Potwierdzone sprawdzone punkt po punkcie · 2026-10-26
Pomiń nawigację
← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit
Matematyka · liceum

GEOMETRIA PLANARNA · MODUŁ 10

Twierdzenie o stycznej i siecznej

PPrezentacja dla nauczyciela

Poznasz zależności między odcinkami poprowadzonymi z punktu poza okręgiem.

Wprowadzenie

Z punktu poza okręgiem można poprowadzić styczne i sieczne. Długości ich odcinków spełniają proste zależności, które często pojawiają się w zadaniach.

P A A′ B C
Rysunek pomocniczy. Zwróć uwagę na oznaczenia i zależności opisane w treści.
1. Z punktu P poza okręgiem poprowadzono dwie styczne PA i PA′. Które zdanie jest prawdziwe?
1. Z punktu P poza okręgiem poprowadzono dwie styczne PA i PA′. Które zdanie jest prawdziwe?
2. Sieczna z punktu P przecina okrąg w punktach B i C, przy czym B leży bliżej P. Odcinkiem siecznej leżącym wewnątrz okręgu jest
2. Sieczna z punktu P przecina okrąg w punktach B i C, przy czym B leży bliżej P. Odcinkiem siecznej leżącym wewnątrz okręgu jest
3. Z punktu P oddalonego od środka o 10 poprowadzono styczną do okręgu o promieniu 6. Długość odcinka stycznego wynosi
3. Z punktu P oddalonego od środka o 10 poprowadzono styczną do okręgu o promieniu 6. Długość odcinka stycznego wynosi

Jak to rozpoznać?

Z punktu P poprowadzono styczną PA i sieczną przechodzącą przez B i C. Zachodzi równość PA² = PB · PC. Dwie styczne poprowadzone z tego samego punktu mają równe długości. Dla dwóch siecznych z punktu P iloczyn bliższego i dalszego odcinka jest taki sam. Uwaga: w każdym twierdzeniu litery oznaczają punkty z osobnego rysunku — A to punkt styczności, a B i C to punkty przecięcia siecznej z okręgiem.

Wzory i zasady do zapamiętania

Styczna i sieczna: PA² = PB · PC. Dwie styczne: |PA| = |PA′|. Dwie sieczne: |PB| · |PC| = |PD| · |PE|.

Przykład rozwiązany

Z punktu P poprowadzono styczną PA = 6 oraz sieczną, której bliższy odcinek PB = 4. Oblicz dalszy odcinek BC.

  1. PA² = PB · PC, więc 36 = 4 · PC.
  2. PC = 9.
  3. BC = PC − PB = 9 − 4 = 5.

Odpowiedź: BC = 5.

4. Dla stycznej PA i siecznej PBC, gdzie B leży bliżej P, zachodzi
4. Dla stycznej PA i siecznej PBC, gdzie B leży bliżej P, zachodzi
5. Dwie sieczne z punktu P przecinają okrąg w punktach B, C oraz D, E. Zachodzi
5. Dwie sieczne z punktu P przecinają okrąg w punktach B, C oraz D, E. Zachodzi
6. W twierdzeniu o stycznej i siecznej odcinek PC to
6. W twierdzeniu o stycznej i siecznej odcinek PC to

Rozwiąż samodzielnie

  1. Z punktu P poprowadzono dwie styczne o długościach 7 i x. Wyznacz x.

    Pokaż rozwiązanie
    Odcinki stycznych z tego samego punktu są równe, więc x = 7.

  2. PA = 3, PB = 12, gdzie PB to cała sieczna. Oblicz długość stycznej z P.

    Pokaż rozwiązanie
    PA² = 3 · 12 = 36, więc PA = 6.
7. Styczna PA ma 6, a bliższy odcinek siecznej PB ma 4. Dalszy odcinek BC wynosi
7. Styczna PA ma 6, a bliższy odcinek siecznej PB ma 4. Dalszy odcinek BC wynosi
8. Dwie styczne poprowadzone z punktu P mają długość 5, a odległość P od środka wynosi 13. Promień okręgu jest równy
8. Dwie styczne poprowadzone z punktu P mają długość 5, a odległość P od środka wynosi 13. Promień okręgu jest równy
9. Styczna PA ma 9, a bliższy odcinek siecznej PB ma 3. Dalszy odcinek BC wynosi
9. Styczna PA ma 9, a bliższy odcinek siecznej PB ma 3. Dalszy odcinek BC wynosi

Zadania dodatkowe

  1. Styczna ma 8, a sieczna tnie okrąg w odległościach 4 i x od P. Oblicz x.

    Pokaż rozwiązanie
    64 = 4 · x, więc x = 16. To cała sieczna, a dalszy odcinek ma 12.

  2. Dwie sieczne z P: pierwsza 2 i 8, druga 4 i x. Oblicz x.

    Pokaż rozwiązanie
    2 · 8 = 4 · x, więc 16 = 4x i x = 4.
10. Styczna PA ma 8, a sieczna przecina okrąg w odległości 4 od P i w odległości $x$ (cała sieczna). Wartość $x$ wynosi
10. Styczna PA ma 8, a sieczna przecina okrąg w odległości 4 od P i w odległości $x$ (cała sieczna). Wartość $x$ wynosi
11. Dwie sieczne z punktu P mają odcinki 2 i 8 oraz 4 i $x$. Wartość $x$ wynosi
11. Dwie sieczne z punktu P mają odcinki 2 i 8 oraz 4 i $x$. Wartość $x$ wynosi
12. Z punktu P poprowadzono dwie styczne PA i PA′ do okręgu o środku O. Kąty przy A i A′ są proste. Suma dwóch pozostałych kątów czworokąta OAPA′ wynosi
12. Z punktu P poprowadzono dwie styczne PA i PA′ do okręgu o środku O. Kąty przy A i A′ są proste. Suma dwóch pozostałych kątów czworokąta OAPA′ wynosi

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź. Pomyłka to wskazówka, do którego miejsca wrócić.

Zapamiętaj

Wykorzystasz równość odcinków stycznych oraz iloczyny odcinków siecznych. Kluczowe wzory są w ramce powyżej — wróć do przykładu, jeśli któreś obliczenie jest niejasne.

13. Odcinki dwóch stycznych poprowadzonych z tego samego punktu są
13. Odcinki dwóch stycznych poprowadzonych z tego samego punktu są
14. Zależność $|PA|^2 = |PB| \cdot |PC|$ to twierdzenie o
14. Zależność $|PA|^2 = |PB| \cdot |PC|$ to twierdzenie o
15. Styczna ma 10, a bliższy odcinek siecznej 4. Cała sieczna wynosi
15. Styczna ma 10, a bliższy odcinek siecznej 4. Cała sieczna wynosi

Materiały edukacyjne Hyżyk · Geometria planarna — liceum · Prywatność i dane