MODUŁ 11 · BLOK III: ENERGIA DRGAŃ I REZONANS
Drgania tłumione, wymuszone i rezonans mechaniczny
PPrezentacja dla nauczyciela
W świecie rzeczywistym każde drganie swobodne napotyka opory ruchu, przez co jego amplituda stopniowo maleje — mówimy wtedy o drganiach tłumionych. Aby podtrzymać ruch, musimy okresowo dostarczać energię z zewnątrz (drgania wymuszone). Gdy częstotliwość siły wymuszającej zrówna się z częstotliwością drgań własnych układu, dochodzi do gwałtownego wzrostu amplitudy — rezonansu mechanicznego.
Drgania swobodne a drgania tłumione
Drgania własne (swobodne) to drgania odbywające się wyłącznie pod wpływem wewnętrznej siły zwrotnej układu (np. sprężystości lub grawitacji) po jednorazowym wychyleniu ciała z położenia równowagi. Ich częstotliwość $f_0 = \frac{1}{T_0}$ zależy wyłącznie od parametrów samego układu:
$$f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \quad \text{(sprężyna)}, \qquad f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}} \quad \text{(wahadło matematyczne)}$$Gdy uwzględnimy siłę oporu ośrodka (np. powietrza, cieczy lub tarcia wewnętrznego), układ wykonuje pracę przeciwko siłom oporu i jego energia mechaniczna zamienia się stopniowo w energię wewnętrzną (ciepło). Ponieważ $E_c = \frac{1}{2}kA^2$, utrata energii oznacza malejącą z cyklu na cykl amplitudę $A(t)$:
Przykład z biologii. Błona bębenkowa w uchu reaguje na fale dźwiękowe jak membrana wprawiana w drgania. Gdyby nie była tłumiona, po każdym dźwięku dzwoniłaby jeszcze długo i nakładała się na kolejne bodźce; dzięki oporom ośrodka i tkankom energia drgań szybko zamienia się w ciepło. To dlatego słyszymy krótkie dźwięki jako osobne zdarzenia, a nie jako ciągły pogłos. Tłumienie nie jest więc „usterką” — w układach biologicznych często chroni przed nadmiernymi drganiami.
Drgania wymuszone i rezonans mechaniczny
Jeżeli na drgający układ działa z zewnątrz okresowo zmieniająca się siła wymuszająca o częstotliwości $f_w$, to po krótkim czasie przejściowym układ zaczyna drgać dokładnie z częstotliwością siły wymuszającej ($f = f_w$). Są to drgania wymuszone.
Amplituda takich drgań ustalonych zależy bardzo silnie od tego, jak blisko częstotliwości własnej $f_0$ leży częstotliwość wymuszająca $f_w$:
• Im mniejsze tłumienie, tym wyższy i bardziej ostry jest szczyt krzywej rezonansowej $A(f_w)$.
• Przy bardzo silnym tłumieniu szczyt rezonansowy spłaszcza się i nieznacznie przesuwa w stronę niższych częstotliwości.
Przykład z chemii. W spektroskopii magnetycznego rezonansu jądrowego (NMR) jądra atomów absorbują fale elektromagnetyczne o ściśle określonej częstotliwości, dopasowanej do różnicy energii między ich stanami. Podobnie jak huśtawka, układ „odbiera” energię najskuteczniej wtedy, gdy częstotliwość wymuszania jest zgodna z jego częstotliwością własną. Szerokość linii rezonansowej zależy od tłumienia i oddziaływań z otoczeniem, dlatego NMR dostarcza informacji nie tylko o częstotliwości, ale i o ruchliwości cząsteczek.
W poprzedniej sekcji zobaczyliśmy, że tłumienie odbiera układowi energię i zmniejsza amplitudę. Teraz dodajemy zewnętrzną siłę wymuszającą i sprawdzamy, kiedy ta energia jest dostarczana najefektywniej.
W module 09 przypomnisz sobie, że $E_c\propto A^2$, a w module 10 zobaczysz bilans energii wahadła. Moduł 12 połączy rezonans z zadaniami o energii i drganiach tłumionych.
Technika: strojenie instrumentu polega na zmianie naprężenia lub długości struny tak, aby jej częstotliwość własna zgodziła się z częstotliwością wzorcową. To rezonans wykorzystany celowo, a nie przypadkowa usterka.
Bęben pralki wraz z praniem ma masę $m=12\ \text{kg}$, a zawieszenie ma łączny współczynnik sprężystości $k=4{,}0\ \text{kN/m}$. Przyjmij, że tłumienie jest małe. (a) Oblicz częstotliwość własną układu. (b) Podaj, przy ilu obrotach na minutę wirnik wpadłby w rezonans. (c) Wyjaśnij, dlaczego producent nie pozwala zatrzymywać się na tej prędkości i dlaczego dodaje amortyzatory.
Pokaż przykładowe rozwiązanie i kryteria
Przykład: $f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{4000}{12}}\approx 2{,}91\ \text{Hz}$. Rezonans występuje, gdy częstotliwość wymuszania jest równa $f_0$; wirnik obraca się wtedy z prędkością $n=f_0\cdot 60\approx 175\ \text{obr/min}$. Producent szybko przechodzi przez ten zakres, a amortyzatory zwiększają tłumienie, dzięki czemu szczyt rezonansowy jest niższy i amplituda nie rośnie niebezpiecznie.
Kryteria: (1) pojęcie — uczeń poprawnie nazywa częstotliwość własną, wymuszającą i rezonans; (2) obliczenia — otrzymuje $f_0\approx 2{,}9\ \text{Hz}$ oraz około $175\ \text{obr/min}$, z poprawnym przeliczeniem jednostek; (3) uzasadnienie — wyjaśnia rolę tłumienia i szybkiego przejścia przez rezonans; (4) język — zapisuje tok rozumowania, podaje założenia i formułuje wniosek o bezpieczeństwie.
Rezonans w technice, przyrodzie i zadaniach z pojazdami
- Zastosowania pożyteczne: pudła rezonansowe gitar i skrzypiec, rozbijanie kamieni nerkowych falami ultradźwiękowymi dobranymi do częstotliwości własnej kamienia (litotrypsja), rozhuśtywanie huśtawki.
- Zagrożenia: rozkołysanie mostów przez wiatr lub miarowy krok kolumny wojska (dlatego przed mostem pada komenda „krokiem swobodnym!”), drgania skrzydeł samolotu i fundamentów maszyn.
- Zadania maturalne z płytami drogowymi / torami: gdy pojazd jedzie z prędkością $v$ po płytach betonowych lub progach o długości $d$, koła uderzają w szczeliny co czas $T_w = \frac{d}{v}$. Rezonans zawieszenia następuje wtedy, gdy $T_w = T_0$: $$T_0 = \frac{d}{v_{\text{rez}}} \implies v_{\text{rez}} = \frac{d}{T_0} = d \cdot f_0$$
Przykład z geografii. Podczas trzęsienia ziemi fale sejsmiczne wprawiają w drgania grunt, a miękkie osady mogą wzmacniać drgania o określonej częstotliwości. Budynki o częstotliwości własnej bliskiej częstotliwości drgań podłoża wchodzą w rezonans i wychylają się znacznie mocniej niż sąsiednie. Dlatego po trzęsieniu w Mexico City w 1985 roku najbardziej ucierpiały budynki średniej wysokości, mimo że inne konstrukcje przetrwały. Współczesne normy budowlane uwzględniają zarówno częstotliwość własną budynku, jak i właściwości gruntu.
Interaktywna symulacja: drgania tłumione oraz krzywa rezonansowa $A(f_w)$
Po lewej widzisz przebieg czasowy drgań tłumionych, a po prawej — krzywą rezonansową $A(f_w / f_0)$. Zmieniaj suwakami częstotliwość wymuszającą $f_w / f_0$ oraz współczynnik tłumienia.
W poprzedniej sekcji omówiliśmy przykłady rezonansu w technice i przyrodzie; teraz oglądamy go na wykresie, zmieniając częstotliwość wymuszającą i tłumienie.
W module 09 przypomnisz sobie, dlaczego energia rośnie z kwadratem amplitudy, a w module 10 zobaczysz bilans energii wahadła. Moduł 12 zawiera zadania, w których trzeba odróżnić rezonans od zwykłego wzrostu amplitudy.
Matematyka: krzywa rezonansowa $A(f_w)$ ma maksimum w pobliżu $f_0$; jej kształt opisuje funkcja, która rośnie, osiąga szczyt i maleje — dlatego do opisu rezonansu wystarczy jakościowy wykres, nawet bez znajomości pełnego wzoru.
Przykładowe problemy z rozwiązaniem krok po kroku
Przykład 1 — Rowerzysta na drodze z betonowych płyt
Treść: Chłopiec na rowerze jedzie po drodze ułożonej z betonowych płyt o szerokości $d = 2{,}0\text{ m}$. Łączna masa roweru i chłopca wynosi $m = 50\text{ kg}$, a współczynnik sprężystości zawieszenia to $k = 60\text{ N/m}$. Oblicz częstotliwość drgań własnych $f_0$, przy której zawieszenie wpada w rezonans, oraz prędkość jazdy $v_{\text{rez}}$, przy której to zjawisko wystąpi.
1. Okres i częstotliwość drgań własnych zawieszenia: $$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{50\text{ kg}}{60\text{ N/m}}} \approx 5{,}74\text{ s}, \qquad f_0 = \frac{1}{T_0} \approx 0{,}174\text{ Hz}$$ 2. Prędkość rezonansowa: czas przejazdu przez jedną płytę o długości $d = 2{,}0\text{ m}$ musi być równy okresowi drgań własnych $T_0$: $$v_{\text{rez}} = \frac{d}{T_0} = d \cdot f_0 \approx 2{,}0\text{ m} \cdot 0{,}174\text{ Hz} \approx 0{,}35\text{ m/s}$$
Przykład 2 — Utrata energii mechanicznej w drganiach tłumionych
Treść: Po wykonaniu kilkunastu wahań amplituda drgań tłumionych ciężarka na sprężynie zmalała o połowę ($A_1 = \frac{1}{2}A_0$). Jaki procent początkowej energii mechanicznej został w tym czasie rozproszony w postaci ciepła?
Ponieważ energia oscylatora jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy ($E = \frac{1}{2}kA^2$), po zmniejszeniu amplitudy o połowę pozostała energia stanowi: $$\frac{E_1}{E_0} = \left(\frac{A_1}{A_0}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} = 25\%$$ Zatem w ciepło zamieniło się aż $100\% - 25\% = 75\%$ początkowej energii mechanicznej!
W poprzedniej sekcji zmienialiśmy w symulacji $f_w/f_0$ i tłumienie; teraz przełożyliśmy te zależności na obliczenia z życia: rower, drgania tłumione i prędkość rezonansową.
W module 09 znajdziesz podstawy energii drgań, a w module 10 — bilans energii wahadła. Moduł 12 podsumuje cały dział i pokaże, jak rezonans łączy się z energią i tłumieniem.
Informatyka: modelowanie drgań tłumionych w arkuszu wymaga iteracyjnego odejmowania energii w każdym kroku; bez tego wykres byłby zbyt „idealny” i nie odtwarzałby rzeczywistego zaniku amplitudy.
Zadania do samodzielnego rozwiązania (ze wskazówkami)
Lekka kładka dla pieszych ma masę $m=2000\ \text{kg}$ i sztywność $k=3{,}2\cdot 10^5\ \text{N/m}$. (a) Oblicz jej częstotliwość własną. (b) Piesi idący równym krokiem wywierają na kładkę impulsy o częstotliwości około $2{,}0\ \text{Hz}$. Wyjaśnij, dlaczego może wtedy wystąpić rezonans i dlaczego przejście przez kładkę „w nogę” jest ryzykowne. (c) Podaj dwa sposoby ograniczenia tego zjawiska.
Pokaż przykładowe rozwiązanie i kryteria
Przykład: $f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{3{,}2\cdot 10^5}{2000}}\approx 2{,}01\ \text{Hz}$. Częstotliwość kroków jest bardzo bliska $f_0$, więc każdy krok dostarcza energię w rytmie drgań kładki i amplituda rośnie — to rezonans. Ryzykowne jest równomierne maszerowanie całej grupy, bo wszyscy popychają kładkę w tej samej fazie. Można temu zapobiec, zwiększając tłumienie (amortyzatory), zmieniając sztywność lub masę konstrukcji, a także zalecając pieszym swobodny krok i rozproszenie rytmu.
Kryteria: (1) pojęcie — uczeń poprawnie używa pojęć częstotliwość własna, wymuszająca, rezonans i tłumienie; (2) obliczenia — otrzymuje $f_0\approx 2{,}0\ \text{Hz}$ i porównuje ją z częstotliwością kroków; (3) uzasadnienie — wyjaśnia, dlaczego zgodność częstotliwości prowadzi do wzrostu amplitudy i dlaczego tłumienie pomaga; (4) język — podaje dwa konkretne sposoby ograniczenia zjawiska i uzasadnia je rzeczowo.