Zbiór zadań — techniki maturalne - Geometria planarna
Przećwiczysz zadania zamknięte, krótkiej odpowiedzi i dowodowe.
- 45 min
- 11 slajdów
- Notatki nauczyciela: N
- Strona modułu: otwórz
Co dziś robimy
- 8 minWprowadzenie teza, kod i pytanie kontrolne
- 10 minJak to rozpoznać? Przeciwprostokątna: c = √(81 + 144) = 15.
- 10 minRozwiąż samodzielnie Przyprostokątne mają 5 i 12. Oblicz wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną.
- 10 minZadania dodatkowe Uzasadnij, że kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty.
- 5 minPodsumowanie bilet wyjściowy i zadanie domowe
Wprowadzenie
Pytanie do klasy
Najlepszy schemat pracy w zadaniu maturalnym z geometrii to
Poprawna: a) Rysunek porządkuje dane i szukane, a dopiero potem można wybrać twierdzenie; zaczynanie od obliczeń kończy się podstawianiem przypadkowych wzorów.
Jak to rozpoznać?
W trójkącie prostokątnym wysokość opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki x i y. Zachodzą zależności h² = x · y oraz a² = c · x, b² = c · y. Często wygodniej policzyć pole dwoma sposobami niż szukać dodatkowych wzorów.
- Przeciwprostokątna: c = √(81 + 144) = 15.
- Pole: P = ½ · 9 · 12 = 54.
- Z drugiego wzoru: 54 = ½ · 15 · h, więc h = 7,2.
- W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają 9 i 12.
Pytanie do klasy
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają $6$ i $8$. Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną wynosi
Poprawna: d) Przeciwprostokątna ma $10$, pole $24$, więc $h = \frac{2 \cdot 24}{10} = 4{,}8$; $9{,}6$ to wynik pominięcia współczynnika $\frac{1}{2}$.
Rozwiąż samodzielnie
- Przyprostokątne mają 5 i 12. Oblicz wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną. Pokaż rozwiązanie c = 13, P = 30, więc 30 = ½ · 13 · h i h = 60/13 ≈ 4,62.
- Wysokość 6 dzieli przeciwprostokątną na odcinki 4 i 9. Oblicz przyprostokątne. Pokaż rozwiązanie c = 13. a² = 13 · 4 = 52, więc a = 2√13.
Pytanie do klasy
Przyprostokątne mają $8$ i $15$. Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną jest równa
Poprawna: c) Pole wynosi $60$, przeciwprostokątna $17$, więc $h = \frac{2 \cdot 60}{17} = \frac{120}{17}$; $\frac{60}{17}$ to wynik z pominiętym współczynnikiem $2$.
Zadania dodatkowe
- Uzasadnij, że kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty. Pokaż rozwiązanie Kąt środkowy oparty na średnicy ma 180°. Kąt wpisany jest dwa razy mniejszy, więc ma 90°.
- Oblicz pole trójkąta o bokach 13, 14, 15. Pokaż rozwiązanie Wysokość opuszczona na bok 14 dzieli go na odcinki 5 i 9 (z układu a² − x² = b² − (14−x)²).
Pytanie do klasy
Dwa kąty wpisane są oparte na tym samym łuku. Wynika z tego, że
Poprawna: b) Oba kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają połowę miary kąta środkowego, więc są równe; uzupełnianie do $180^\circ$ dotyczy czworokąta wpisanego w okrąg.
Co zabrać z lekcji
- Wprowadzenie
- Przeciwprostokątna: c = √(81 + 144) = 15.
- Przyprostokątne mają 5 i 12. Oblicz wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną. Pokaż rozwiązanie c = 13, P = 30, więc 30 = ½ · 13 · h i h = 60/13 ≈ 4,62.
- Uzasadnij, że kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty. Pokaż rozwiązanie Kąt środkowy oparty na średnicy ma 180°.
Odpowiedź: d) $16$