Potwierdzone sprawdzone punkt po punkcie · 2026-10-26
Pomiń nawigację
← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit
Matematyka · liceum

GEOMETRIA PLANARNA · MODUŁ 03

Przystawanie trójkątów

PPrezentacja dla nauczyciela

Nauczysz się rozpoznawać trójkąty przystające i uzasadniać to cechami.

Wprowadzenie

Dwa trójkąty są przystające, gdy można je nałożyć na siebie. Wystarczy sprawdzić trzy elementy — boki lub kąty — aby mieć pewność.

ABC DEF BBB · BKB · KBK
Rysunek pomocniczy. Zwróć uwagę na oznaczenia i zależności opisane w treści.
1. Dwa trójkąty są przystające, gdy
1. Dwa trójkąty są przystające, gdy
2. Cecha BBB wymaga równości
2. Cecha BBB wymaga równości
3. Cecha KBK wymaga
3. Cecha KBK wymaga

Jak to rozpoznać?

Cechy przystawania: BBB — trzy boki równe; BKB — dwa boki i kąt między nimi; KBK — dwa kąty i bok między nimi. Kolejność jest ważna: w BKB kąt musi leżeć między bokami, a w KBK bok między kątami. Trójkąty przystające mają równe boki, kąty, obwody i pola.

Wzory i zasady do zapamiętania

Przystawanie: BBB, BKB, KBK. Trójkąty przystające mają równe obwody i pola.

Przykład rozwiązany

Trójkąty ABC i DEF mają |AB| = |DE| = 7, |BC| = |EF| = 9 oraz |∠ABC| = |∠DEF| = 60°. Czy są przystające?

  1. Kąt ABC leży między bokami AB i BC, a kąt DEF między DE i EF.
  2. Mamy dwa boki i kąt między nimi.
  3. To cecha BKB, więc trójkąty są przystające.

Odpowiedź: Tak, na podstawie cechy BKB.

4. Która cecha NIE jest cechą przystawania trójkątów?
4. Która cecha NIE jest cechą przystawania trójkątów?
5. BKB oznacza
5. BKB oznacza
6. Trójkąty przystające mają
6. Trójkąty przystające mają

Rozwiąż samodzielnie

  1. Dwa trójkąty mają boki 5, 7, 9 oraz 5, 7, 9. Czy są przystające? Jaka to cecha?

    Pokaż rozwiązanie
    Wszystkie trzy boki są równe, więc trójkąty są przystające na podstawie cechy BBB.

  2. W trójkątach ABC i KLM: |AB| = |KL|, |∠A| = |∠K|, |∠B| = |∠L|. Jaka to cecha?

    Pokaż rozwiązanie
    Dwa kąty i bok między nimi są równe — cecha KBK.
7. Dwa trójkąty mają boki 5, 7, 9 oraz 5, 7, 9. Są
7. Dwa trójkąty mają boki 5, 7, 9 oraz 5, 7, 9. Są
8. W trójkątach ABC i KLM: $|AB| = |KL|$, $|BC| = |LM|$, $|\angle B| = |\angle L|$. Cecha przystawania to
8. W trójkątach ABC i KLM: $|AB| = |KL|$, $|BC| = |LM|$, $|\angle B| = |\angle L|$. Cecha przystawania to
9. Przekątna prostokąta o bokach 3 i 4 dzieli go na dwa trójkąty. Każdy z nich ma boki
9. Przekątna prostokąta o bokach 3 i 4 dzieli go na dwa trójkąty. Każdy z nich ma boki

Zadania dodatkowe

  1. Uzasadnij, że przekątna dzieli prostokąt na dwa przystające trójkąty.

    Pokaż rozwiązanie
    Przekątna jest wspólnym bokiem. Boki prostokąta są równe parami, a kąty przy bokach mają 90°. Trójkąty mają dwa boki i kąt między nimi równe — cecha BKB.

  2. Trójkąt przystający do danego ma obwód 24 cm. Jaki obwód ma dany trójkąt?

    Pokaż rozwiązanie
    Trójkąty przystające mają równe obwody, więc 24 cm.
10. Trójkąt przystający do danego ma obwód 31 cm. Obwód danego trójkąta wynosi
10. Trójkąt przystający do danego ma obwód 31 cm. Obwód danego trójkąta wynosi
11. Dwa trójkąty mają boki 4, 6, 8 oraz 4, 6, 9. Wynika z tego, że
11. Dwa trójkąty mają boki 4, 6, 8 oraz 4, 6, 9. Wynika z tego, że
12. Trójkąty o bokach 6, 8, 10 i 6, 8, 10 mają pola
12. Trójkąty o bokach 6, 8, 10 i 6, 8, 10 mają pola

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź. Pomyłka to wskazówka, do którego miejsca wrócić.

Zapamiętaj

Zastosujesz cechy BBB, BKB i KBK do uzasadniania przystawania trójkątów. Kluczowe wzory są w ramce powyżej — wróć do przykładu, jeśli któreś obliczenie jest niejasne.

13. W trójkątach ABC i DEF: $|\angle A| = |\angle D|$, $|\angle B| = |\angle E|$ oraz $|AB| = |DE|$. Trójkąty są
13. W trójkątach ABC i DEF: $|\angle A| = |\angle D|$, $|\angle B| = |\angle E|$ oraz $|AB| = |DE|$. Trójkąty są
14. Dwa trójkąty mają równe obwody i równe pola. Czy muszą być przystające?
14. Dwa trójkąty mają równe obwody i równe pola. Czy muszą być przystające?
15. Dwa trójkąty są przystające. Kąt jednego z nich ma 47°. Odpowiedni kąt drugiego ma
15. Dwa trójkąty są przystające. Kąt jednego z nich ma 47°. Odpowiedni kąt drugiego ma

Materiały edukacyjne Hyżyk · Geometria planarna — liceum · Prywatność i dane