Potwierdzone sprawdzone punkt po punkcie · 2026-10-26
Pomiń nawigację
← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit
Matematyka · liceum

GEOMETRIA PLANARNA · MODUŁ 14

Zbiór zadań — techniki maturalne

PPrezentacja dla nauczyciela

Poznasz strategie rozwiązywania zadań maturalnych z geometrii.

Wprowadzenie

Zadania maturalne z geometrii najczęściej łączą kilka twierdzeń. Warto mieć stały schemat: rysunek, dane, twierdzenie, obliczenia, sprawdzenie.

h x y A B C h² = x · y
Rysunek pomocniczy. Zwróć uwagę na oznaczenia i zależności opisane w treści.
1. Najlepszy schemat pracy w zadaniu maturalnym z geometrii to
1. Najlepszy schemat pracy w zadaniu maturalnym z geometrii to
2. W trójkącie prostokątnym $b^2 = c \cdot y$. Odcinek $y$ to
2. W trójkącie prostokątnym $b^2 = c \cdot y$. Odcinek $y$ to
3. Pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $a$, $b$, przeciwprostokątnej $c$ i wysokości $h$ opisuje para wzorów
3. Pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $a$, $b$, przeciwprostokątnej $c$ i wysokości $h$ opisuje para wzorów

Jak to rozpoznać?

W trójkącie prostokątnym wysokość opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki x i y. Zachodzą zależności h² = x · y oraz a² = c · x, b² = c · y. Często wygodniej policzyć pole dwoma sposobami niż szukać dodatkowych wzorów.

Wzory i zasady do zapamiętania

h² = x · y. a² = c · x. b² = c · y. Pole: P = ½ab = ½ch.

Przykład rozwiązany

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają 9 i 12. Oblicz wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną.

  1. Przeciwprostokątna: c = √(81 + 144) = 15.
  2. Pole: P = ½ · 9 · 12 = 54.
  3. Z drugiego wzoru: 54 = ½ · 15 · h, więc h = 7,2.

Odpowiedź: h = 7,2.

4. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają $6$ i $8$. Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną wynosi
4. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają $6$ i $8$. Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną wynosi
5. Zależność $a^2 = c \cdot x$ oznacza, że przyprostokątna $a$ jest
5. Zależność $a^2 = c \cdot x$ oznacza, że przyprostokątna $a$ jest
6. Rzuty przyprostokątnych na przeciwprostokątną mają $4$ i $9$. Przeciwprostokątna ma
6. Rzuty przyprostokątnych na przeciwprostokątną mają $4$ i $9$. Przeciwprostokątna ma

Rozwiąż samodzielnie

  1. Przyprostokątne mają 5 i 12. Oblicz wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną.

    Pokaż rozwiązanie
    c = 13, P = 30, więc 30 = ½ · 13 · h i h = 60/13 ≈ 4,62.

  2. Wysokość 6 dzieli przeciwprostokątną na odcinki 4 i 9. Oblicz przyprostokątne.

    Pokaż rozwiązanie
    c = 13. a² = 13 · 4 = 52, więc a = 2√13. b² = 13 · 9 = 117, więc b = 3√13.
7. Przyprostokątne mają $8$ i $15$. Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną jest równa
7. Przyprostokątne mają $8$ i $15$. Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną jest równa
8. Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną ma $6$ i dzieli ją na odcinki $3$ i $12$. Krótsza przyprostokątna ma
8. Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną ma $6$ i dzieli ją na odcinki $3$ i $12$. Krótsza przyprostokątna ma
9. W trójkącie o bokach $13$, $14$, $15$ wysokość opuszczona na bok $14$ wynosi
9. W trójkącie o bokach $13$, $14$, $15$ wysokość opuszczona na bok $14$ wynosi

Zadania dodatkowe

  1. Uzasadnij, że kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty.

    Pokaż rozwiązanie
    Kąt środkowy oparty na średnicy ma 180°. Kąt wpisany jest dwa razy mniejszy, więc ma 90°.

  2. Oblicz pole trójkąta o bokach 13, 14, 15.

    Pokaż rozwiązanie
    Wysokość opuszczona na bok 14 dzieli go na odcinki 5 i 9 (z układu a² − x² = b² − (14−x)²). h² = 13² − 5² = 144, więc h = 12. P = ½ · 14 · 12 = 84.
10. Dwa kąty wpisane są oparte na tym samym łuku. Wynika z tego, że
10. Dwa kąty wpisane są oparte na tym samym łuku. Wynika z tego, że
11. Trójkąt o bokach $13$, $14$, $15$ ma pole $84$. Promień okręgu wpisanego wynosi
11. Trójkąt o bokach $13$, $14$, $15$ ma pole $84$. Promień okręgu wpisanego wynosi
12. Przyprostokątna $a = 8$ ma rzut na przeciwprostokątną równy $4$. Przeciwprostokątna ma
12. Przyprostokątna $a = 8$ ma rzut na przeciwprostokątną równy $4$. Przeciwprostokątna ma

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź. Pomyłka to wskazówka, do którego miejsca wrócić.

13. W trójkącie prostokątnym $h^2$ jest równe
13. W trójkącie prostokątnym $h^2$ jest równe
14. Pole trójkąta o bokach $13$, $14$, $15$ wynosi
14. Pole trójkąta o bokach $13$, $14$, $15$ wynosi
15. Kąt wpisany oparty na średnicy ma
15. Kąt wpisany oparty na średnicy ma
Zapamiętaj

Przećwiczysz zadania zamknięte, krótkiej odpowiedzi i dowodowe. Kluczowe wzory są w ramce powyżej — wróć do przykładu, jeśli któreś obliczenie jest niejasne.

Materiały edukacyjne Hyżyk · Geometria planarna — liceum · Prywatność i dane