Potwierdzone sprawdzone punkt po punkcie · 2026-10-26
Pomiń nawigację
← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit
Matematyka · liceum

GEOMETRIA PLANARNA · MODUŁ 12

Dwusieczne i okrąg wpisany

PPrezentacja dla nauczyciela

Poznasz dwusieczną kąta, środek okręgu wpisanego i promień r.

Wprowadzenie

Dwusieczna dzieli kąt na dwa równe kąty. W trójkącie dwusieczne przecinają się w środku okręgu wpisanego, a ich własności pozwalają dzielić boki w proporcjach.

S r A B C S — przecięcie dwusiecznych · P = p · r
Rysunek pomocniczy. Zwróć uwagę na oznaczenia i zależności opisane w treści.
1. Dwusieczna kąta to półprosta, która
1. Dwusieczna kąta to półprosta, która
2. Każdy punkt dwusiecznej kąta jest
2. Każdy punkt dwusiecznej kąta jest
3. Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w środku
3. Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w środku

Jak to rozpoznać?

Każdy punkt dwusiecznej jest równo odległy od ramion kąta. Dlatego przecięcie dwusiecznych jest jednakowo odległe od wszystkich boków — to środek okręgu wpisanego. Twierdzenie o dwusiecznej mówi, że dzieli ona przeciwległy bok w stosunku długości sąsiednich boków. Pole trójkąta można policzyć jako P = p · r, gdzie p to połowa obwodu.

Wzory i zasady do zapamiętania

|BD|/|DC| = |AB|/|AC|. P = p · r, gdzie p = (a + b + c)/2. r = P/p.

Przykład rozwiązany

Trójkąt ma boki 6, 8 i 10. Oblicz promień okręgu wpisanego.

  1. Pole: ½ · 6 · 8 = 24 (trójkąt prostokątny).
  2. Połowa obwodu: p = (6 + 8 + 10)/2 = 12.
  3. r = P/p = 24/12 = 2.

Odpowiedź: r = 2.

4. Dwusieczna kąta A przecina bok BC w punkcie D. Jeśli $|AB| = 6$ i $|AC| = 9$, to $|BD| : |DC|$ wynosi
4. Dwusieczna kąta A przecina bok BC w punkcie D. Jeśli $|AB| = 6$ i $|AC| = 9$, to $|BD| : |DC|$ wynosi
5. Wzór $r = \frac{P}{p}$ pozwala obliczyć promień okręgu wpisanego, gdy znamy
5. Wzór $r = \frac{P}{p}$ pozwala obliczyć promień okręgu wpisanego, gdy znamy
6. Punkt przecięcia dwusiecznych trójkąta jest jednakowo odległy od
6. Punkt przecięcia dwusiecznych trójkąta jest jednakowo odległy od

Rozwiąż samodzielnie

  1. Trójkąt ma boki 5, 12, 13. Oblicz r.

    Pokaż rozwiązanie
    P = ½ · 5 · 12 = 30, p = 15, więc r = 30/15 = 2.

  2. Pole trójkąta wynosi 36, a połowa obwodu 9. Oblicz r.

    Pokaż rozwiązanie
    r = P/p = 36/9 = 4.
7. Trójkąt ma boki 5, 12 i 13. Promień okręgu wpisanego wynosi
7. Trójkąt ma boki 5, 12 i 13. Promień okręgu wpisanego wynosi
8. Pole trójkąta wynosi 36, a połowa obwodu 9. Promień okręgu wpisanego jest równy
8. Pole trójkąta wynosi 36, a połowa obwodu 9. Promień okręgu wpisanego jest równy
9. Trójkąt ma boki 6, 8 i 10. Połowa obwodu wynosi
9. Trójkąt ma boki 6, 8 i 10. Połowa obwodu wynosi

Zadania dodatkowe

  1. Dwusieczna dzieli bok o długości 12 na odcinki w stosunku 2 : 1. Podaj ich długości.

    Pokaż rozwiązanie
    2 + 1 = 3 części, więc 12 : 3 = 4. Odcinki mają 8 i 4.

  2. Trójkąt równoboczny ma bok 6. Oblicz r.

    Pokaż rozwiązanie
    r = a√3/6 = 6√3/6 = √3.
10. Dwusieczna dzieli bok o długości 12 na odcinki w stosunku 2 : 1. Dłuższy odcinek ma
10. Dwusieczna dzieli bok o długości 12 na odcinki w stosunku 2 : 1. Dłuższy odcinek ma
11. Trójkąt równoboczny ma bok 6. Promień okręgu wpisanego wynosi
11. Trójkąt równoboczny ma bok 6. Promień okręgu wpisanego wynosi
12. Trójkąt równoboczny ma wysokość 3. Promień okręgu wpisanego wynosi
12. Trójkąt równoboczny ma wysokość 3. Promień okręgu wpisanego wynosi

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź. Pomyłka to wskazówka, do którego miejsca wrócić.

Zapamiętaj

Wykorzystasz twierdzenie o dwusiecznej i wzór P = p·r. Kluczowe wzory są w ramce powyżej — wróć do przykładu, jeśli któreś obliczenie jest niejasne.

13. Środek okręgu wpisanego to punkt przecięcia
13. Środek okręgu wpisanego to punkt przecięcia
14. We wzorze $P = p \cdot r$ litera p oznacza
14. We wzorze $P = p \cdot r$ litera p oznacza
15. Twierdzenie o dwusiecznej mówi, że stosunek |BD| : |DC| jest równy
15. Twierdzenie o dwusiecznej mówi, że stosunek |BD| : |DC| jest równy

Materiały edukacyjne Hyżyk · Geometria planarna — liceum · Prywatność i dane