W budowie
Prezentacja modułu

Moduł 07 — Wahadło matematyczne i pomiar przyspieszenia g — kurs Ruch drgający

Moduł 07 kursu Ruch drgający: rozkład sił w wahadle matematycznym, przybliżenie małych kątów, wzór Huygensa T = 2π√(l/g), izochronizm i doświadczalne wyznaczanie przyspieszenia grawitacyjnego g.

  • 45 min
  • 11 slajdów
  • Notatki nauczyciela: N
  • Strona modułu: otwórz
Plan · 45 min

Co dziś robimy

  1. 9 minRozkład sił i przybliżenie małych kątów Składowa wzdłuż nici: $F_{\parallel} = mg\cos\alpha$ — napina nić (wraz z siłą naciągu…
  2. 10 minIzochronizm, wyznaczanie $g$ oraz wahadło w windzie Izochronizm wahadła: okres małych wahań nie zależy ani od masy kulki $m$, ani od…
  3. 9 minInteraktywna symulacja: wahadło matematyczne na różnych ciałach niebieskich teza, kod i pytanie kontrolne
  4. 10 minPrzykładowe problemy z rozwiązaniem krok po kroku Treść: Obok siebie umieszczono wahadło matematyczne oraz ciężarek o masie $m =…
  5. 5 minPodsumowanie bilet wyjściowy i zadanie domowe
Atom 1 z 4 · ~9 min

Rozkład sił i przybliżenie małych kątów

Gdy odchylimy wahadło o kąt $\alpha$ od pionu, na kulkę o masie $m$ działają dwie siły: pionowo w dół siła ciężkości $\vec{F}_g = m\vec{g}$ oraz wzdłuż nici siła naciągu $\vec{F}_n$. Rozłóżmy ciężar $mg$ na dwa kierunki:

  • Składowa wzdłuż nici: $F_{\parallel} = mg\cos\alpha$ — napina nić (wraz z siłą naciągu $F_n$ daje siłę dośrodkową utrzymującą kulkę na łuku okręgu).
  • Składowa styczna do toru ruchu: $F_s = -mg\sin\alpha$ — ściąga kulkę z powrotem do najniższego punktu (położenia równowagi).
  • Zauważmy, że we wzorze $F_s = -mg\sin\alpha$ występuje $\sin\alpha$, a nie samo wychylenie $x$.
  • Oznacza to, że dla dużych kątów wychylenia wahadło nie jest dokładnie oscylatorem harmonicznym!
Siła zwrotna i wzór Huygensa na okres wahadła matematycznego (dla małych kątów): $$F_s = -mg\sin\alpha \approx -mg\frac{x}{l} = -\left(\frac{mg}{l}\right)x$$ Porównując to z równaniem siły harmonicznej $F = -m\omega^2 x$, widzimy, że masa $m$ po obu stronach się skraca: $$m\omega^2 = \frac{mg}{l} \implies \omega = \sqrt{\frac{g}{l}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$
Sprawdzenie · atom 1 · ~3 min

Pytanie do klasy

Która składowa siły ciężkości pełni rolę siły zwrotnej w ruchu wahadła matematycznego?

Atom 2 z 4 · ~10 min

Izochronizm, wyznaczanie $g$ oraz wahadło w windzie

Z wyprowadzonego wzoru $T = 2\pi\sqrt{l/g}$ wynikają trzy fundamentalne wnioski maturalne:

  • Izochronizm wahadła: okres małych wahań nie zależy ani od masy kulki $m$, ani od amplitudy wahań (odkrył to Galileusz, obserwując żyrandol w katedrze w Pizie).
  • Pomiar przyspieszenia ziemskiego $g$: mierząc długość wahadła $l$ oraz okres $T$, wyznaczamy lokalne przyspieszenie grawitacyjne: $$T^2 = 4\pi^2\frac{l}{g} \implies g =…
  • Wahadło w windzie i na innych planetach: w windzie przyspieszającej w górę z przyspieszeniem $a_w$ pojawia się pozorna siła bezwładności skierowana w dół, więc efektywne…
Sprawdzenie · atom 2 · ~3 min

Pytanie do klasy

Zegar wahadłowy umieszczono w windzie, która rusza w górę ze stałym przyspieszeniem $a_w$. W czasie przyspieszania:

Symulacja · atom 3 · ~6 min

Interaktywna symulacja: wahadło matematyczne na różnych ciałach niebieskich

Sprawdzenie · atom 3 · ~3 min

Pytanie do klasy

W symulacji przenosisz wahadło o tej samej długości z Ziemi na Księżyc, gdzie $g \approx 1{,}62\ \text{m/s}^2$. Okres wahań:

Atom 4 z 4 · ~10 min

Przykładowe problemy z rozwiązaniem krok po kroku

Treść: Kulkę o masie $m = 0{,}50\text{ kg}$ zawieszono na lekkiej nici o długości $l = 1{,}5\text{ m}$ ($g = 9{,}81\text{ m/s}^2$). Oblicz okres małych drgań tego wahadła oraz wartość składowej stycznej siły wypadkowej $F_s$ w chwili, gdy…

  • Treść: Obok siebie umieszczono wahadło matematyczne oraz ciężarek o masie $m = 1{,}0\text{ kg}$ zawieszony na sprężynie o współczynniku sprężystości $k = 50\text{ N/m}$.
  • Oba układy wykonują drgania harmoniczne z dokładnie taką samą częstotliwością ($g = 9{,}81\text{ m/s}^2$).
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Okres drgań $T$: $$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{1{,}5\text{ m}}{9{,}81\text{ m/s}^2}} \approx 2\pi \cdot 0{,}391\text{ s} \approx 2{,}46\text{ s}$$ 2. Wartość siły stycznej $|F_s|$: $$|F_s| \approx \frac{mg}{l}x = \frac{0{,}50\text{ kg} \cdot 9{,}81\text{ m/s}^2}{1{,}5\text{ m}} \cdot 0{,}10\text{ m} = 0{,}327\text{ N}$$
Sprawdzenie · atom 4 · ~3 min

Pytanie do klasy

Kulkę zawieszono na nici o długości $l = 1{,}5\ \text{m}$ ($g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$). Okres małych drgań wynosi około:

Zamknięcie · ~5 min

Co zabrać z lekcji

  • Składowa wzdłuż nici: $F_{\parallel} = mg\cos\alpha$ — napina nić (wraz z siłą naciągu $F_n$ daje siłę dośrodkową utrzymującą kulkę na łuku okręgu).
  • Izochronizm wahadła: okres małych wahań nie zależy ani od masy kulki $m$, ani od amplitudy wahań (odkrył to Galileusz, obserwując żyrandol w katedrze w Pizie).
  • Interaktywna symulacja: wahadło matematyczne na różnych ciałach niebieskich
  • Treść: Obok siebie umieszczono wahadło matematyczne oraz ciężarek o masie $m = 1{,}0\text{ kg}$ zawieszony na sprężynie o współczynniku sprężystości $k =…
Bilet wyjściowy: Wahadło matematyczne ma drgać z takim samym okresem jak ciężarek $m = 1{,}0\ \text{kg}$ na sprężynie $k = 50\ \text{N/m}$ ($g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$). Długość nici powinna wynosić około:
Odpowiedź: c) $19{,}6\ \text{cm}$
Hyżyk· Moduł 07 — Wahadło matematyczne i pomiar przyspieszenia g — moduł 1 / 1