Moduł 06 kursu Ruch drgający: zastępczy współczynnik sprężystości k_z dla połączenia równoległego i szeregowego, wózek między dwiema sprężynami oraz dzielenie sprężyny na części.
W połączeniu równoległym obie sprężyny ($k_1$ i $k_2$) są przymocowane obok siebie do tego samego ciężarka, więc przy przesunięciu o $x$ obie wydłużają się dokładnie o tyle samo ($x_1 = x_2 = x$).
Dwie sprężyny o współczynnikach $k_1 = 30\ \text{N/m}$ i $k_2 = 60\ \text{N/m}$ połączono równolegle. Współczynnik sprężystości układu wynosi:
Poprawna: a) Dla połączenia równoległego $k_z = k_1 + k_2 = 90\ \text{N/m}$. Wartość $20\ \text{N/m}$ pochodzi ze wzoru szeregowego $k_1k_2/(k_1+k_2)$, czyli z pomylenia obu układów.
Gdy dwie sprężyny połączymy jedna za drugą w łańcuch, przez obie przenosi się dokładnie ta sama siła naciągu ($F_1 = F_2 = F$), natomiast całkowite wydłużenie układu jest sumą wydłużeń obu sprężyn ($x = x_1 + x_2$):
Sprężyny $k_1 = 20\ \text{N/m}$ i $k_2 = 80\ \text{N/m}$ połączono szeregowo. Współczynnik zastępczy wynosi:
Poprawna: d) $1/k_z = 1/20 + 1/80 = 5/80$, więc $k_z = 16\ \text{N/m}$. Suma $100\ \text{N/m}$ to wynik wzoru dla połączenia równoległego.
Wyobraź sobie jednorodną sprężynę o współczynniku $k$, którą przecinamy na dwie równe połówki. Zanim ją przecięliśmy, była ona niczym innym jak dwiema takimi połówkami (o sztywności $k'$) połączonymi szeregowo :
Jednorodną sprężynę o współczynniku $k = 25\ \text{N/m}$ pocięto na 4 równe części. Współczynnik sprężystości każdej części wynosi:
Poprawna: c) Dla $n$ równych części $k' = nk = 4 \cdot 25 = 100\ \text{N/m}$. Wartość $6{,}25\ \text{N/m}$ powstaje z podzielenia przez 4 zamiast pomnożenia, czyli z odwrócenia zależności.
W symulacji ustawiasz $k_1 = k_2 = 40\ \text{N/m}$. Pojedyncza sprężyna ma okres $T$, układ równoległy $T_{\text{równ}}$, a szeregowy $T_{\text{szer}}$. Który stosunek jest poprawny?
Poprawna: b) Równolegle $k_z = 2k$, więc okres maleje $\sqrt{2}$ razy, a szeregowo $k_z = k/2$, więc rośnie $\sqrt{2}$ razy. Wariant c zamienia oba układy miejscami.
Treść: Deska zawieszona na dwóch jednakowych sprężynach połączonych szeregowo drga w pionie z częstotliwością $f_2 = 0{,}20\text{ Hz}$. Oblicz, ile wynosiłby okres drgań $T_5$ tej samej deski, gdyby wisiała na pięciu takich samych…
Deska zawieszona na dwóch jednakowych sprężynach połączonych szeregowo drga z częstotliwością $f_2 = 0{,}20\ \text{Hz}$. Gdy zawiesimy ją na pięciu takich sprężynach szeregowo, okres wyniesie około:
Poprawna: a) $T_2 = 1/f_2 = 5\ \text{s}$, a $T_5 = T_2\sqrt{5/2} \approx 7{,}9\ \text{s}$. Odpowiedź $5{,}0\ \text{s}$ to okres wyjściowy, czyli pominięcie zmiany liczby sprężyn.