W budowie
Prezentacja modułu

Moduł 03 — Prędkość, przyspieszenie i siła harmoniczna — kurs Ruch drgający

Moduł 03 kursu Ruch drgający: zależności v(t), a(t) i v(x), wartości maksymalne v_max = ωA i a_max = ω²A, przesunięcia fazowe oraz siła zwrotna F = −kx = −mω²x.

  • 45 min
  • 13 slajdów
  • Notatki nauczyciela: N
  • Strona modułu: otwórz
Plan · 45 min

Co dziś robimy

  1. 7 minPrędkość i przyspieszenie jako rzut ruchu po okręgu teza, kod i pytanie kontrolne
  2. 8 minWzór łączący prędkość bezpośrednio z położeniem $v(x)$ teza, kod i pytanie kontrolne
  3. 8 minSiła harmoniczna (siła zwrotna) teza, kod i pytanie kontrolne
  4. 8 minInteraktywna symulacja: wektory $\vec{x}, \vec{v}, \vec{a}$ i wykresy $x(t), v(t), a(t)$ teza, kod i pytanie kontrolne
  5. 8 minPrzykładowe problemy z rozwiązaniem krok po kroku Treść: Dziewczynka o masie $m = 40\text{ kg}$ zaczyna bujać się na huśtawce z położenia…
  6. 5 minPodsumowanie bilet wyjściowy i zadanie domowe
Atom 1 z 5 · ~7 min

Prędkość i przyspieszenie jako rzut ruchu po okręgu

W ruchu jednostajnym po okręgu o promieniu $R = A$ punkt ma stałą wartość prędkości liniowej $v_{\max} = \omega A$ (stycznej do okręgu) oraz stałą wartość przyspieszenia dośrodkowego $a_{\max} = \omega^2 A$ (skierowanego zawsze do środka…

  • Prędkość i przyspieszenie jako rzut ruchu po okręgu
Trzy równania kinematyczne ruchu harmonicznego i wartości maksymalne: $$x(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0), \qquad x_{\max} = A$$ $$v(t) = \omega A\cos(\omega t + \varphi_0) = v_{\max}\cos(\omega t + \varphi_0), \qquad v_{\max} = \omega A = \frac{2\pi A}{T} = 2\pi f A$$ $$a(t) = -\omega^2 A\sin(\omega t + \varphi_0) = -\omega^2 x(t), \qquad a_{\max} = \omega^2 A = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 A$$
Sprawdzenie · atom 1 · ~3 min

Pytanie do klasy

Ciało przechodzi przez położenie równowagi. Jakie są wtedy prędkość i przyspieszenie?

Atom 2 z 5 · ~8 min

Wzór łączący prędkość bezpośrednio z położeniem $v(x)$

W wielu zadaniach maturalnych nie znamy czasu $t$, tylko wychylenie $x$ (np. $x = 0{,}6A$ albo $x = \frac{1}{2}A$). Korzystając z jedynki trygonometrycznej $\sin^2\Phi + \cos^2\Phi = 1$, wyznaczamy $\cos\Phi = \pm\sqrt{1 - (x/A)^2}$ i…

  • Wzór łączący prędkość bezpośrednio z położeniem $v(x)$
Prędkość w funkcji wychylenia $x$ (bez czasu $t$): $$v(x) = \pm\omega\sqrt{A^2 - x^2} = \pm v_{\max}\sqrt{1 - \left(\frac{x}{A}\right)^2}$$ W szczególności dla trójkąta pitagorejskiego $(0{,}6)^2 + (0{,}8)^2 = 1$:
• gdy $|x| = 0{,}6A$, to $|v| = 0{,}8\,v_{\max}$,
• gdy $|x| = 0{,}8A$, to $|v| = 0{,}6\,v_{\max}$,
• gdy $|x| = \frac{1}{2}A$, to $|v| = \frac{\sqrt{3}}{2}\,v_{\max} \approx 0{,}866\,v_{\max}$.
Sprawdzenie · atom 2 · ~3 min

Pytanie do klasy

Maksymalna prędkość ciężarka wynosi $2{,}0\text{ m/s}$. Jaką prędkość ma on w wychyleniu $x = 0{,}6A$?

Zestawienie · atom 3 · ~5 min

Siła harmoniczna (siła zwrotna)

Skoro przyspieszenie w ruchu harmonicznym spełnia zależność $a = -\omega^2 x$, to z II zasady dynamiki Newtona ($F = ma$) wynika natychmiast postać siły wypadkowej, która musi działać na ciało, aby poruszało się ono…

Położenie ciała Wychylenie $|x|$ Wartość prędkości $|v|$ Przyspieszenie $|a|$ i siła $|F|$
Położenie równowagi (środek toru) $0$ (minimum) $v_{\max} = \omega A$ (maksimum!) $0$ (siły się równoważą!)
Położenie pośrednie ($x = \frac{1}{2}A$) $\frac{1}{2}A$ $\frac{\sqrt{3}}{2}\,v_{\max} \approx 0{,}87\,v_{\max}$ $\frac{1}{2}a_{\max}$ oraz $\frac{1}{2}F_{\max}$
Położenia skrajne (punkty zwrotne) $A$ (maksimum) $0$ (chwilowe zatrzymanie!) $a_{\max} = \omega^2 A$, $F_{\max} = kA$ (maksimum!)
Sprawdzenie · atom 3 · ~3 min

Pytanie do klasy

Ciało o masie $0{,}2\text{ kg}$ drga z $\omega = 5\text{ rad/s}$. W wychyleniu $x = 0{,}1\text{ m}$ wartość siły zwrotnej wynosi:

Symulacja · atom 4 · ~5 min

Interaktywna symulacja: wektory $\vec{x}, \vec{v}, \vec{a}$ i wykresy $x(t), v(t), a(t)$

Sprawdzenie · atom 4 · ~3 min

Pytanie do klasy

Zatrzymujesz symulację w chwili, gdy wózek mija $x = 0$. Jakie wektory są wtedy widoczne?

Atom 5 z 5 · ~8 min

Przykładowe problemy z rozwiązaniem krok po kroku

Treść: Ciężarek o masie $m = 0{,}5\text{ kg}$ wykonuje drgania harmoniczne o amplitudzie $A = 0{,}10\text{ m}$ i okresie $T = \pi\text{ s} \approx 3{,}14\text{ s}$.

  • Treść: Dziewczynka o masie $m = 40\text{ kg}$ zaczyna bujać się na huśtawce z położenia równowagi ($\varphi_0 = 0$).
  • Kolejne skrajne wychylenia wynoszące $A = 1{,}5\text{ m}$ (raz z przodu, raz z tyłu) osiąga co $\Delta t = 2\text{ s}$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Częstość kołowa: $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi\text{ s}} = 2\text{ rad/s}$.
2. Maksymalna prędkość: $v_{\max} = \omega A = 2\text{ s}^{-1} \cdot 0{,}10\text{ m} = 0{,}20\text{ m/s}$.
3. Maksymalne przyspieszenie: $a_{\max} = \omega^2 A = 2^2 \cdot 0{,}10 = 0{,}40\text{ m/s}^2$.
4. Maksymalna siła zwrotna: $F_{\max} = m a_{\max} = 0{,}5\text{ kg} \cdot 0{,}40\text{ m/s}^2 = 0{,}20\text{ N}$.
Sprawdzenie · atom 5 · ~3 min

Pytanie do klasy

Ciężarek o masie $0{,}5\text{ kg}$ drga z $A = 0{,}10\text{ m}$ i $T = \pi\text{ s}$. Maksymalna prędkość wynosi:

Zamknięcie · ~4 min

Co zabrać z lekcji

  • W ruchu jednostajnym po okręgu o promieniu $R = A$ punkt ma stałą wartość prędkości liniowej $v_{\max} = \omega A$ (stycznej do okręgu) oraz stałą wartość…
  • Wzór łączący prędkość bezpośrednio z położeniem $v(x)$
  • Siła harmoniczna (siła zwrotna)
  • Interaktywna symulacja: wektory $\vec{x}, \vec{v}, \vec{a}$ i wykresy $x(t), v(t), a(t)$
Bilet wyjściowy: Dla tej huśtawki ($A = 1{,}5\text{ m}$, $T = 4\text{ s}$) maksymalne przyspieszenie jest równe około:
Odpowiedź: b) $3{,}7\text{ m/s}^2$
Hyżyk· Moduł 03 — Prędkość, przyspieszenie i siła harmoniczna — kur moduł 1 / 1