MODUŁ 08 · SPRAWDZIAN WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI II
Sprawdzian II: wahadło sprężynowe, układy sprężyn i wahadło matematyczne (moduły 05–07)
PPrezentacja dla nauczyciela
Drugi sprawdzian podsumowuje mechaniczne układy drgające. Zwróć szczególną uwagę na tabelę porównującą wahadło sprężynowe z wahadłem matematycznym — na maturze bardzo często pojawia się pytanie o to, jak oba oscylatory zachowują się po zmianie masy albo przeniesieniu na inną planetę.
Porównanie maturalne: wahadło sprężynowe a wahadło matematyczne
| Cecha / parametr | Wahadło sprężynowe | Wahadło matematyczne (małe kąty) |
|---|---|---|
| Siła zwrotna | $F = -kx$ (siła sprężystości) | $F_s = -mg\sin\alpha \approx -\left(\frac{mg}{l}\right)x$ (składowa styczna ciężaru) |
| Wzór na okres $T$ | $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ (w pionie też $2\pi\sqrt{\frac{x_0}{g}}$) | $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ |
| Czy okres zależy od masy $m$? | TAK ($T \propto \sqrt{m}$) | NIE (masa się skraca!) |
| Czy okres zależy od grawitacji $g$? | NIE (działa nawet w stanie nieważkości!) | TAK ($T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$, w nieważkości nie drga!) |
| Łączenie sprężyn | Równolegle: $k_z = k_1 + k_2$ Szeregowo: $\frac{1}{k_z} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$ |
Wyznaczanie przyspieszenia: $g = \frac{4\pi^2 l}{T^2}$ |
Część 1 — Zadania rachunkowe (ze wskazówkami)
Zadanie 1. Kiedy do ciężarka wiszącego na sprężynie doczepiono dodatkowy odważnik o masie $\Delta m = 0{,}30\text{ kg}$, okres drgań pionowych wzrósł dwukrotnie ($T_2 = 2T_1$). Ile wynosiła początkowa masa ciężarka $m_1$?
Wskazówka 1 — zapisz stosunek okresów
Ponieważ sprężyna jest ta sama ($k = \text{const}$), stosunek okresów zależy wyłącznie od stosunku mas: $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{m_1 + \Delta m}{m_1}}$.
Wskazówka 2 — podnieś równanie do kwadratu
Skoro $\frac{T_2}{T_1} = 2$, to $\frac{m_1 + \Delta m}{m_1} = 4 \implies m_1 + \Delta m = 4m_1 \implies 3m_1 = \Delta m$.
Pełne rozwiązanie krok po kroku
$$3m_1 = \Delta m = 0{,}30\text{ kg} \implies m_1 = 0{,}10\text{ kg}$$
Zadanie 2. Na dwóch sprężynach połączonych szeregowo zawieszono ciężarek o masie $m = 10\text{ kg}$. Okres drgań układu wynosi $T = \pi\text{ s} \approx 3{,}14\text{ s}$. Jedna ze sprężyn ma współczynnik sprężystości $k_1 = 60\text{ N/m}$. Ile wynosi współczynnik sprężystości drugiej sprężyny $k_2$?
Wskazówka 1 — wyznacz najpierw współczynnik zastępczy $k_z$
Ze wzoru $T = 2\pi\sqrt{m/k_z}$ wyznacz $k_z = \frac{4\pi^2 m}{T^2}$. Zwróć uwagę, że dla $T = \pi\text{ s}$ wielkość $\pi^2$ się skraca!
Wskazówka 2 — oblicz $k_2$ ze wzoru szeregowego
$k_z = \frac{4\pi^2 \cdot 10}{\pi^2} = 40\text{ N/m}$. Teraz z równania $\frac{1}{k_z} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$ wyznacz $\frac{1}{k_2} = \frac{1}{40} - \frac{1}{60}$.
Pełne rozwiązanie krok po kroku
1. $k_z = \frac{4\pi^2 m}{T^2} = 4 \cdot 10 = 40\text{ N/m}$.
2. $\frac{1}{k_2} = \frac{1}{40} - \frac{1}{60} = \frac{3 - 2}{120} = \frac{1}{120} \implies k_2 = 120\text{ N/m}$.
2. $\frac{1}{k_2} = \frac{1}{40} - \frac{1}{60} = \frac{3 - 2}{120} = \frac{1}{120} \implies k_2 = 120\text{ N/m}$.
Zadanie 3. Dwa wahadła matematyczne znajdują się w tym samym miejscu i w tym samym czasie jedno z nich wykonuje $N_1 = 10$ pełnych wahań, a drugie $N_2 = 15$ pełnych wahań. Jaki jest stosunek długości ich nici $\frac{l_1}{l_2}$?
Wskazówka 1 — powiąż liczbę wahań z okresem
Skoro w tym samym czasie $t$ wahadła wykonują $N_1$ i $N_2$ drgań, to stosunek ich okresów wynosi $\frac{T_1}{T_2} = \frac{N_2}{N_1} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.
Wskazówka 2 — powiąż okres z długością nici
Ponieważ $T \propto \sqrt{l}$, to $\frac{l_1}{l_2} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2$.
Pełne rozwiązanie krok po kroku
$$\frac{l_1}{l_2} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2 = \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2 = \left(\frac{15}{10}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = 2{,}25$$
Zadanie 4. Wahadło matematyczne o długości $l = 0{,}80\text{ m}$ wisi w windzie, która rusza w dół ze stałym przyspieszeniem $a_w = 1{,}81\text{ m/s}^2$ (przyjmij $g = 9{,}81\text{ m/s}^2$). Ile wynosi okres małych wahań wahadła w tej windzie?
Wskazówka 1 — oblicz efektywne przyspieszenie w windzie
Gdy winda przyspiesza w dół, bezwładność działa w górę (przeciwnie do grawitacji), więc efektywne ciążenie maleje: $g_{\text{ef}} = g - a_w$.
Wskazówka 2 — podstaw do wzoru Huygensa
$g_{\text{ef}} = 9{,}81 - 1{,}81 = 8{,}00\text{ m/s}^2$, zatem $\frac{l}{g_{\text{ef}}} = \frac{0{,}80}{8{,}00} = 0{,}10\text{ s}^2$.
Pełne rozwiązanie krok po kroku
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g - a_w}} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}80\text{ m}}{8{,}00\text{ m/s}^2}} = 2\pi\sqrt{0{,}10}\text{ s} \approx 6{,}283 \cdot 0{,}3162\text{ s} \approx 1{,}99\text{ s}$$
Część 2 — Sprawdzian wiedzy (moduły 05–07)
1. Na pokładzie Międzynarodowej Stacji Kosmicznej (w stanie nieważkości, $g_{\text{ef}} = 0$) astronauta ma wahadło sprężynowe oraz wahadło matematyczne. Który z tych układów może wykonywać drgania harmoniczne po wychyleniu?
2. Trzy jednakowe sprężyny o współczynniku $k$ każda połączono równolegle. Zastępczy współczynnik sprężystości takiego układu wynosi:
3. Dlaczego wzór $T = 2\pi\sqrt{l/g}$ dla wahadła matematycznego jest dokładny tylko dla małych kątów wychylenia?
4. Zegar z wahadłem matematycznym późni się (jego okres $T$ jest zbyt długi). Aby wyregulować zegar, należy:
5. Ciężarek drgający w pionie na sprężynie znajduje się dokładnie w położeniu równowagi ($x = 0$). Siła sprężystości działająca w tym momencie na ciężarek:
6. Uczennica sporządziła wykres zależności kwadratu okresu $T^2$ od długości wahadła matematycznego $l$. Otrzymanym wykresem jest prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych, której współczynnik kierunkowy $a = \frac{T^2}{l}$ pozwala obliczyć przyspieszenie ziemskie ze wzoru: