Potwierdzone sprawdzone punkt po punkcie · 2026-10-26
Pomiń nawigację
← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit
Matematyka · liceum

GEOMETRIA PLANARNA · MODUŁ 15

Zastosowania geometrii

PPrezentacja dla nauczyciela

Zobaczysz, jak geometria działa w praktyce: cienie, mapy, drabiny i pomiary.

Wprowadzenie

Geometria planarna nie kończy się na rysunkach w zeszycie. Te same twierdzenia pozwalają mierzyć wysokość drzewa, odległość na mapie czy długość drabiny.

h 12 m 3 m 1,8 m
Rysunek pomocniczy. Zwróć uwagę na oznaczenia i zależności opisane w treści.
1. Aby zmierzyć wysokość drzewa bez wchodzenia na nie, wykorzystasz
1. Aby zmierzyć wysokość drzewa bez wchodzenia na nie, wykorzystasz
2. Mapa ma skalę $1:25\,000$. Odcinkowi $4\,\text{cm}$ na mapie odpowiada w terenie
2. Mapa ma skalę $1:25\,000$. Odcinkowi $4\,\text{cm}$ na mapie odpowiada w terenie
3. Drabina długości $5\,\text{m}$ stoi $3\,\text{m}$ od ściany. Sięga ona wysokości
3. Drabina długości $5\,\text{m}$ stoi $3\,\text{m}$ od ściany. Sięga ona wysokości

Jak to rozpoznać?

Promienie słońca są równoległe, więc drzewo i człowiek oraz ich cienie tworzą trójkąty podobne. Z proporcji wysokości do cienia obliczamy nieznaną wysokość. Podobnie działają mapy w skali oraz pomiary kątów w terenie.

Wzory i zasady do zapamiętania

Cienie: h₁/h₂ = s₁/s₂. Skala mapy 1 : k: odległość w terenie = k · odległość na mapie. Trygonometria: tan α = h/d.

Przykład rozwiązany

Drzewo rzuca cień 12 m, a człowiek o wzroście 1,8 m cień 3 m. Oblicz wysokość drzewa.

  1. Trójkąty są podobne, więc h/1,8 = 12/3.
  2. 12/3 = 4, więc h = 1,8 · 4.
  3. h = 7,2 m.

Odpowiedź: 7,2 m.

4. Człowiek o wzroście $1{,}7\,\text{m}$ rzuca cień $2\,\text{m}$, a drzewo w tym samym czasie cień $10\,\text{m}$. Wysokość drzewa wynosi
4. Człowiek o wzroście $1{,}7\,\text{m}$ rzuca cień $2\,\text{m}$, a drzewo w tym samym czasie cień $10\,\text{m}$. Wysokość drzewa wynosi
5. Kąt $\alpha$ między poziomem a linią patrzenia na szczyt drzewa, przy odległości $d$ od pnia, spełnia zależność
5. Kąt $\alpha$ między poziomem a linią patrzenia na szczyt drzewa, przy odległości $d$ od pnia, spełnia zależność
6. Mapa ma skalę $1:100\,000$. Odległość $5\,\text{km}$ w terenie odpowiada na mapie
6. Mapa ma skalę $1:100\,000$. Odległość $5\,\text{km}$ w terenie odpowiada na mapie

Rozwiąż samodzielnie

  1. Budynek rzuca cień 20 m. Kij o wysokości 1 m ma cień 1,5 m. Oblicz wysokość budynku.

    Pokaż rozwiązanie
    h/1 = 20/1,5, więc h = 13,3 m (w przybliżeniu).

  2. Mapa ma skalę 1 : 50 000. Odległość na mapie wynosi 4 cm. Oblicz odległość w terenie.

    Pokaż rozwiązanie
    4 cm · 50 000 = 200 000 cm = 2 km.
7. Budynek rzuca cień $20\,\text{m}$. Kij o wysokości $1\,\text{m}$ ma cień $1{,}5\,\text{m}$. Wysokość budynku wynosi około
7. Budynek rzuca cień $20\,\text{m}$. Kij o wysokości $1\,\text{m}$ ma cień $1{,}5\,\text{m}$. Wysokość budynku wynosi około
8. Mapa ma skalę $1:50\,000$. Odległość $4\,\text{cm}$ na mapie odpowiada w terenie
8. Mapa ma skalę $1:50\,000$. Odległość $4\,\text{cm}$ na mapie odpowiada w terenie
9. Odległość $3\,\text{km}$ zapisana w centymetrach to
9. Odległość $3\,\text{km}$ zapisana w centymetrach to

Zadania dodatkowe

  1. Drabina o długości 5 m jest oparta o ścianę. Podstawa stoi 3 m od ściany. Na jaką wysokość sięga drabina?

    Pokaż rozwiązanie
    h² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16, więc h = 4 m.

  2. Drzewo widać pod kątem 30° z odległości 50 m. Oblicz jego wysokość (tan 30° ≈ 0,577).

    Pokaż rozwiązanie
    h = 50 · tan 30° ≈ 50 · 0,577 = 28,9 m.
10. Drzewo widać pod kątem $30^\circ$ z odległości $50\,\text{m}$. Przyjmując $\tan 30^\circ \approx 0{,}577$, wysokość drzewa wynosi około
10. Drzewo widać pod kątem $30^\circ$ z odległości $50\,\text{m}$. Przyjmując $\tan 30^\circ \approx 0{,}577$, wysokość drzewa wynosi około
11. Cień drzewa jest dwa razy dłuższy niż cień człowieka o wzroście $1{,}7\,\text{m}$, ustawionego obok w tym samym czasie. Drzewo ma wysokość
11. Cień drzewa jest dwa razy dłuższy niż cień człowieka o wzroście $1{,}7\,\text{m}$, ustawionego obok w tym samym czasie. Drzewo ma wysokość
12. Szczyt wieży widać pod kątem $45^\circ$ z odległości $30\,\text{m}$ od jej podstawy. Wysokość wieży wynosi
12. Szczyt wieży widać pod kątem $45^\circ$ z odległości $30\,\text{m}$ od jej podstawy. Wysokość wieży wynosi

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź. Pomyłka to wskazówka, do którego miejsca wrócić.

13. Mapa ma skalę $1:1000$. Odcinek $3\,\text{cm}$ odpowiada w terenie
13. Mapa ma skalę $1:1000$. Odcinek $3\,\text{cm}$ odpowiada w terenie
14. Cień człowieka o wzroście $1{,}5\,\text{m}$ ma $2\,\text{m}$. Cień drzewa ma $8\,\text{m}$. Wysokość drzewa to
14. Cień człowieka o wzroście $1{,}5\,\text{m}$ ma $2\,\text{m}$. Cień drzewa ma $8\,\text{m}$. Wysokość drzewa to
15. Twierdzenie Pitagorasa stosujemy w trójkącie
15. Twierdzenie Pitagorasa stosujemy w trójkącie
Zapamiętaj

Zastosujesz twierdzenia geometryczne w pomiarach, architekturze i fizyce. Kluczowe wzory są w ramce powyżej — wróć do przykładu, jeśli któreś obliczenie jest niejasne.

Materiały edukacyjne Hyżyk · Geometria planarna — liceum · Prywatność i dane