Dwa okręgi

Dwa okręgi mogą być rozłączne, styczne lub przecinać się. O wszystkim decyduje odległość środków d oraz promienie r₁ i r₂.

1. Dwa okręgi o promieniach 5 i 3 są styczne zewnętrznie, gdy odległość ich środków wynosi

2 8 15 0

2. Okręgi o promieniach 7 i 4 są rozłączne zewnętrznie, gdy odległość ich środków jest

mniejsza od 3 równa 11 większa od 11 równa 3

3. Okręgi o promieniach 6 i 2: mniejszy leży wewnątrz większego bez styczności, gdy odległość środków jest

równa 8 równa 4 większa od 8 mniejsza od 4

Jak to rozpoznać?

Gdy d jest większe od sumy promieni, okręgi są rozłączne zewnętrznie. Gdy d = r₁ + r₂, są styczne zewnętrznie. Gdy d mieści się między różnicą i sumą promieni, okręgi przecinają się. Gdy d = |r₁ − r₂|, są styczne wewnętrznie, a gdy d jest mniejsze, jeden okrąg leży wewnątrz drugiego bez styczności.

Wzory i zasady do zapamiętania

d > r₁ + r₂ — rozłączne zewnętrznie. d = r₁ + r₂ — styczne zewnętrznie. |r₁ − r₂| < d < r₁ + r₂ — przecinają się. d = |r₁ − r₂| — styczne wewnętrznie.

Przykład rozwiązany

Okręgi mają promienie 5 i 3. Jakie jest ich położenie dla d = 8, a jakie dla d = 6?

Suma promieni: 5 + 3 = 8, różnica: 5 − 3 = 2.
Dla d = 8 zachodzi d = r₁ + r₂, więc okręgi są styczne zewnętrznie.
Dla d = 6 mamy 2 < 6 < 8, więc okręgi przecinają się.

Odpowiedź: d = 8 — styczne zewnętrznie; d = 6 — przecinają się.

4. Odległość środków dwóch okręgów jest większa od różnicy i mniejsza od sumy ich promieni. Liczba punktów wspólnych tych okręgów wynosi

2 1 0 4

5. Okręgi o promieniach 9 i 4 są styczne wewnętrznie. Odległość ich środków wynosi

13 5 9 4

6. Dwa okręgi są styczne zewnętrznie, a odległość ich środków wynosi 10. Jeden promień ma 6. Drugi promień ma

16 10 4 2

Rozwiąż samodzielnie

7. Promienie okręgów wynoszą 7 i 4, a odległość środków 11. Okręgi są

rozłączne zewnętrznie styczne wewnętrznie przecinające się styczne zewnętrznie

8. Promienie 6 i 2, odległość środków 3. Położenie okręgów:

mniejszy leży wewnątrz większego bez styczności styczne wewnętrznie, czyli mają jeden punkt wspólny przecinają się w dwóch punktach styczne zewnętrznie, czyli mają jeden punkt wspólny

9. Okręgi o promieniach 8 i 3 przecinają się. Odległość ich środków może wynosić

4 7 5 11

Zadania dodatkowe

11. Okręgi o promieniach 8 i 3 przecinają się. Zakres odległości ich środków to

$0 \lt d \lt 11$ $3 \lt d \lt 8$ $d \gt 11$ $5 \lt d \lt 11$

12. Okrąg o promieniu 10 i okrąg o promieniu 4 są styczne wewnętrznie. Odległość ich środków wynosi

6 14 10 4

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź. Pomyłka to wskazówka, do którego miejsca wrócić.

Zapamiętaj

Określisz wzajemne położenie dwóch okręgów na podstawie promieni i odległości środków. Kluczowe wzory są w ramce powyżej — wróć do przykładu, jeśli któreś obliczenie jest niejasne.

13. Jeśli $d = r_1 + r_2$, to okręgi są

rozłączne styczne zewnętrznie styczne wewnętrznie przecinające się

14. Jeśli $d \lt |r_1 - r_2|$, to

okręgi są styczne zewnętrznie, czyli mają jeden punkt wspólny okręgi przecinają się w dwóch punktach mniejszy okrąg leży wewnątrz większego bez styczności okręgi są styczne wewnętrznie, czyli mają jeden punkt wspólny

15. Okręgi przecinają się, gdy

$d \gt r_1 + r_2$, czyli okręgi są rozłączne zewnętrznie $d = r_1 + r_2$, czyli okręgi są styczne zewnętrznie $d \lt |r_1 - r_2|$, czyli jeden okrąg leży wewnątrz drugiego $|r_1 - r_2| \lt d \lt r_1 + r_2$

Wprowadzenie

Jak to rozpoznać?

Rozwiąż samodzielnie

Zadania dodatkowe

Quiz kontrolny