Potwierdzone sprawdzone punkt po punkcie · 2026-10-26
Pomiń nawigację
← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit
Matematyka · liceum

GEOMETRIA PLANARNA · MODUŁ 13

Przegląd i synteza materiału

PPrezentacja dla nauczyciela

Zbierzesz w jednym miejscu wszystkie twierdzenia i wzory z kursu.

Wprowadzenie

Ten moduł porządkuje cały materiał. Zamiast uczyć się wszystkiego od nowa, sprawdź, które twierdzenie pasuje do danego zadania.

Trójkąty 180° · środkowe przystawanie Okrąg πr² · 2πr kąt wpisany Podobieństwo k · k² Tales twierdzenia łączą się w zadaniach wieloetapowych
Rysunek pomocniczy. Zwróć uwagę na oznaczenia i zależności opisane w treści.
1. W zadaniu wieloetapowym, w którym trzeba połączyć dwa działy geometrii, najpierw
1. W zadaniu wieloetapowym, w którym trzeba połączyć dwa działy geometrii, najpierw
2. Aby obliczyć długość boku trójkąta prostokątnego, znając drugi bok i kąt ostry, użyjesz
2. Aby obliczyć długość boku trójkąta prostokątnego, znając drugi bok i kąt ostry, użyjesz
3. Trójkąt ma boki $5$, $12$ i $13$. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt wynosi
3. Trójkąt ma boki $5$, $12$ i $13$. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt wynosi

Jak to rozpoznać?

W zadaniach wieloetapowych zwykle trzeba połączyć dwa działy: np. podobieństwo z twierdzeniem Pitagorasa albo kąt wpisany z trójkątem równoramiennym. Zawsze zaczynaj od rysunku i wypisz, co wiesz, a czego szukasz.

Wzory i zasady do zapamiętania

Kąty: trójkąt 180°, czworokąt 360°. Okrąg: O = 2πr, P = πr², wycinek (α/360°)πr². Kąt wpisany = ½ środkowego. Styczna i sieczna: PA² = PB·PC. R = abc/(4P), r = P/p.

Przykład rozwiązany

W trójkącie ABC kąty mają 50° i 60°. Oblicz trzeci kąt oraz kąt wpisany oparty na boku AB, jeśli kąt środkowy oparty na tym łuku ma 140°.

  1. Trzeci kąt: 180° − 50° − 60° = 70°.
  2. Kąt wpisany jest połową środkowego: 140° : 2 = 70°.

Odpowiedź: 70° i 70°.

4. Kąt wpisany i kąt środkowy są oparte na tym samym łuku. Zawsze zachodzi zależność
4. Kąt wpisany i kąt środkowy są oparte na tym samym łuku. Zawsze zachodzi zależność
5. Z punktu $P$ poprowadzono styczną $PA$ i sieczną przecinającą okrąg w punktach $B$ i $C$. Poprawna zależność to
5. Z punktu $P$ poprowadzono styczną $PA$ i sieczną przecinającą okrąg w punktach $B$ i $C$. Poprawna zależność to
6. Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty, ponieważ kąt środkowy oparty na tej samej średnicy ma
6. Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty, ponieważ kąt środkowy oparty na tej samej średnicy ma

Rozwiąż samodzielnie

  1. Kąt wpisany ma 40°. Oblicz kąt środkowy oparty na tym samym łuku.

    Pokaż rozwiązanie
    Kąt środkowy jest dwa razy większy: 80°.

  2. Skala podobieństwa wynosi 2, a pole mniejszej figury 6 cm². Oblicz pole większej.

    Pokaż rozwiązanie
    P′ = 2² · 6 = 24 cm².
7. Kąt wpisany ma $40^\circ$. Kąt środkowy oparty na tym samym łuku ma
7. Kąt wpisany ma $40^\circ$. Kąt środkowy oparty na tym samym łuku ma
8. Figury są podobne w skali $k = 3$. Obwód mniejszej figury wynosi $8\,\text{cm}$. Obwód większej figury to
8. Figury są podobne w skali $k = 3$. Obwód mniejszej figury wynosi $8\,\text{cm}$. Obwód większej figury to
9. Trójkąt ma boki $6$, $8$ i $10$. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi
9. Trójkąt ma boki $6$, $8$ i $10$. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi

Zadania dodatkowe

  1. Trójkąt ma boki 6, 8, 10. Oblicz R i r.

    Pokaż rozwiązanie
    R = 10/2 = 5. Pole 24, p = 12, więc r = 2.

  2. Styczna ma 6, a sieczna tnie okrąg w odległościach 3 i x od punktu P. Oblicz x.

    Pokaż rozwiązanie
    36 = 3 · x, więc x = 12.
10. Styczna z punktu $P$ ma długość $6$, a sieczna przecina okrąg w odległościach $3$ i $x$ od $P$. Wartość $x$ wynosi
10. Styczna z punktu $P$ ma długość $6$, a sieczna przecina okrąg w odległościach $3$ i $x$ od $P$. Wartość $x$ wynosi
11. Wycinek koła o promieniu $6$ i kącie środkowym $60^\circ$ ma pole
11. Wycinek koła o promieniu $6$ i kącie środkowym $60^\circ$ ma pole
12. W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami ma $40^\circ$. Kąt przy podstawie ma
12. W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami ma $40^\circ$. Kąt przy podstawie ma

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź. Pomyłka to wskazówka, do którego miejsca wrócić.

13. Suma kątów czworokąta wynosi
13. Suma kątów czworokąta wynosi
14. Pole koła o promieniu $3$ wynosi
14. Pole koła o promieniu $3$ wynosi
15. Stosunek pól figur podobnych w skali $k = 3$ wynosi
15. Stosunek pól figur podobnych w skali $k = 3$ wynosi
Zapamiętaj

Powtórzysz najważniejsze twierdzenia, wzory i strategie geometrii planarnej. Kluczowe wzory są w ramce powyżej — wróć do przykładu, jeśli któreś obliczenie jest niejasne.

Materiały edukacyjne Hyżyk · Geometria planarna — liceum · Prywatność i dane