← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit
Materiał edukacyjny · Fizyka · Liceum

MODUŁ 03 · BLOK I: OPIS I KINEMATYKA DRGAŃ

Prędkość, przyspieszenie i siła zwrotna w ruchu harmonicznym

PPrezentacja dla nauczyciela

W ruchu harmonicznym prędkość i przyspieszenie zmieniają się nieustannie, i to w przeciwnym rytmie niż wychylenie: tam, gdzie wychylenie $x$ jest największe, prędkość spada do zera, a przyspieszenie i siła zwrotna osiągają maksimum. Zrozumienie tych zależności pozwala rozwiązać każde zadanie z kinematyki i dynamiki drgań.

Prędkość i przyspieszenie jako rzut ruchu po okręgu

W ruchu jednostajnym po okręgu o promieniu $R = A$ punkt ma stałą wartość prędkości liniowej $v_{\max} = \omega A$ (stycznej do okręgu) oraz stałą wartość przyspieszenia dośrodkowego $a_{\max} = \omega^2 A$ (skierowanego zawsze do środka okręgu). Rzutując te dwa wektory na oś drgań $x$, otrzymujemy pełny zestaw równań kinematycznych ruchu harmonicznego:

Trzy równania kinematyczne ruchu harmonicznego i wartości maksymalne: $$x(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0), \qquad x_{\max} = A$$ $$v(t) = \omega A\cos(\omega t + \varphi_0) = v_{\max}\cos(\omega t + \varphi_0), \qquad v_{\max} = \omega A = \frac{2\pi A}{T} = 2\pi f A$$ $$a(t) = -\omega^2 A\sin(\omega t + \varphi_0) = -\omega^2 x(t), \qquad a_{\max} = \omega^2 A = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 A$$
1. Ciało przechodzi przez położenie równowagi. Jakie są wtedy prędkość i przyspieszenie?
2. Ciało drga z amplitudą $A = 4\text{ cm}$ i okresem $T = 0{,}2\text{ s}$. Maksymalna prędkość wynosi około:
3. Który opis wykresu $a(t)$ w ruchu harmonicznym jest poprawny?

Wzór łączący prędkość bezpośrednio z położeniem $v(x)$

W wielu zadaniach maturalnych nie znamy czasu $t$, tylko wychylenie $x$ (np. $x = 0{,}6A$ albo $x = \frac{1}{2}A$). Korzystając z jedynki trygonometrycznej $\sin^2\Phi + \cos^2\Phi = 1$, wyznaczamy $\cos\Phi = \pm\sqrt{1 - (x/A)^2}$ i otrzymujemy niezwykle przydatny wzór:

Prędkość w funkcji wychylenia $x$ (bez czasu $t$): $$v(x) = \pm\omega\sqrt{A^2 - x^2} = \pm v_{\max}\sqrt{1 - \left(\frac{x}{A}\right)^2}$$ W szczególności dla trójkąta pitagorejskiego $(0{,}6)^2 + (0{,}8)^2 = 1$:
• gdy $|x| = 0{,}6A$, to $|v| = 0{,}8\,v_{\max}$,
• gdy $|x| = 0{,}8A$, to $|v| = 0{,}6\,v_{\max}$,
• gdy $|x| = \frac{1}{2}A$, to $|v| = \frac{\sqrt{3}}{2}\,v_{\max} \approx 0{,}866\,v_{\max}$.
4. Maksymalna prędkość ciężarka wynosi $2{,}0\text{ m/s}$. Jaką prędkość ma on w wychyleniu $x = 0{,}6A$?
5. Przy jakim wychyleniu wartość prędkości jest równa połowie $v_{\max}$?
6. Co daje wzór $v(x) = \pm\omega\sqrt{A^2 - x^2}$ w punkcie zwrotnym $x = A$?

Siła harmoniczna (siła zwrotna)

Skoro przyspieszenie w ruchu harmonicznym spełnia zależność $a = -\omega^2 x$, to z II zasady dynamiki Newtona ($F = ma$) wynika natychmiast postać siły wypadkowej, która musi działać na ciało, aby poruszało się ono ruchem harmonicznym:

Dynamiczny warunek ruchu harmonicznego (siła zwrotna): $$F(x) = m a = -m\omega^2 x = -kx, \qquad \text{gdzie } k = m\omega^2, \qquad F_{\max} = kA = m\omega^2 A$$ Sens znaku minus: siła wypadkowa jest zawsze zwrócona przeciwnie do wektora wychylenia (czyli w stronę położenia równowagi $x = 0$), a jej wartość rośnie liniowo wraz z odległością od środka.
Położenie ciała Wychylenie $|x|$ Wartość prędkości $|v|$ Przyspieszenie $|a|$ i siła $|F|$
Położenie równowagi (środek toru) $0$ (minimum) $v_{\max} = \omega A$ (maksimum!) $0$ (siły się równoważą!)
Położenie pośrednie ($x = \frac{1}{2}A$) $\frac{1}{2}A$ $\frac{\sqrt{3}}{2}\,v_{\max} \approx 0{,}87\,v_{\max}$ $\frac{1}{2}a_{\max}$ oraz $\frac{1}{2}F_{\max}$
Położenia skrajne (punkty zwrotne) $A$ (maksimum) $0$ (chwilowe zatrzymanie!) $a_{\max} = \omega^2 A$, $F_{\max} = kA$ (maksimum!)
7. Ciało o masie $0{,}2\text{ kg}$ drga z $\omega = 5\text{ rad/s}$. W wychyleniu $x = 0{,}1\text{ m}$ wartość siły zwrotnej wynosi:
8. Jaki sens ma znak minus we wzorze $F = -kx$?
9. Ile wynosi współczynnik $k$ w zależności $F = -kx$ dla drgań o $\omega = 4\text{ rad/s}$ i masie $0{,}5\text{ kg}$?

Interaktywna symulacja: wektory $\vec{x}, \vec{v}, \vec{a}$ i wykresy $x(t), v(t), a(t)$

Obserwuj ruch wózka na górze (z narysowanymi na żywo wektorami prędkości $\vec{v}$ i przyspieszenia/siły $\vec{a}$) oraz trzy zsynchronizowane wykresy $x(t)$, $v(t)$ i $a(t)$ poniżej. Zatrzymaj symulację przyciskiem Pauza w punkcie $x = 0$ lub $x = \pm A$, aby porównać wszystkie trzy wielkości.

10. Zatrzymujesz symulację w chwili, gdy wózek mija $x = 0$. Jakie wektory są wtedy widoczne?
11. Wózek jedzie od $x = +A$ do $x = 0$. Jak mają się wtedy zwroty wektorów $\vec{v}$ i $\vec{a}$?
12. Na wykresach $x(t)$, $v(t)$ i $a(t)$ widać trzy sinusoidy. Jak są względem siebie przesunięte?

Przykładowe problemy z rozwiązaniem krok po kroku

Przykład 1 — Obliczanie $v_{\max}, a_{\max}$ i $F_{\max}$

Treść: Ciężarek o masie $m = 0{,}5\text{ kg}$ wykonuje drgania harmoniczne o amplitudzie $A = 0{,}10\text{ m}$ i okresie $T = \pi\text{ s} \approx 3{,}14\text{ s}$. Oblicz maksymalną prędkość $v_{\max}$, maksymalne przyspieszenie $a_{\max}$ oraz maksymalną wartość siły wypadkowej $F_{\max}$.

Rozwiązanie krok po kroku:
1. Częstość kołowa: $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi\text{ s}} = 2\text{ rad/s}$.
2. Maksymalna prędkość: $v_{\max} = \omega A = 2\text{ s}^{-1} \cdot 0{,}10\text{ m} = 0{,}20\text{ m/s}$.
3. Maksymalne przyspieszenie: $a_{\max} = \omega^2 A = 2^2 \cdot 0{,}10 = 0{,}40\text{ m/s}^2$.
4. Maksymalna siła zwrotna: $F_{\max} = m a_{\max} = 0{,}5\text{ kg} \cdot 0{,}40\text{ m/s}^2 = 0{,}20\text{ N}$.

Przykład 2 — Dziewczynka na huśtawce

Treść: Dziewczynka o masie $m = 40\text{ kg}$ zaczyna bujać się na huśtawce z położenia równowagi ($\varphi_0 = 0$). Kolejne skrajne wychylenia wynoszące $A = 1{,}5\text{ m}$ (raz z przodu, raz z tyłu) osiąga co $\Delta t = 2\text{ s}$. Oblicz częstotliwość drgań, fazę po $3\text{ s}$ ruchu, maksymalne przyspieszenie oraz wartość siły zwrotnej po $1\text{ s}$ ruchu.

Rozwiązanie krok po kroku:
1. Okres i częstotliwość: przejście od jednego skrajnego wychylenia ($+A$) do przeciwnego ($-A$) trwa połowę okresu, więc $\frac{T}{2} = 2\text{ s} \implies T = 4\text{ s}$ oraz $f = \frac{1}{4}\text{ Hz} = 0{,}25\text{ Hz}$. Częstość kołowa: $\omega = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\text{ rad/s}$.
2. Faza po $t = 3\text{ s}$: $\Phi(3\text{ s}) = \omega t = \frac{\pi}{2} \cdot 3 = \frac{3\pi}{2}\text{ rad}$.
3. Maksymalne przyspieszenie: $$a_{\max} = \omega^2 A = \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 \cdot 1{,}5\text{ m} \approx 2{,}467 \cdot 1{,}5 \approx 3{,}70\text{ m/s}^2$$ 4. Siła po $t = 1\text{ s}$: po $1\text{ s} = \frac{T}{4}$ dziewczynka znajduje się w skrajnym wychyleniu ($x = +A$), więc działa na nią maksymalna siła zwrotna: $$F_{\max} = m a_{\max} \approx 40\text{ kg} \cdot 3{,}70\text{ m/s}^2 \approx 148\text{ N}$$
13. Ciężarek o masie $0{,}5\text{ kg}$ drga z $A = 0{,}10\text{ m}$ i $T = \pi\text{ s}$. Maksymalna prędkość wynosi:
14. Huśtawka osiąga kolejne skrajne wychylenia (raz z przodu, raz z tyłu) co $2\text{ s}$. Okres drgań wynosi:
15. Dla tej huśtawki ($A = 1{,}5\text{ m}$, $T = 4\text{ s}$) maksymalne przyspieszenie jest równe około:

Zadania do samodzielnego rozwiązania (ze wskazówkami)

Zadanie 1. Ciało drga harmonicznie z amplitudą $A = 0{,}20\text{ m}$ i częstością kołową $\omega = 3\text{ rad/s}$. Ile wynoszą jego prędkość maksymalna $v_{\max}$ oraz maksymalne przyspieszenie $a_{\max}$?
Wskazówka 1 — od czego zacząć?
Skorzystaj bezpośrednio ze wzorów $v_{\max} = \omega A$ oraz $a_{\max} = \omega^2 A$.
Wskazówka 2 — podstawienie liczb
$v_{\max} = 3 \cdot 0{,}20\text{ m/s}$, natomiast $a_{\max} = 3^2 \cdot 0{,}20\text{ m/s}^2 = 9 \cdot 0{,}20\text{ m/s}^2$.
Pełne rozwiązanie krok po kroku
1. $v_{\max} = \omega A = 3\text{ rad/s} \cdot 0{,}20\text{ m} = 0{,}60\text{ m/s}$.
2. $a_{\max} = \omega^2 A = 9\text{ s}^{-2} \cdot 0{,}20\text{ m} = 1{,}80\text{ m/s}^2$.
Zadanie 2. Maksymalna prędkość ciężarka w ruchu harmonicznym wynosi $v_{\max} = 1{,}0\text{ m/s}$. Ile wynosi wartość prędkości tego ciężarka w chwili, gdy jego wychylenie jest równe $x = 0{,}8A$?
Wskazówka 1 — od czego zacząć?
Użyj wzoru łączącego prędkość z wychyleniem: $|v(x)| = v_{\max}\sqrt{1 - (x/A)^2}$.
Wskazówka 2 — rachunek pod pierwiastkiem
Dla $\frac{x}{A} = 0{,}8$ mamy $\sqrt{1 - 0{,}8^2} = \sqrt{1 - 0{,}64} = \sqrt{0{,}36} = 0{,}6$.
Pełne rozwiązanie krok po kroku
$|v| = v_{\max}\sqrt{1 - (0{,}8)^2} = 1{,}0\text{ m/s} \cdot \sqrt{0{,}36} = 0{,}60\text{ m/s}$.
Zadanie 3. Na ciało o masie $m = 0{,}5\text{ kg}$ drgające harmonicznie z amplitudą $A = 0{,}08\text{ m}$ w punkcie skrajnego wychylenia działa siła zwrotna o wartości $F_{\max} = 1{,}0\text{ N}$. Ile wynosi częstość kołowa $\omega$ tych drgań?
Wskazówka 1 — od czego zacząć?
Ze wzoru $F_{\max} = m a_{\max} = m\omega^2 A$ wyznacz $\omega^2$, a następnie wyciągnij pierwiastek.
Wskazówka 2 — przekształcenie wzoru
$\omega^2 = \frac{F_{\max}}{m \cdot A} = \frac{1{,}0}{0{,}5 \cdot 0{,}08} = \frac{1{,}0}{0{,}04} = 25\text{ s}^{-2}$.
Pełne rozwiązanie krok po kroku
1. Maksymalne przyspieszenie: $a_{\max} = \frac{F_{\max}}{m} = \frac{1{,}0\text{ N}}{0{,}5\text{ kg}} = 2{,}0\text{ m/s}^2$.
2. Częstość kołowa: $\omega = \sqrt{\frac{a_{\max}}{A}} = \sqrt{\frac{2{,}0}{0{,}08}} = \sqrt{25} = 5\text{ rad/s}$.

Quiz wiedzy — Moduł 03

1. W chwili, gdy ciało wykonujące drgania harmoniczne przechodzi przez położenie równowagi ($x = 0$), jego prędkość $v$ oraz przyspieszenie $a$ przyjmują wartości:
2. Co oznacza znak minus we wzorze na siłę harmoniczną $F = -kx$?
3. Jeżeli przy tym samym okresie drgań $T$ zwiększymy dwukrotnie amplitudę drgań $A$, to maksymalna prędkość $v_{\max}$ oraz maksymalne przyspieszenie $a_{\max}$:
4. Wykres zależności przyspieszenia od wychylenia $a(x)$ w ruchu harmonicznym ($a = -\omega^2 x$) jest:

Materiały edukacyjne Hyżyk · Kurs Fizyki: Ruch drgający