W budowie
Prezentacja modułu

Moduł 05 — Wahadło sprężynowe w poziomie i w pionie — kurs Ruch drgający

Moduł 05 kursu Ruch drgający: prawo Hooke’a, współczynnik sprężystości k, okres drgań masy na sprężynie T = 2π√(m/k), drgania pionowe i wydłużenie statyczne x₀ = mg/k.

  • 45 min
  • 11 slajdów
  • Notatki nauczyciela: N
  • Strona modułu: otwórz
Plan · 45 min

Co dziś robimy

  1. 9 minPrawo Hooke’a i okres drgań masy na sprężynie Wpływ masy $m$: im większa masa ciężarka (większa bezwładność), tym dłuższy okres $T$…
  2. 10 minCiało na sprężynie drgające w pionie Siła wypadkowa mierzona od nowego położenia równowagi ma więc dokładnie taką samą postać…
  3. 9 minInteraktywna symulacja: sprężyna swobodna, w równowadze ($x_0$) i w ruchu teza, kod i pytanie kontrolne
  4. 10 minPrzykładowe problemy z rozwiązaniem krok po kroku Treść: Wagonik zaczepiony na poziomej sprężynie o współczynniku sprężystości $k =…
  5. 5 minPodsumowanie bilet wyjściowy i zadanie domowe
Atom 1 z 4 · ~9 min

Prawo Hooke’a i okres drgań masy na sprężynie

Rozważmy ciężarek o masie $m$ ślizgający się bez tarcia po poziomej powierzchni na lekkiej sprężynie. Aby odkształcić sprężynę o odcinek $x$, musimy działać siłą zewnętrzną $F_{\text{zew}} = kx$.

  • Wpływ masy $m$: im większa masa ciężarka (większa bezwładność), tym dłuższy okres $T$ ($\text{np. } 4\text{-krotny wzrost } m \implies 2\text{-krotny wzrost } T$).
  • Wpływ sztywności $k$: im twardsza sprężyna (większe $k$), tym silniej ściąga ciało do równowagi i tym krótszy okres $T$.
  • Niezależność od amplitudy $A$ i grawitacji $g$: we wzorze $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ nie ma ani $A$, ani $g$! Ten sam ciężarek na tej samej sprężynie ma identyczny okres na…
Prawo Hooke’a i okres drgań wahadła sprężynowego: $$F_s = -kx, \qquad \left[k\right] = \frac{\text{N}}{\text{m}} = \frac{\text{kg}}{\text{s}^2}$$ Porównując siłę sprężystości $F_s = -kx$ z ogólnym wzorem na siłę harmoniczną $F = -m\omega^2 x$, otrzymujemy: $$m\omega^2 = k \implies \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}, \qquad f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$$
Sprawdzenie · atom 1 · ~3 min

Pytanie do klasy

Sprężynę o współczynniku sprężystości $k = 40\ \text{N/m}$ rozciągnięto o $x = 0{,}10\ \text{m}$. Jakiej wartości siły zewnętrznej wymagało to rozciągnięcie?

Atom 2 z 4 · ~10 min

Ciało na sprężynie drgające w pionie

Co się zmienia, gdy tę samą sprężynę powiesimy pionowo? Po zawieszeniu ciężarka o masie $m$ sprężyna rozciąga się o pewien odcinek $x_0$ (nazywany wydłużeniem statycznym ), aż w nowym położeniu równowagi siła sprężystości zrównoważy ciężar:

  • Siła wypadkowa mierzona od nowego położenia równowagi ma więc dokładnie taką samą postać $F = -kx$ jak w poziomie !
  • Gdy teraz wychylimy ciężarek z tego położenia równowagi o dodatkowe $x$ w dół, całkowite wydłużenie sprężyny wynosi $x_0 + x$, a wypadkowa siła (suma ciężaru $mg$ i siły…
Warunek równowagi sprężyny pionowej i wzór z wydłużeniem statycznym $x_0$: $$mg = kx_0 \implies k = \frac{mg}{x_0} \quad \text{oraz} \quad \frac{m}{k} = \frac{x_0}{g}$$ Podstawiając $\frac{m}{k} = \frac{x_0}{g}$ do wzoru na okres, dostajemy niezwykle wygodny skrót maturalny: $$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{x_0}{g}}$$
Sprawdzenie · atom 2 · ~3 min

Pytanie do klasy

Ciężarek o masie $m$ wisi nieruchomo na pionowej sprężynie, która wydłużyła się o $x_0$. Który wzór pozwala najszybciej obliczyć okres jego drgań?

Symulacja · atom 3 · ~6 min

Interaktywna symulacja: sprężyna swobodna, w równowadze ($x_0$) i w ruchu

Sprawdzenie · atom 3 · ~3 min

Pytanie do klasy

W symulacji zwiększasz masę $m$ przy stałym $k$. Jak zmieniają się wydłużenie statyczne $x_0$ i okres $T$?

Atom 4 z 4 · ~10 min

Przykładowe problemy z rozwiązaniem krok po kroku

Treść: Na pionowej nieważkiej sprężynie zawieszono klocek o masie $m = 0{,}20\text{ kg}$, co spowodowało wydłużenie sprężyny w stanie równowagi o $x_0 = 5\text{ cm} = 0{,}05\text{ m}$.

  • Treść: Wagonik zaczepiony na poziomej sprężynie o współczynniku sprężystości $k = 10\text{ N/m}$ wykonuje drgania o okresie $T = 5\text{ s}$.
  • Oblicz masę $m$ tego wagonika.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Współczynnik sprężystości $k$: z warunku równowagi $mg = kx_0$: $$k = \frac{mg}{x_0} = \frac{0{,}20\text{ kg} \cdot 9{,}81\text{ m/s}^2}{0{,}05\text{ m}} = 39{,}24\text{ N/m}$$ 2. Okres drgań $T$: $$T = 2\pi\sqrt{\frac{x_0}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}05\text{ m}}{9{,}81\text{ m/s}^2}} \approx 0{,}45\text{ s}$$ 3. Maksymalna siła sprężystości $F_{s,\max}$: w najniższym punkcie całkowite wydłużenie sprężyny wynosi $x_{\text{całk}} = x_0 + A = 0{,}05\text{ m} + 0{,}10\text{ m} = 0{,}15\text{ m}$: $$F_{s,\max} = k(x_0 + A) = 39{,}24\text{ N/m} \cdot 0{,}15\text{ m} \approx 5{,}89\text{ N}$$
Sprawdzenie · atom 4 · ~3 min

Pytanie do klasy

Ciężarek $m = 0{,}20\ \text{kg}$ zawieszony na pionowej sprężynie wydłuża ją w równowadze o $x_0 = 5\ \text{cm}$ ($g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$). Okres małych drgań wynosi około:

Zamknięcie · ~5 min

Co zabrać z lekcji

  • Wpływ masy $m$: im większa masa ciężarka (większa bezwładność), tym dłuższy okres $T$ ($\text{np. } 4\text{-krotny wzrost } m \implies 2\text{-krotny wzrost }…
  • Siła wypadkowa mierzona od nowego położenia równowagi ma więc dokładnie taką samą postać $F = -kx$ jak w poziomie !
  • Interaktywna symulacja: sprężyna swobodna, w równowadze ($x_0$) i w ruchu
  • Treść: Wagonik zaczepiony na poziomej sprężynie o współczynniku sprężystości $k = 10\text{ N/m}$ wykonuje drgania o okresie $T = 5\text{ s}$.
Bilet wyjściowy: Wagonik zaczepiony na sprężynie o $k = 10\ \text{N/m}$ drga z okresem $T = 5\ \text{s}$. Jego masa wynosi około:
Odpowiedź: d) $6{,}3\ \text{kg}$
Hyżyk· Moduł 05 — Wahadło sprężynowe w poziomie i w pionie — kurs R moduł 1 / 1