← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit
Materiał edukacyjny · Fizyka · Liceum

MODUŁ 05 · BLOK II: OSCYLATORY MECHANICZNE

Wahadło sprężynowe w poziomie i w pionie

PPrezentacja dla nauczyciela

Ciężarek zamocowany na sprężynie (czyli oscylator harmoniczny) to najważniejszy model drgań w całej fizyce — od zawieszenia samochodu po drgania atomów w krysztale. Zobaczmy, skąd bierze się wzór na okres $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ i dlaczego zawieszenie sprężyny pionowo w polu grawitacyjnym przesuwa tylko punkt równowagi, ale nie zmienia okresu drgań.

Prawo Hooke’a i okres drgań masy na sprężynie

Rozważmy ciężarek o masie $m$ ślizgający się bez tarcia po poziomej powierzchni na lekkiej sprężynie. Aby odkształcić sprężynę o odcinek $x$, musimy działać siłą zewnętrzną $F_{\text{zew}} = kx$. Zgodnie z III zasadą dynamiki sprężyna działa na ciężarek siłą sprężystości o tej samej wartości i przeciwnym zwrocie:

Prawo Hooke’a i okres drgań wahadła sprężynowego: $$F_s = -kx, \qquad \left[k\right] = \frac{\text{N}}{\text{m}} = \frac{\text{kg}}{\text{s}^2}$$ Porównując siłę sprężystości $F_s = -kx$ z ogólnym wzorem na siłę harmoniczną $F = -m\omega^2 x$, otrzymujemy: $$m\omega^2 = k \implies \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}, \qquad f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$$
  • Wpływ masy $m$: im większa masa ciężarka (większa bezwładność), tym dłuższy okres $T$ ($\text{np. } 4\text{-krotny wzrost } m \implies 2\text{-krotny wzrost } T$).
  • Wpływ sztywności $k$: im twardsza sprężyna (większe $k$), tym silniej ściąga ciało do równowagi i tym krótszy okres $T$.
  • Niezależność od amplitudy $A$ i grawitacji $g$: we wzorze $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ nie ma ani $A$, ani $g$! Ten sam ciężarek na tej samej sprężynie ma identyczny okres na Ziemi, na Księżycu i w stanie nieważkości na stacji kosmicznej.
1. Sprężynę o współczynniku sprężystości $k = 40\ \text{N/m}$ rozciągnięto o $x = 0{,}10\ \text{m}$. Jakiej wartości siły zewnętrznej wymagało to rozciągnięcie?
2. Ciężarek na poziomej sprężynie ma okres $T$. Gdy jego masę zwiększymy czterokrotnie (sprężyna bez zmian), okres drgań:
3. To samo wahadło sprężynowe przeniesiono z Ziemi na Księżyc, gdzie przyspieszenie grawitacyjne jest około 6 razy mniejsze. Okres drgań ciężarka na sprężynie:

Ciało na sprężynie drgające w pionie

Co się zmienia, gdy tę samą sprężynę powiesimy pionowo? Po zawieszeniu ciężarka o masie $m$ sprężyna rozciąga się o pewien odcinek $x_0$ (nazywany wydłużeniem statycznym), aż w nowym położeniu równowagi siła sprężystości zrównoważy ciężar:

Warunek równowagi sprężyny pionowej i wzór z wydłużeniem statycznym $x_0$: $$mg = kx_0 \implies k = \frac{mg}{x_0} \quad \text{oraz} \quad \frac{m}{k} = \frac{x_0}{g}$$ Podstawiając $\frac{m}{k} = \frac{x_0}{g}$ do wzoru na okres, dostajemy niezwykle wygodny skrót maturalny: $$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{x_0}{g}}$$

Gdy teraz wychylimy ciężarek z tego położenia równowagi o dodatkowe $x$ w dół, całkowite wydłużenie sprężyny wynosi $x_0 + x$, a wypadkowa siła (suma ciężaru $mg$ i siły sprężystości $-k(x_0+x)$) jest równa:

$$F_{\text{wyp}} = mg - k(x_0 + x) = \underbrace{mg - kx_0}_{=\,0} - kx = -kx$$

Siła wypadkowa mierzona od nowego położenia równowagi ma więc dokładnie taką samą postać $F = -kx$ jak w poziomie!

Uwaga na różnicę między siłą wypadkową a siłą sprężystości w pionie!
• Maksymalna siła wypadkowa (harmoniczna) w najniższym punkcie wynosi $F_{\text{wyp},\max} = kA$.
• Maksymalna siła sprężystości (naciągu samej sprężyny) w najniższym punkcie uwzględnia pełne rozciągnięcie sprężyny $(x_0 + A)$: $$F_{s,\max} = k(x_0 + A) = mg + kA$$
4. Ciężarek o masie $m$ wisi nieruchomo na pionowej sprężynie, która wydłużyła się o $x_0$. Który wzór pozwala najszybciej obliczyć okres jego drgań?
5. W najniższym punkcie drgań pionowych maksymalna wartość siły wypadkowej (harmonicznej) działającej na ciężarek wynosi:
6. Ciężarek $m = 0{,}20\ \text{kg}$ zawieszony na pionowej sprężynie wydłuża ją w równowadze o $x_0 = 5\ \text{cm}$ (przyjmij $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$). Współczynnik sprężystości wynosi około:

Interaktywna symulacja: sprężyna swobodna, w równowadze ($x_0$) i w ruchu

Porównaj obok siebie trzy stany tej samej pionowej sprężyny: swobodną (bez ciężarka), obciążoną w spoczynku (wydłużenie statyczne $x_0$) oraz drgającą z amplitudą $A$. Zmieniaj masę $m$ i współczynnik $k$.

0,4 kg 40 N/m
7. W symulacji zwiększasz masę $m$ przy stałym $k$. Jak zmieniają się wydłużenie statyczne $x_0$ i okres $T$?
8. W symulacji zwiększasz współczynnik $k$ przy stałej masie. Co dzieje się z wydłużeniem statycznym i okresem?
9. W symulacji zmieniasz tylko amplitudę $A$, zostawiając $m$ i $k$ bez zmian. Co pozostaje bez zmian?

Przykładowe problemy z rozwiązaniem krok po kroku

Przykład 1 — Sprężyna pionowa: wyznaczanie $k$, $T$ i maksymalnej siły sprężystości

Treść: Na pionowej nieważkiej sprężynie zawieszono klocek o masie $m = 0{,}20\text{ kg}$, co spowodowało wydłużenie sprężyny w stanie równowagi o $x_0 = 5\text{ cm} = 0{,}05\text{ m}$. Następnie klocek odciągnięto w dół o kolejne $A = 10\text{ cm} = 0{,}10\text{ m}$ i puszczono. Przyjmij $g = 9{,}81\text{ m/s}^2$. Oblicz współczynnik sprężystości $k$, okres drgań $T$ oraz maksymalną wartość siły sprężystości $F_{s,\max}$.

Rozwiązanie krok po kroku:
1. Współczynnik sprężystości $k$: z warunku równowagi $mg = kx_0$: $$k = \frac{mg}{x_0} = \frac{0{,}20\text{ kg} \cdot 9{,}81\text{ m/s}^2}{0{,}05\text{ m}} = 39{,}24\text{ N/m}$$ 2. Okres drgań $T$: $$T = 2\pi\sqrt{\frac{x_0}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}05\text{ m}}{9{,}81\text{ m/s}^2}} \approx 0{,}45\text{ s}$$ 3. Maksymalna siła sprężystości $F_{s,\max}$: w najniższym punkcie całkowite wydłużenie sprężyny wynosi $x_{\text{całk}} = x_0 + A = 0{,}05\text{ m} + 0{,}10\text{ m} = 0{,}15\text{ m}$: $$F_{s,\max} = k(x_0 + A) = 39{,}24\text{ N/m} \cdot 0{,}15\text{ m} \approx 5{,}89\text{ N}$$

Przykład 2 — Wyznaczanie masy wagonika z okresu drgań

Treść: Wagonik zaczepiony na poziomej sprężynie o współczynniku sprężystości $k = 10\text{ N/m}$ wykonuje drgania o okresie $T = 5\text{ s}$. Oblicz masę $m$ tego wagonika.

Rozwiązanie krok po kroku:
Podnosimy wzór $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ obustronnie do kwadratu i przekształcamy względem $m$: $$T^2 = 4\pi^2\frac{m}{k} \implies m = \frac{k T^2}{4\pi^2} = \frac{10\text{ N/m} \cdot (5\text{ s})^2}{4\pi^2} = \frac{250}{39{,}48} \approx 6{,}33\text{ kg}$$
10. Ciężarek $m = 0{,}20\ \text{kg}$ zawieszony na pionowej sprężynie wydłuża ją w równowadze o $x_0 = 5\ \text{cm}$ ($g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$). Okres małych drgań wynosi około:
11. W tym samym układzie ciężarek odciągnięto dodatkowo w dół o $A = 10\ \text{cm}$. Maksymalna siła sprężystości w najniższym punkcie wynosi około:
12. Wagonik zaczepiony na sprężynie o $k = 10\ \text{N/m}$ drga z okresem $T = 5\ \text{s}$. Jego masa wynosi około:

Zadania do samodzielnego rozwiązania (ze wskazówkami)

Zadanie 1. Ciężarek o masie $m = 0{,}10\text{ kg}$ zawieszony na pionowej sprężynie powoduje w położeniu równowagi jej wydłużenie o $x_0 = 10\text{ cm} = 0{,}10\text{ m}$ (przyjmij $g = 9{,}81\text{ m/s}^2$). Ile wynoszą współczynnik sprężystości $k$ oraz okres drgań $T$ tego ciężarka?
Wskazówka 1 — od czego zacząć?
Wyznacz $k$ z warunku równowagi $mg = kx_0$, a okres oblicz ze wzoru $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ (lub równoważnie $T = 2\pi\sqrt{x_0/g}$).
Wskazówka 2 — podstawienie liczb
$k = \frac{0{,}10 \cdot 9{,}81}{0{,}10} = 9{,}81\text{ N/m}$, natomiast $T = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}10}{9{,}81}} = \frac{2\pi}{\sqrt{98{,}1}} \approx 0{,}634\text{ s}$.
Pełne rozwiązanie krok po kroku
1. $k = \frac{mg}{x_0} = \frac{0{,}10\text{ kg} \cdot 9{,}81\text{ m/s}^2}{0{,}10\text{ m}} = 9{,}81\text{ N/m}$.
2. $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}10}{9{,}81}} \approx 0{,}634\text{ s}$.
Zadanie 2. Wózek przymocowany do poziomej sprężyny o współczynniku sprężystości $k = 40\text{ N/m}$ wykonuje drgania harmoniczne z częstością kołową $\omega = 5\text{ rad/s}$. Ile wynosi masa $m$ tego wózka?
Wskazówka 1 — od czego zacząć?
Skorzystaj ze związku częstości kołowej ze sztywnością sprężyny i masą: $\omega = \sqrt{k/m}$.
Wskazówka 2 — przekształcenie wzoru
Po podniesieniu do kwadratu: $\omega^2 = \frac{k}{m} \implies m = \frac{k}{\omega^2}$.
Pełne rozwiązanie krok po kroku
$m = \frac{k}{\omega^2} = \frac{40\text{ N/m}}{(5\text{ rad/s})^2} = \frac{40}{25}\text{ kg} = 1{,}6\text{ kg}$.
Zadanie 3. Ciężarek o ciężarze $Q = mg = 4{,}0\text{ N}$ wisi w spoczynku na pionowej sprężynie o współczynniku $k = 80\text{ N/m}$. Następnie ciężarek odciągnięto w dół o $A = 3\text{ cm} = 0{,}03\text{ m}$ i puszczono. Ile wynosi maksymalna wartość siły sprężystości $F_{s,\max}$ działającej podczas drgań?
Wskazówka 1 — o czym należy pamiętać przy sprężynie pionowej?
W położeniu równowagi sprężyna już naciągnięta jest siłą równą ciężarowi $mg = 4{,}0\text{ N}$. W najniższym położeniu dochodzi dodatkowy naciąg $kA$.
Wskazówka 2 — wzór na maksymalną siłę sprężystości
$F_{s,\max} = k(x_0 + A) = kx_0 + kA = mg + kA$.
Pełne rozwiązanie krok po kroku
$F_{s,\max} = mg + kA = 4{,}0\text{ N} + 80\text{ N/m} \cdot 0{,}03\text{ m} = 4{,}0\text{ N} + 2{,}4\text{ N} = 6{,}4\text{ N}$.

Quiz wiedzy — Moduł 05

1. Jak zmieni się okres drgań ciężarka na sprężynie, jeśli amplitudę drgań zwiększymy dwukrotnie (w granicach stosowalności prawa Hooke’a)?
2. Jeżeli masę ciężarka zawieszonego na sprężynie zwiększymy czterokrotnie, to częstotliwość jego drgań $f$:
3. To samo wahadło sprężynowe przeniesiono z Ziemi na Księżyc (gdzie przyspieszenie grawitacyjne jest 6 razy mniejsze). Okres drgań ciężarka na tej sprężynie:
4. Dlaczego dla sprężyny wiszącej pionowo prawdziwy jest wzór $T = 2\pi\sqrt{x_0/g}$, mimo że okres wahadła sprężynowego nie zależy od grawitacji?

Materiały edukacyjne Hyżyk · Kurs Fizyki: Ruch drgający