Potwierdzone sprawdzone punkt po punkcie · 2026-10-26
← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit
Matematyka · liceum

GEOMETRIA PLANARNA · MODUŁ 01

Punkty, proste, kąty i trójkąt

PPrezentacja dla nauczyciela

Uporządkujesz podstawowe pojęcia geometrii i poznasz zależności między kątami.

Wprowadzenie

Geometria planarna opisuje figury na płaszczyźnie: punkty, proste, odcinki i kąty. Większość zadań maturalnych sprowadza się do rozpoznania zależności między kątami.

α β α + β = 180° α β γ α + β + γ = 180°
Rysunek pomocniczy. Zwróć uwagę na oznaczenia i zależności opisane w treści.
1. Jeden z dwóch kątów przyległych ma 47°. Drugi kąt ma
2. Dwie proste przecinają się, tworząc kąt 124°. Kąt wierzchołkowy do niego ma miarę
3. W trójkącie dwa kąty mają 39° i 108°. Trzeci kąt ma

Jak to rozpoznać?

Kąty przyległe leżą obok siebie na jednej prostej i sumują się do 180°. Kąty wierzchołkowe są równe. Gdy prosta przecina dwie proste równoległe, kąty odpowiadające i naprzemianległe są równe. Suma kątów każdego trójkąta wynosi 180°, a nierówność trójkąta mówi, że suma dwóch krótszych boków musi być większa od najdłuższego.

Wzory i zasady do zapamiętania

Kąty przyległe: α + β = 180°. Kąty wierzchołkowe: α = α′. Suma kątów trójkąta: α + β + γ = 180°. Nierówność trójkąta: a + b > c.

Przykład rozwiązany

Prosta przecina dwie proste równoległe. Jeden z kątów ma 68°. Podaj miarę kąta odpowiadającego, naprzemianległego i przyległego.

  1. Kąt odpowiadający ma tyle samo, co dany: 68°.
  2. Kąt naprzemianległy też ma 68°.
  3. Kąt przyległy do 68° ma 180° − 68° = 112°.

Odpowiedź: 68°, 68°, 112°.

4. Suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi
5. Kąty przyległe mają sumę
6. Które odcinki mogą być bokami trójkąta?

Rozwiąż samodzielnie

  1. W trójkącie dwa kąty mają 42° i 73°. Oblicz trzeci kąt.

    Pokaż rozwiązanie
    180° − 42° − 73° = 65°.

  2. Czy odcinki 4 cm, 6 cm i 11 cm mogą być bokami trójkąta? Uzasadnij.

    Pokaż rozwiązanie
    Sprawdzamy nierówność trójkąta: 4 + 6 = 10, a 10 < 11. Suma krótszych boków jest mniejsza od najdłuższego, więc taki trójkąt nie istnieje.
7. W trójkącie kąty mają 58° i 67°. Trzeci kąt ma
8. Który zestaw długości NIE może być bokami trójkąta?
9. Kąty trójkąta są w stosunku 1 : 2 : 3. Największy kąt ma

Zadania dodatkowe

  1. Kąty trójkąta są w stosunku 2 : 3 : 4. Wyznacz ich miary.

    Pokaż rozwiązanie
    Suma części: 2 + 3 + 4 = 9. Jedna część: 180° : 9 = 20°. Kąty: 40°, 60°, 80°.

  2. Kąt przy podstawie trójkąta równoramiennego ma 38°. Oblicz kąt między ramionami.

    Pokaż rozwiązanie
    Kąty przy podstawie są równe, więc mają po 38°. Kąt między ramionami: 180° − 2 · 38° = 104°.
10. Kąty trójkąta są w stosunku 3 : 4 : 5. Najmniejszy kąt ma
11. Kąt przy podstawie trójkąta równoramiennego ma 52°. Kąt między ramionami ma
12. W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami ma 40°. Kąt przy podstawie ma

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź. Pomyłka to wskazówka, do którego miejsca wrócić.

Zapamiętaj

Rozpoznasz kąty przyległe, wierzchołkowe i naprzemianległe oraz sprawdzisz nierówność trójkąta. Kluczowe wzory są w ramce powyżej — wróć do przykładu, jeśli któreś obliczenie jest niejasne.

13. Prosta przecina dwie proste równoległe. Kąt odpowiadający do kąta 73° ma miarę
14. W trójkącie prostokątnym jeden kąt ostry ma 34°. Drugi kąt ostry ma
15. Odcinki 7, 10 i $x$ mogą być bokami trójkąta, gdy

Materiały edukacyjne Hyżyk · Geometria planarna — liceum