Potwierdzone sprawdzone punkt po punkcie · 2026-10-26
Pomiń nawigację
← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit
Matematyka · liceum

GEOMETRIA PLANARNA · MODUŁ 11

Symetralne i okrąg opisany

PPrezentacja dla nauczyciela

Poznasz symetralną odcinka i wzory na promień okręgu opisanego.

Wprowadzenie

Symetralna odcinka to prosta prostopadła do niego, przechodząca przez środek. Symetralne boków trójkąta przecinają się w środku okręgu opisanego.

O R A B C O — przecięcie symetralnych boków R = abc / (4P)
Rysunek pomocniczy. Zwróć uwagę na oznaczenia i zależności opisane w treści.
1. Symetralna odcinka to prosta
1. Symetralna odcinka to prosta
2. Każdy punkt symetralnej odcinka AB jest
2. Każdy punkt symetralnej odcinka AB jest
3. Symetralne boków trójkąta przecinają się w środku
3. Symetralne boków trójkąta przecinają się w środku

Jak to rozpoznać?

Każdy punkt symetralnej jest równo odległy od końców odcinka. Dlatego przecięcie symetralnych boków trójkąta jest jednakowo odległe od wszystkich wierzchołków — to środek okręgu opisanego. W trójkącie prostokątnym środek ten leży na środku przeciwprostokątnej, więc R = c/2.

Wzory i zasady do zapamiętania

R = abc / (4P). R = a / (2 sin α). Trójkąt prostokątny: R = c/2.

Przykład rozwiązany

Trójkąt ma boki 6, 8 i 10. Oblicz promień okręgu opisanego.

  1. 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10², więc trójkąt jest prostokątny.
  2. Przeciwprostokątna ma 10, a w trójkącie prostokątnym R = c/2.
  3. R = 5.

Odpowiedź: R = 5.

4. W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży
4. W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży
5. Punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta jest równo odległy od
5. Punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta jest równo odległy od
6. Wzór $R = \frac{a}{2\sin\alpha}$ pochodzi z twierdzenia
6. Wzór $R = \frac{a}{2\sin\alpha}$ pochodzi z twierdzenia

Rozwiąż samodzielnie

  1. Trójkąt prostokątny ma boki 5, 12, 13. Oblicz R.

    Pokaż rozwiązanie
    Przeciwprostokątna ma 13, więc R = 13/2 = 6,5.

  2. Trójkąt ma boki 6, 8, 10 i pole 24. Oblicz R ze wzoru R = abc/(4P).

    Pokaż rozwiązanie
    R = (6 · 8 · 10) : (4 · 24) = 480 : 96 = 5.
7. Trójkąt prostokątny ma boki 5, 12 i 13. Promień okręgu opisanego wynosi
7. Trójkąt prostokątny ma boki 5, 12 i 13. Promień okręgu opisanego wynosi
8. Trójkąt ma boki 6, 8, 10 i pole 24. Promień okręgu opisanego wynosi
8. Trójkąt ma boki 6, 8, 10 i pole 24. Promień okręgu opisanego wynosi
9. Promień okręgu opisanego wynosi 10, a kąt α ma 30°. Bok a naprzeciw kąta α wynosi
9. Promień okręgu opisanego wynosi 10, a kąt α ma 30°. Bok a naprzeciw kąta α wynosi

Zadania dodatkowe

  1. R = 10, a kąt α = 30°. Oblicz bok a naprzeciw tego kąta.

    Pokaż rozwiązanie
    Z twierdzenia sinusów a = 2R sin α = 20 · ½ = 10.

  2. Trójkąt równoboczny ma bok 6. Oblicz R.

    Pokaż rozwiązanie
    R = a/√3 = 6/√3 = 2√3.
10. Trójkąt równoboczny ma bok 6. Promień okręgu opisanego wynosi
10. Trójkąt równoboczny ma bok 6. Promień okręgu opisanego wynosi
11. Promień okręgu opisanego ma 5, a bok a ma 6. Sinus kąta α naprzeciw boku a wynosi
11. Promień okręgu opisanego ma 5, a bok a ma 6. Sinus kąta α naprzeciw boku a wynosi
12. Trójkąt ma boki 6, 8 i 10. Odległość środka okręgu opisanego od przeciwprostokątnej wynosi
12. Trójkąt ma boki 6, 8 i 10. Odległość środka okręgu opisanego od przeciwprostokątnej wynosi

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź. Pomyłka to wskazówka, do którego miejsca wrócić.

Zapamiętaj

Wyznaczysz środek okręgu opisanego i obliczysz promień R. Kluczowe wzory są w ramce powyżej — wróć do przykładu, jeśli któreś obliczenie jest niejasne.

13. Środek okręgu opisanego to punkt przecięcia
13. Środek okręgu opisanego to punkt przecięcia
14. W trójkącie prostokątnym promień okręgu opisanego wynosi
14. W trójkącie prostokątnym promień okręgu opisanego wynosi
15. Wzór $R = \frac{abc}{4P}$ opisuje promień
15. Wzór $R = \frac{abc}{4P}$ opisuje promień

Materiały edukacyjne Hyżyk · Geometria planarna — liceum · Prywatność i dane