W budowie
Pomiń nawigację
Prezentacja modułu

Moduł 11 — Drgania tłumione, wymuszone i rezonans mechaniczny — kurs Ruch drgający

Moduł 11 kursu Ruch drgający: drgania tłumione i zanik amplitudy, drgania własne a wymuszone, krzywa rezonansowa A(f_w) oraz zastosowania i zagrożenia rezonansu.

  • 45 min
  • 14 slajdów
  • Notatki nauczyciela: N
  • Strona modułu: otwórz
Plan · 45 min

Co dziś robimy

  1. 8 minDrgania swobodne a drgania tłumione Gdy uwzględnimy siłę oporu ośrodka (np.
  2. 7 minDrgania wymuszone i rezonans mechaniczny W spektroskopii magnetycznego rezonansu jądrowego (NMR) jądra atomów absorbują fale…
  3. 7 minRezonans w technice, przyrodzie i zadaniach z pojazdami Zastosowania pożyteczne: pudła rezonansowe gitar i skrzypiec, rozbijanie kamieni…
  4. 11 minInteraktywna symulacja: drgania tłumione oraz krzywa rezonansowa $A(f_w)$ Matematyka: krzywa rezonansowa $A(f_w)$ ma maksimum w pobliżu $f_0$; jej kształt opisuje…
  5. 7 minPrzykładowe problemy z rozwiązaniem krok po kroku Treść: Po wykonaniu kilkunastu wahań amplituda drgań tłumionych ciężarka na sprężynie…
  6. 5 minPodsumowanie bilet wyjściowy i zadanie domowe
Atom 1 z 5 · ~8 min

Drgania swobodne a drgania tłumione

Drgania własne (swobodne) to drgania odbywające się wyłącznie pod wpływem wewnętrznej siły zwrotnej układu (np. sprężystości lub grawitacji) po jednorazowym wychyleniu ciała z położenia równowagi.

  • Gdy uwzględnimy siłę oporu ośrodka (np.
  • powietrza, cieczy lub tarcia wewnętrznego), układ wykonuje pracę przeciwko siłom oporu i jego energia mechaniczna zamienia się stopniowo w energię wewnętrzną (ciepło) .
  • Błona bębenkowa w uchu reaguje na fale dźwiękowe jak membrana wprawiana w drgania.
Bilans strat energii w drganiach słabo tłumionych: $$\frac{E_1}{E_0} = \left(\frac{A_1}{A_0}\right)^2, \qquad \Delta E_{\text{rozpr}} = E_0 - E_1 = E_0\left[1 - \left(\frac{A_1}{A_0}\right)^2\right]$$ Przy słabym tłumieniu okres drgań pozostaje niemal taki sam jak dla drgań swobodnych, natomiast obwiednia wykresu $x(t)$ opada wykładniczo do zera.
Sprawdzenie · atom 1 · ~2 min

Pytanie do klasy

Częstotliwość drgań własnych ciężarka zawieszonego na sprężynie zależy wyłącznie od:

Atom 2 z 5 · ~7 min

Drgania wymuszone i rezonans mechaniczny

Jeżeli na drgający układ działa z zewnątrz okresowo zmieniająca się siła wymuszająca o częstotliwości $f_w$, to po krótkim czasie przejściowym układ zaczyna drgać dokładnie z częstotliwością siły wymuszającej ($f = f_w$).

  • W spektroskopii magnetycznego rezonansu jądrowego (NMR) jądra atomów absorbują fale elektromagnetyczne o ściśle określonej częstotliwości, dopasowanej do różnicy energii…
  • Technika: strojenie instrumentu polega na zmianie naprężenia lub długości struny tak, aby jej częstotliwość własna zgodziła się z częstotliwością wzorcową.
  • To rezonans wykorzystany celowo, a nie przypadkowa usterka.
  • Przykład: $f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{4000}{12}}\approx 2{,}91\ \text{Hz}$.
Warunek rezonansu mechanicznego (dla słabego tłumienia): $$f_w \approx f_0 \iff T_w \approx T_0$$ Gdy częstotliwość siły wymuszającej zbliża się do częstotliwości drgań własnych układu ($f_w \approx f_0$), siła zewnętrzna w każdym cyklu dopompowuje energię w idealnym rytmie z ruchem ciała, a amplituda drgań wymuszonych osiąga wartość maksymalną.
• Im mniejsze tłumienie, tym wyższy i bardziej ostry jest szczyt krzywej rezonansowej $A(f_w)$.
• Przy bardzo silnym tłumieniu szczyt rezonansowy spłaszcza się i nieznacznie przesuwa w stronę niższych częstotliwości.
Sprawdzenie · atom 2 · ~2 min

Pytanie do klasy

Po zakończeniu stanu przejściowego drgania wymuszone odbywają się z częstotliwością:

Atom 3 z 5 · ~7 min

Rezonans w technice, przyrodzie i zadaniach z pojazdami

Przykład z geografii. Podczas trzęsienia ziemi fale sejsmiczne wprawiają w drgania grunt, a miękkie osady mogą wzmacniać drgania o określonej częstotliwości.

  • Zastosowania pożyteczne: pudła rezonansowe gitar i skrzypiec, rozbijanie kamieni nerkowych falami ultradźwiękowymi dobranymi do częstotliwości własnej kamienia…
  • Zagrożenia: rozkołysanie mostów przez wiatr lub miarowy krok kolumny wojska (dlatego przed mostem pada komenda „krokiem swobodnym!”), drgania skrzydeł samolotu i…
  • Zadania maturalne z płytami drogowymi / torami: gdy pojazd jedzie z prędkością $v$ po płytach betonowych lub progach o długości $d$, koła uderzają w szczeliny co czas…
Sprawdzenie · atom 3 · ~2 min

Pytanie do klasy

Pojazd jedzie po płytach o długości $d$ z prędkością $v$. Rezonans zawieszenia o okresie $T_0$ wystąpi przy prędkości:

Atom 4 z 5 · ~11 min

Interaktywna symulacja: drgania tłumione oraz krzywa rezonansowa $A(f_w)$

Po lewej widzisz przebieg czasowy drgań tłumionych, a po prawej — krzywą rezonansową $A(f_w / f_0)$. Zmieniaj suwakami częstotliwość wymuszającą $f_w / f_0$ oraz współczynnik tłumienia.

  • Matematyka: krzywa rezonansowa $A(f_w)$ ma maksimum w pobliżu $f_0$; jej kształt opisuje funkcja, która rośnie, osiąga szczyt i maleje — dlatego do opisu rezonansu…
  • W poprzedniej sekcji omówiliśmy przykłady rezonansu w technice i przyrodzie; teraz oglądamy go na wykresie, zmieniając częstotliwość wymuszającą i tłumienie.
  • W module 09 przypomnisz sobie, dlaczego energia rośnie z kwadratem amplitudy, a w module 10 zobaczysz bilans energii wahadła.
  • Moduł 12 zawiera zadania, w których trzeba odróżnić rezonans od zwykłego wzrostu amplitudy.
Symulacja · atom 4 · ~4 min

Interaktywna symulacja: drgania tłumione oraz krzywa rezonansowa $A(f_w)$

Sprawdzenie · atom 4 · ~2 min

Pytanie do klasy

W symulacji, przy małym tłumieniu i $f_w/f_0=1$, amplituda drgań ustalonych:

Atom 5 z 5 · ~7 min

Przykładowe problemy z rozwiązaniem krok po kroku

Treść: Chłopiec na rowerze jedzie po drodze ułożonej z betonowych płyt o szerokości $d = 2{,}0\text{ m}$. Łączna masa roweru i chłopca wynosi $m = 50\text{ kg}$, a współczynnik sprężystości zawieszenia to $k = 60\text{ N/m}$.

  • Treść: Po wykonaniu kilkunastu wahań amplituda drgań tłumionych ciężarka na sprężynie zmalała o połowę ($A_1 = \frac{1}{2}A_0$).
  • Jaki procent początkowej energii mechanicznej został w tym czasie rozproszony w postaci ciepła?
  • Informatyka: modelowanie drgań tłumionych w arkuszu wymaga iteracyjnego odejmowania energii w każdym kroku; bez tego wykres byłby zbyt „idealny” i nie odtwarzałby…
  • W poprzedniej sekcji zmienialiśmy w symulacji $f_w/f_0$ i tłumienie; teraz przełożyliśmy te zależności na obliczenia z życia: rower, drgania tłumione i prędkość…
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Okres i częstotliwość drgań własnych zawieszenia: $$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{50\text{ kg}}{60\text{ N/m}}} \approx 5{,}74\text{ s}, \qquad f_0 = \frac{1}{T_0} \approx 0{,}174\text{ Hz}$$ 2. Prędkość rezonansowa: czas przejazdu przez jedną płytę o długości $d = 2{,}0\text{ m}$ musi być równy okresowi drgań własnych $T_0$: $$v_{\text{rez}} = \frac{d}{T_0} = d \cdot f_0 \approx 2{,}0\text{ m} \cdot 0{,}174\text{ Hz} \approx 0{,}35\text{ m/s}$$
Sprawdzenie · atom 5 · ~2 min

Pytanie do klasy

Rowerzysta o łącznej masie $50$ kg jedzie po płytach, a zawieszenie ma $k=60$ N/m. Częstotliwość drgań własnych wynosi około:

Zamknięcie · ~3 min

Co zabrać z lekcji

  • Przykład z biologii.
  • Przykład z chemii.
  • Przykład z geografii.
  • Matematyka: krzywa rezonansowa $A(f_w)$ ma maksimum w pobliżu $f_0$; jej kształt opisuje funkcja, która rośnie, osiąga szczyt i maleje — dlatego do opisu…
Bilet wyjściowy: Płyty mają długość $d=2{,}0$ m, a zawieszenie okres $T_0\approx5{,}74$ s. Prędkość rezonansowa wynosi około:
Odpowiedź: c) $0{,}35$ m/s
Hyżyk· Moduł 11 — Drgania tłumione, wymuszone i rezonans mechaniczn moduł 1 / 1