← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit
Materiał edukacyjny · Fizyka · Liceum

MODUŁ 01 · BLOK I: OPIS I KINEMATYKA DRGAŃ

Badanie drgań: położenie równowagi, amplituda, okres i częstotliwość

PPrezentacja dla nauczyciela

Ruch drgający to ruch okresowy, w którym ciało porusza się tam i z powrotem wokół położenia równowagi. Zanim zapiszemy równania ruchu harmonicznego, musimy bezbłędnie odczytywać z wykresu $x(t)$ amplitudę $A$, okres $T$ i częstotliwość $f$ oraz unikać dwóch klasycznych pułapek maturalnych: mylenia odległości między skrajnymi położeniami ($2A$) z amplitudą ($A$) oraz odstępu między kolejnymi przejściami przez równowagę ($\frac{1}{2}T$) z okresem ($T$).

Podstawowe wielkości opisujące ruch drgający

Wyobraź sobie ciężarek zawieszony na sprężynie albo wahadło zegara. Dopóki układ spoczywa, działające na ciało siły (np. siła ciężkości i siła sprężystości) równoważą się — ciało znajduje się w położeniu równowagi ($x = 0$). Gdy wychylimy je z tego punktu i puścimy, pojawia się siła dążąca do przywrócenia równowagi, a ciało zaczyna wykonywać powtarzalne drgania.

Wielkość fizyczna Symbol i jednostka SI Definicja i sens fizyczny
Położenie równowagi $x = 0$ Punkt, w którym wypadkowa sił wywołujących drgania jest równa zeru. Od tego punktu mierzymy wychylenie ciała.
Wychylenie $x\text{ [m]}$ Chwilowa współrzędna położenia ciała względem położenia równowagi (może być dodatnia, ujemna lub zerowa).
Amplituda drgań $A\text{ [m]}$ Maksymalna wartość bezwzględna wychylenia z położenia równowagi ($A = |x|_{\max} \gt 0$). Ciało porusza się w przedziale $[-A, +A]$.
Okres drgań $T\text{ [s]}$ Czas trwania jednego pełnego cyklu drgań (po upływie czasu $T$ ciało wraca do tego samego położenia i porusza się w tę samą stronę).
Częstotliwość $f\text{ [Hz} = \text{s}^{-1}\text{]}$ Liczba pełnych drgań wykonywanych w ciągu jednej sekundy: $f = \frac{1}{T} = \frac{N}{t}$. Jednostką jest herc ($1\text{ Hz} = 1\text{ s}^{-1}$).
1. Ciało drgające wychyla się z położenia równowagi najwyżej o $3\text{ cm}$ w każdą stronę. Jaka jest amplituda drgań i odległość między skrajnymi położeniami ciała?
2. Częstotliwość drgań pewnego ciała wynosi $2{,}5\text{ Hz}$. Ile wynosi okres tych drgań?
3. Jaką drogę pokonuje ciało drgające z amplitudą $A$ w ciągu jednego pełnego okresu?

Wzory podstawowe i budowa jednego pełnego cyklu

Jeśli w czasie $t$ ciało wykonuje $N$ pełnych drgań, to okres $T$ i częstotliwość $f$ są ze sobą odwrotnie proporcjonalne:

Kluczowe wzory (okres, częstotliwość i droga w jednym okresie): $$T = \frac{t}{N}, \qquad f = \frac{N}{t}, \qquad f = \frac{1}{T}, \qquad T = \frac{1}{f}, \qquad s_1 = 4A$$

Aby nie pomylić ułamków okresu w zadaniach, prześledźmy dokładnie jeden pełny okres $T$ ciała startującego z położenia równowagi ($x = 0$) w stronę dodatnią:

  • $0 \to \frac{1}{4}T$: ruch od położenia równowagi ($x = 0$) do skrajnego wychylenia dodatniego ($x = +A$) — przebyta droga równa $A$.
  • $\frac{1}{4}T \to \frac{1}{2}T$: powrót ze skrajnego wychylenia ($x = +A$) do położenia równowagi ($x = 0$) — ciało mija $x = 0$, ale leci w przeciwną stronę niż na starcie!
  • $\frac{1}{2}T \to \frac{3}{4}T$: ruch od położenia równowagi ($x = 0$) do skrajnego wychylenia ujemnego ($x = -A$) — kolejna droga $A$.
  • $\frac{3}{4}T \to T$: powrót z $x = -A$ do położenia równowagi ($x = 0$) — dopiero teraz zamyka się pełny okres $T$, a całkowita droga w jednym okresie wynosi $s_1 = 4A$.
Dwie najczęstsze pułapki w zadaniach maturalnych:
1. Odległość między skrajnymi położeniami ($d$) to $2A$, a nie $A$! Jeśli wahadło wychyla się od skrajnego lewego do skrajnego prawego położenia na odległość $50\text{ cm}$, to amplituda wynosi $A = 25\text{ cm}$.
2. Czas między kolejnymi przejściami przez położenie równowagi to $\frac{1}{2}T$, a nie $T$! W ciągu jednego okresu ciało mija środek dwukrotnie (raz w prawo, raz w lewo). Jeśli mija środek co $2\text{ s}$, to pełny okres wynosi $T = 4\text{ s}$.
4. Wahadło mija położenie równowagi co $1{,}5\text{ s}$. Ile wynosi okres jego drgań?
5. Ciało wykonuje $30$ pełnych drgań w czasie $12\text{ s}$. Okres i częstotliwość wynoszą:
6. Które zdanie o drodze w ruchu drgającym jest poprawne?

Interaktywna symulacja: oscylator i wykres $x(t)$ na żywo

Zmieniaj suwakami amplitudę $A$ oraz okres $T$. Obserwuj jednocześnie ruch ciężarka na sprężynie (po lewej) oraz ślad rysowany na wykresie $x(t)$ (po prawej).

3,0 cm 2,0 s
7. W symulacji zwiększasz tylko amplitudę $A$, pozostawiając okres $T$ bez zmian. Co dzieje się z wykresem $x(t)$?
8. Ciało mija położenie równowagi co $0{,}4\text{ s}$, ale za każdym razem porusza się w przeciwną stronę. Jaki okres ustawiono w symulacji?
9. Zatrzymujesz symulację w chwili, gdy ciężarek jest w górnym skrajnym położeniu. Co pokazuje wtedy wykres $x(t)$?

Zmniejszanie niepewności pomiarowej w doświadczeniu

Gdy na lekcji lub maturze mierzysz okres drgań stoperem ręcznym, moment włączenia i wyłączenia stopera jest obarczony niepewnością czasu reakcji eksperymentatora $\Delta t$ (zwykle ok. $0{,}2\text{ s}$). Gdybyś zmierzył czas tylko jednego drgania, błąd $0{,}2\text{ s}$ przy okresie $1{,}0\text{ s}$ stanowiłby aż $20\%$ wyniku!

Dlatego w praktyce mierzymy łączny czas $t$ dużej liczby pełnych cykli (np. $N = 20$ lub $N = 50$ drgań) i dzielimy go przez $N$. Wówczas zarówno sam okres, jak i jego niepewność bezwzględna $\Delta T$ dzielą się przez $N$:

Wzory na okres i niepewność z serii $N$ drgań: $$T = \frac{t}{N}, \qquad \Delta T = \frac{\Delta t}{N}, \qquad \frac{\Delta T}{T} = \frac{\Delta t}{t}$$ Wskazówka doświadczalna: Stoper włączamy i wyłączamy w chwili, gdy ciężarek przechodzi przez położenie równowagi, a nie w punkcie maksymalnego wychylenia — w położeniu równowagi ciało porusza się najszybciej, więc najłatwiej precyzyjnie uchwycić moment minięcia znacznika.
10. Po co mierzy się czas wielu pełnych drgań, a nie tylko jednego?
11. Niepewność włączenia stopera wynosi $0{,}3\text{ s}$, a zmierzono czas $N = 30$ pełnych drgań. Niepewność wyznaczonego okresu to:
12. Dlaczego stoper włącza się i wyłącza w chwili mijania położenia równowagi?

Przykładowe problemy z rozwiązaniem krok po kroku

Przykład 1 — Odczyt amplitudy, okresu i częstotliwości z wykresu

Treść: Na wykresie zależności wychylenia od czasu $x(t)$ dla ciężarka na sprężynie maksymalne wychylenie w górę wynosi $+2\text{ cm}$, maksymalne wychylenie w dół $-2\text{ cm}$, a czas trwania trzech pełnych cykli drgań wynosi $t = 7{,}5\text{ s}$. Wyznacz amplitudę $A$, okres $T$ oraz częstotliwość $f$.

Rozwiązanie krok po kroku:
1. Amplituda $A$: odczytujemy największe wychylenie od osi czasu ($x = 0$): $A = 2\text{ cm} = 0{,}02\text{ m}$.
2. Okres $T$: trzy pełne cykle ($N = 3$) trwają $t = 7{,}5\text{ s}$, zatem jeden cykl trwa: $$T = \frac{t}{N} = \frac{7{,}5\text{ s}}{3} = 2{,}5\text{ s}$$ 3. Częstotliwość $f$: obliczamy odwrotność okresu: $$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2{,}5\text{ s}} = 0{,}4\text{ Hz}$$ Odpowiedź: $A = 0{,}02\text{ m}$, $T = 2{,}5\text{ s}$, $f = 0{,}4\text{ Hz}$.

Przykład 2 — Wahadło zegara mijające położenie równowagi

Treść: Wahadło pewnego zegara przechodzi przez położenie równowagi regularnie co $\Delta t = 2\text{ s}$. Odległość pomiędzy skrajnymi położeniami ciężarka wahadła wynosi $d = 0{,}50\text{ m}$. Oblicz okres $T$, częstotliwość $f$ oraz amplitudę drgań $A$.

Rozwiązanie krok po kroku:
1. Okres drgań $T$: w jednym pełnym cyklu wahadło mija pionowe położenie równowagi dwa razy (raz lecąc w prawo, drugi raz wracając w lewo). Odstęp czasu między sąsiednimi przejściami przez równowagę to połowa okresu: $$\frac{T}{2} = 2\text{ s} \implies T = 4\text{ s}$$ 2. Częstotliwość $f$: $$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{4\text{ s}} = 0{,}25\text{ Hz}$$ 3. Amplituda $A$: odległość między skrajnym lewym ($-A$) a skrajnym prawym ($+A$) położeniem jest równa podwojonej amplitudzie: $$d = 2A = 0{,}50\text{ m} \implies A = 0{,}25\text{ m}$$ Odpowiedź: $T = 4\text{ s}$, $f = 0{,}25\text{ Hz}$, $A = 0{,}25\text{ m}$.

Przykład 3 — Pomiar wielokrotny i niepewność okresu

Treść: Uczennica zmierzyła stoperem czas $N = 25$ pełnych drgań ciężarka na sprężynie i otrzymała wynik $t = 20{,}0\text{ s}$. Niepewność pomiaru czasu związana z refleksem przy włączaniu i wyłączaniu stopera wynosi $\Delta t = 0{,}25\text{ s}$. Oblicz okres drgań $T$ wraz z niepewnością $\Delta T$ oraz niepewność względną.

Rozwiązanie krok po kroku: $$T = \frac{t}{N} = \frac{20{,}0\text{ s}}{25} = 0{,}80\text{ s}, \qquad \Delta T = \frac{\Delta t}{N} = \frac{0{,}25\text{ s}}{25} = 0{,}01\text{ s}$$ Niepewność względna: $\frac{\Delta T}{T} \cdot 100\% = \frac{0{,}01}{0{,}80} \cdot 100\% = 1{,}25\%$.
Odpowiedź: $T = (0{,}80 \pm 0{,}01)\text{ s}$ (niepewność względna wynosi $1{,}25\%$).
13. Na wykresie $x(t)$ trzy pełne cykle drgań zajmują $7{,}5\text{ s}$. Okres i częstotliwość wynoszą:
14. Odległość między skrajnymi położeniami wahadła wynosi $50\text{ cm}$, a równowagę mija ono co $2\text{ s}$. Amplituda i okres są równe:
15. Uczennica zmierzyła $N = 25$ drgań w czasie $t = 20{,}0\text{ s}$, a niepewność pomiaru czasu wynosiła $0{,}25\text{ s}$. Który zapis okresu jest poprawny?

Zadania do samodzielnego rozwiązania (ze wskazówkami)

Rozwiąż zadania na kartce. Jeśli utkniesz, rozwiń kolejno Wskazówkę 1 i Wskazówkę 2, a na końcu sprawdź Pełne rozwiązanie i zaznacz odpowiedź, aby zapisać postęp modułu.

Zadanie 1. Ciężarek na sprężynie drga z częstotliwością $f = 5\text{ Hz}$, a amplituda jego drgań wynosi $A = 0{,}10\text{ m}$. Ile wynosi okres drgań $T$ oraz jaką łączną drogę $s$ pokona ten ciężarek w czasie $t = 2\text{ s}$?
Wskazówka 1 — od czego zacząć i jaki wzór wybrać?
Okres obliczysz bezpośrednio ze wzoru $T = \frac{1}{f}$. Następnie policz, ile pełnych cykli drgań ($N$) mieści się w czasie $t = 2\text{ s}$, i pamiętaj, że w jednym pełnym okresie ciało pokonuje drogę równą czterem amplitudom ($s_1 = 4A$).
Wskazówka 2 — przekształcenie wzoru i jednostki
Dla $f = 5\text{ Hz}$ mamy $T = \frac{1}{5}\text{ s} = 0{,}2\text{ s}$. Liczba pełnych drgań w czasie $2\text{ s}$ to $N = t \cdot f = 2\text{ s} \cdot 5\text{ Hz} = 10$. Droga w jednym cyklu wynosi $4A = 4 \cdot 0{,}10\text{ m} = 0{,}40\text{ m}$.
Pełne rozwiązanie krok po kroku
1. Okres drgań: $T = \frac{1}{f} = \frac{1}{5\text{ Hz}} = 0{,}2\text{ s}$.
2. Liczba drgań w czasie $t = 2\text{ s}$: $N = \frac{t}{T} = \frac{2\text{ s}}{0{,}2\text{ s}} = 10$.
3. Całkowita droga: $s = N \cdot 4A = 10 \cdot 4 \cdot 0{,}10\text{ m} = 4{,}0\text{ m}$.
Zadanie 2. Ciało drgające startuje ze skrajnego prawego położenia i po raz pierwszy dociera do skrajnego lewego położenia po czasie $\Delta t = 0{,}6\text{ s}$. Odległość między tymi skrajnymi położeniami wynosi $d = 16\text{ cm}$. Ile wynoszą amplituda $A$ oraz okres drgań $T$?
Wskazówka 1 — od czego zacząć?
Zastanów się, jaką częścią pełnego cyklu jest ruch od jednego skrajnego wychylenia ($+A$) do drugiego ($-A$), oraz ile amplitud mieści się w odcinku łączącym oba skrajne punkty.
Wskazówka 2 — przekształcenie wzoru
Odległość między $+A$ i $-A$ to $d = 2A$, a czas przelotu z $+A$ do $-A$ (bez powrotu!) to połowa okresu: $\Delta t = \frac{1}{2}T$.
Pełne rozwiązanie krok po kroku
1. Amplituda: $A = \frac{d}{2} = \frac{16\text{ cm}}{2} = 8\text{ cm} = 0{,}08\text{ m}$.
2. Okres drgań: $T = 2 \cdot \Delta t = 2 \cdot 0{,}6\text{ s} = 1{,}2\text{ s}$.
Zadanie 3. Podczas doświadczenia zmierzono czas $N = 40$ pełnych wahań wahadła i otrzymano $t = 50{,}0\text{ s}$ z niepewnością pomiaru czasu $\Delta t = 0{,}4\text{ s}$. Jaki jest poprawny zapis wyznaczonego okresu drgań $T$ wraz z niepewnością $\Delta T$?
Wskazówka 1 — od czego zacząć?
Podziel zarówno zmierzony czas $t$, jak i jego niepewność $\Delta t$ przez liczbę wykonanych pełnych drgań $N = 40$.
Wskazówka 2 — podstawienie liczb
$T = \frac{50{,}0\text{ s}}{40}$ oraz $\Delta T = \frac{0{,}4\text{ s}}{40}$. Zadbaj o tę samą dokładność zapisu (dwa miejsca po przecinku).
Pełne rozwiązanie krok po kroku
1. Okres: $T = \frac{50{,}0\text{ s}}{40} = 1{,}25\text{ s}$.
2. Niepewność: $\Delta T = \frac{0{,}4\text{ s}}{40} = 0{,}01\text{ s}$.
3. Zapis końcowy: $T = (1{,}25 \pm 0{,}01)\text{ s}$.

Quiz wiedzy — Moduł 01

1. Czym jest położenie równowagi ciała wykonującego drgania mechaniczne?
2. Jeśli częstotliwość drgań struny wzrosła czterokrotnie, to okres jej drgań:
3. Dlaczego podczas pomiaru okresu drgań stoper włącza się i wyłącza w chwili mijania położenia równowagi, a nie w punkcie skrajnego wychylenia?
4. W ciągu jednego pełnego okresu $T$ ciało drgające z amplitudą $A$ pokonuje drogę równą $4A$, natomiast wartość jego przemieszczenia (wektora zmiany położenia) po pełnym okresie wynosi:

Materiały edukacyjne Hyżyk · Kurs Fizyki: Ruch drgający