Potwierdzone sprawdzone punkt po punkcie · 2026-10-26
← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit
Matematyka · liceum

GEOMETRIA PLANARNA · MODUŁ 06

Powtórzenie: trójkąty, przystawanie, podobieństwo

PPrezentacja dla nauczyciela

Szybkie powtórzenie najważniejszych twierdzeń o trójkątach.

Wprowadzenie

Przystawanie i podobieństwo łatwo pomylić. Ten moduł zbiera oba pojęcia w jednym miejscu i pokazuje, kiedy stosować które.

Przystawanie BBB · BKB · KBK Podobieństwo KKK · k · k² Tales proporcje odcinków te same kształty · różne skale
Rysunek pomocniczy. Zwróć uwagę na oznaczenia i zależności opisane w treści.
1. Przystawanie to podobieństwo w skali
2. W zadaniu najpierw sprawdzasz, czy szukasz
3. W podobieństwie obwód i pole zmieniają się odpowiednio jak

Jak to rozpoznać?

Przystawanie to podobieństwo w skali 1. W zadaniach najpierw sprawdzaj, czy szukasz równych długości (przystawanie), czy proporcjonalnych (podobieństwo). W podobieństwie pamiętaj, że obwód zmienia się jak k, a pole jak k².

Wzory i zasady do zapamiętania

Przystawanie: BBB, BKB, KBK. Podobieństwo: KKK, BKB, BBB (boki proporcjonalne). Obwód × k, pole × k².

Przykład rozwiązany

Trójkąt o bokach 3, 4, 5 jest podobny do trójkąta o obwodzie 36. Oblicz boki większego trójkąta.

  1. Obwód mniejszego: 3 + 4 + 5 = 12.
  2. Skala: k = 36/12 = 3.
  3. Boki większego: 3 · 3 = 9, 4 · 3 = 12, 5 · 3 = 15.

Odpowiedź: 9, 12, 15.

4. Cecha KKK dotyczy
5. Skala podobieństwa 5 oznacza, że stosunek pól wynosi
6. Trójkąty o bokach 3, 4, 5 i 6, 8, 10 są

Rozwiąż samodzielnie

  1. Czy trójkąty o bokach 4, 5, 6 i 8, 10, 12 są podobne? Podaj skalę.

    Pokaż rozwiązanie
    Każdy bok jest dwa razy dłuższy: 8/4 = 10/5 = 12/6 = 2. Są podobne w skali 2.

  2. Pole mniejszego trójkąta wynosi 7 cm², a skala podobieństwa 3. Oblicz pole większego.

    Pokaż rozwiązanie
    P′ = 9 · 7 = 63 cm².
7. Czy trójkąty o bokach 4, 5, 6 i 8, 10, 12 są podobne?
8. Pole mniejszego trójkąta wynosi 7 cm², a skala podobieństwa 3. Pole większego to
9. Trójkąt o bokach 3, 4, 5 jest podobny do trójkąta o obwodzie 36. Najdłuższy bok większego ma

Zadania dodatkowe

  1. Trójkąty przystające mają pole 12 cm². Jakie pole ma drugi?

    Pokaż rozwiązanie
    Przystawanie zachowuje pole, więc 12 cm².

  2. Trójkąt równoramienny ma podstawę 10 cm i ramię 13 cm. Oblicz wysokość opuszczoną na podstawę.

    Pokaż rozwiązanie
    Wysokość dzieli podstawę na połowy: h² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, więc h = 12 cm.
10. Dwa trójkąty przystające mają obwody po 27 cm. Jeden z boków pierwszego ma 9 cm. Odpowiedni bok drugiego ma
11. Trójkąt równoramienny ma podstawę 10 cm i ramię 13 cm. Wysokość opuszczona na podstawę ma
12. Trójkąt o bokach 6, 8, 10 ma pole 24 cm² i jest podobny w skali 2 do pewnego trójkąta. Pole większego trójkąta to

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź. Pomyłka to wskazówka, do którego miejsca wrócić.

Zapamiętaj

Uporządkujesz cechy przystawania i podobieństwa oraz typowe pułapki. Kluczowe wzory są w ramce powyżej — wróć do przykładu, jeśli któreś obliczenie jest niejasne.

13. Trójkąty o bokach 5, 12, 13 oraz 10, 24, 26 są
14. Czy z równych pól dwóch trójkątów wynika ich przystawanie?
15. Prostokąty o bokach 2 × 6 i 3 × 9 są

Materiały edukacyjne Hyżyk · Geometria planarna — liceum