W budowie
Prezentacja modułu

Moduł 09 — Energia w ruchu harmonicznym: przemiany Ek i Ep — kurs Ruch drgający

Moduł 09 kursu Ruch drgający: energia potencjalna sprężystości Ep = ½kx², energia kinetyczna Ek = ½mv², stała energia całkowita Ec = ½kA², wykresy paraboliczne E(x) i przebiegi czasowe E(t).

  • 45 min
  • 11 slajdów
  • Notatki nauczyciela: N
  • Strona modułu: otwórz
Plan · 45 min

Co dziś robimy

  1. 10 minWyprowadzenie wzorów na $E_p$, $E_k$ oraz energię całkowitą $E_c$ Dodając obie energie i stosując jedynkę trygonometryczną $\sin^2\Phi + \cos^2\Phi = 1$…
  2. 9 minKluczowe położenia na osi $x$ i częstotliwość przemian energii teza, kod i pytanie kontrolne
  3. 9 minInteraktywna symulacja: parabola energetyczna $E(x)$ i słupki $E_p, E_k, E_c$ teza, kod i pytanie kontrolne
  4. 10 minPrzykładowe problemy z rozwiązaniem krok po kroku Treść: Całkowita energia oscylatora harmonicznego wynosi $E_c = 1{,}8\text{ J}$.
  5. 5 minPodsumowanie bilet wyjściowy i zadanie domowe
Atom 1 z 4 · ~10 min

Wyprowadzenie wzorów na $E_p$, $E_k$ oraz energię całkowitą $E_c$

Rozważmy ciężarek o masie $m$ drgający na poziomej sprężynie o współczynniku $k$ zgodnie z równaniem $x(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0)$. Energia potencjalna sprężystości przy wychyleniu $x$ wyraża się wzorem:

  • Dodając obie energie i stosując jedynkę trygonometryczną $\sin^2\Phi + \cos^2\Phi = 1$, dostajemy zasadę zachowania energii mechanicznej dla oscylatora harmonicznego :
  • Energia kinetyczna zależy od prędkości $v(t) = \omega A\cos(\omega t + \varphi_0)$.
  • Korzystając z faktu, że $m\omega^2 = k$, otrzymujemy:
Całkowita energia mechaniczna oscylatora i zależność $E_k(x)$: $$E_c = E_p + E_k = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 = \frac{1}{2}mv_{\max}^2 = \text{const}$$ $$E_p(x) = \frac{1}{2}kx^2, \qquad E_k(x) = E_c - E_p(x) = \frac{1}{2}k(A^2 - x^2)$$ Najważniejszy wniosek: Energia całkowita jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy ($E_c \propto A^2$). Dwukrotny wzrost amplitudy oznacza czterokrotny wzrost energii całkowitej!
Sprawdzenie · atom 1 · ~3 min

Pytanie do klasy

Po podstawieniu $v(t)=\omega A\cos(\omega t+\varphi_0)$ do wzoru na energię kinetyczną i skorzystaniu z $m\omega^2=k$ otrzymujemy:

Zestawienie · atom 2 · ~6 min

Kluczowe położenia na osi $x$ i częstotliwość przemian energii

Położenie $|x|$ Ułamek energii potencjalnej $E_p / E_c$ Ułamek energii kinetycznej $E_k / E_c$ Stosunek $E_k : E_p$
$x = 0$ (równowaga) $0$ ($0\%$) $1$ ($100\%$ — cała energia w $E_k$) $E_p = 0, \ E_k = E_c$
$|x| = \frac{1}{2}A$ $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ ($25\%$) $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ ($75\%$) $3 : 1$
$|x| = \frac{A}{\sqrt{2}} \approx 0{,}71A$ $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2}$ ($50\%$) $\frac{1}{2}$ ($50\%$) $1 : 1$ ($E_k = E_p$)
$|x| = A$ (skrajne) $1$ ($100\%$ — cała energia w $E_p$) $0$ ($0\%$) $E_k = 0, \ E_p = E_c$
Sprawdzenie · atom 2 · ~3 min

Pytanie do klasy

W wychyleniu $|x|=\frac{1}{2}A$ energia potencjalna stanowi:

Symulacja · atom 3 · ~6 min

Interaktywna symulacja: parabola energetyczna $E(x)$ i słupki $E_p, E_k, E_c$

Sprawdzenie · atom 3 · ~3 min

Pytanie do klasy

Na wykresie $E(x)$ energia potencjalna $E_p=\frac{1}{2}kx^2$ jest parabolą zwróconą ramionami do góry, a energia kinetyczna $E_k=\frac{1}{2}k(A^2-x^2)$:

Atom 4 z 4 · ~10 min

Przykładowe problemy z rozwiązaniem krok po kroku

Treść: Na dwóch sprężynach o współczynnikach $k_1 = 60\text{ N/m}$ i $k_2 = 120\text{ N/m}$ połączonych szeregowo drga ciężarek, a całkowita energia mechaniczna tych drgań wynosi $E_c = 5{,}0\text{ J}$. Oblicz amplitudę drgań $A$.

  • Treść: Całkowita energia oscylatora harmonicznego wynosi $E_c = 1{,}8\text{ J}$.
  • Ile wynoszą jego energia potencjalna $E_p$ oraz energia kinetyczna $E_k$ w chwili, gdy wychylenie z położenia równowagi stanowi $x = \frac{1}{3}A$?
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Obliczamy zastępczy współczynnik sprężystości dla połączenia szeregowego: $$k_z = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2} = \frac{60 \cdot 120}{60 + 120} = \frac{7200}{180} = 40\text{ N/m}$$ 2. Ze wzoru $E_c = \frac{1}{2}k_z A^2$ wyznaczamy amplitudę $A$: $$A = \sqrt{\frac{2E_c}{k_z}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 5{,}0\text{ J}}{40\text{ N/m}}} = \sqrt{0{,}25\text{ m}^2} = 0{,}50\text{ m}$$
Sprawdzenie · atom 4 · ~3 min

Pytanie do klasy

Dwie sprężyny o $k_1=60$ N/m i $k_2=120$ N/m połączono szeregowo. Zastępczy współczynnik sprężystości wynosi:

Zamknięcie · ~5 min

Co zabrać z lekcji

  • Dodając obie energie i stosując jedynkę trygonometryczną $\sin^2\Phi + \cos^2\Phi = 1$, dostajemy zasadę zachowania energii mechanicznej dla oscylatora…
  • Kluczowe położenia na osi $x$ i częstotliwość przemian energii
  • Interaktywna symulacja: parabola energetyczna $E(x)$ i słupki $E_p, E_k, E_c$
  • Treść: Całkowita energia oscylatora harmonicznego wynosi $E_c = 1{,}8\text{ J}$.
Bilet wyjściowy: Oscylator o energii całkowitej $E_c=5{,}0$ J drga na układzie sprężyn o zastępczym $k_z=40$ N/m. Amplituda drgań wynosi:
Odpowiedź: d) $0{,}50$ m
Hyżyk· Moduł 09 — Energia w ruchu harmonicznym: przemiany Ek i Ep — moduł 1 / 1