraz stałe $\frac{1}{2}kx_0^2 - \frac{1}{2}mgx_0$ dokładnie się redukują !
  • Z trójkąta prostokątnego utworzonego przez odchyloną nić o długości $l$, pionowy odcinek $(l - h)$ oraz poziome wychylenie $x$ otrzymujemy dwa wzory na…
  • Interaktywna symulacja: geometria wysokości $h$ i przemiany energii wahadła
  • Treść: Wahadło matematyczne o długości $l = 0{,}20\text{ m}$ ($g = 9{,}81\text{ m/s}^2$) rozpoczęło ruch z położenia równowagi w chwili $t = 0$.
Bilet wyjściowy: Wahadło z przykładu 2 startuje z położenia równowagi. Najkrótszy czas, po którym $E_k=E_p$, wynosi:
Odpowiedź: d) $\frac{T}{8}\approx0{,}112$ s
Hyżyk· Moduł 10 — Bilans energii sprężyny pionowej i wahadła — kurs moduł 1 / 1