Potwierdzone sprawdzone punkt po punkcie · 2026-10-26
Pomiń nawigację
← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit
Matematyka · liceum

GEOMETRIA PLANARNA · MODUŁ 04

Podobieństwo trójkątów — teoria

PPrezentacja dla nauczyciela

Poznasz podobieństwo trójkątów i zależności między skalami, obwodami i polami.

Wprowadzenie

Figury podobne mają ten sam kształt, ale mogą mieć różne rozmiary. Skala podobieństwa opisuje, ile razy większe są długości.

mniejszy większy k = 2 boki × k, obwód × k, pole × k²
Rysunek pomocniczy. Zwróć uwagę na oznaczenia i zależności opisane w treści.
1. Figury podobne mają
1. Figury podobne mają
2. Skala podobieństwa $k = 3$ oznacza, że bok figury większej jest
2. Skala podobieństwa $k = 3$ oznacza, że bok figury większej jest
3. Jeśli skala podobieństwa wynosi 1, to figury są
3. Jeśli skala podobieństwa wynosi 1, to figury są

Jak to rozpoznać?

Twierdzenie Talesa: proste równoległe przecinające ramiona kąta dzielą je proporcjonalnie. Trójkąty są podobne, gdy mają równe kąty (KKK), dwa boki proporcjonalne i kąt między nimi równy (BKB) albo wszystkie boki proporcjonalne (BBB). W skali k boki i obwód mnożymy przez k, a pole przez k².

Wzory i zasady do zapamiętania

Skala: |A′B′| = k · |AB|. Obwód: L′ = k · L. Pole: P′ = k² · P. Tales: jeśli DE ∥ BC, to |AD|/|DB| = |AE|/|EC|.

Przykład rozwiązany

Trójkąty są podobne w skali k = 3. Pole mniejszego wynosi 5 cm². Oblicz pole większego i stosunek obwodów.

  1. Pole zmienia się jak kwadrat skali: P′ = k² · P = 9 · 5 = 45 cm².
  2. Obwód zmienia się jak skala: L′ = 3L, więc stosunek obwodów to 3 : 1.

Odpowiedź: Pole 45 cm², obwody w stosunku 3 : 1.

4. Stosunek pól figur podobnych w skali k wynosi
4. Stosunek pól figur podobnych w skali k wynosi
5. Obwód figury podobnej w skali k = 4 jest
5. Obwód figury podobnej w skali k = 4 jest
6. Jeśli DE ∥ BC w trójkącie ABC, to zgodnie z twierdzeniem Talesa
6. Jeśli DE ∥ BC w trójkącie ABC, to zgodnie z twierdzeniem Talesa

Rozwiąż samodzielnie

  1. Skala podobieństwa wynosi 2,5. Obwód mniejszego trójkąta to 12 cm. Oblicz obwód większego.

    Pokaż rozwiązanie
    L′ = 2,5 · 12 = 30 cm.

  2. Pola dwóch figur podobnych są w stosunku 9 : 16. Jaka jest skala podobieństwa?

    Pokaż rozwiązanie
    Skala to pierwiastek ze stosunku pól: √(9/16) = 3/4, czyli 3 : 4.
7. Skala podobieństwa wynosi 2,5, a obwód mniejszego trójkąta to 12 cm. Obwód większego wynosi
7. Skala podobieństwa wynosi 2,5, a obwód mniejszego trójkąta to 12 cm. Obwód większego wynosi
8. Pola dwóch figur podobnych są w stosunku 9 : 16. Skala podobieństwa (mniejsza do większej) wynosi
8. Pola dwóch figur podobnych są w stosunku 9 : 16. Skala podobieństwa (mniejsza do większej) wynosi
9. Trójkąty podobne w skali $k = 2$ mają pola w stosunku
9. Trójkąty podobne w skali $k = 2$ mają pola w stosunku

Zadania dodatkowe

  1. W trójkącie ABC odcinek DE jest równoległy do BC, |AD| = 4, |DB| = 6, |AE| = 6. Oblicz |EC|.

    Pokaż rozwiązanie
    Z twierdzenia Talesa: |AD|/|DB| = |AE|/|EC|, więc 4/6 = 6/|EC|. Stąd 4|EC| = 36 i |EC| = 9.

  2. Skala podobieństwa wynosi ½. Pole większej figury to 48 cm². Oblicz pole mniejszej.

    Pokaż rozwiązanie
    P′ = (½)² · 48 = ¼ · 48 = 12 cm².
10. W trójkącie ABC odcinek DE jest równoległy do BC, $|AD| = 4$, $|DB| = 6$, $|AE| = 6$. Długość $|EC|$ wynosi
10. W trójkącie ABC odcinek DE jest równoległy do BC, $|AD| = 4$, $|DB| = 6$, $|AE| = 6$. Długość $|EC|$ wynosi
11. Skala podobieństwa wynosi $\frac{1}{2}$, a pole większej figury to 48 cm². Pole mniejszej wynosi
11. Skala podobieństwa wynosi $\frac{1}{2}$, a pole większej figury to 48 cm². Pole mniejszej wynosi
12. Cień drzewa ma 12 m, a cień człowieka o wzroście 1,8 m ma 2,4 m. Wysokość drzewa wynosi
12. Cień drzewa ma 12 m, a cień człowieka o wzroście 1,8 m ma 2,4 m. Wysokość drzewa wynosi

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź. Pomyłka to wskazówka, do którego miejsca wrócić.

Zapamiętaj

Zastosujesz twierdzenie Talesa i cechy podobieństwa oraz skalę, obwody i pola. Kluczowe wzory są w ramce powyżej — wróć do przykładu, jeśli któreś obliczenie jest niejasne.

13. Trójkąt o bokach 5, 12, 13 jest podobny w skali 3 do pewnego trójkąta. Boki większego to
13. Trójkąt o bokach 5, 12, 13 jest podobny w skali 3 do pewnego trójkąta. Boki większego to
14. Pole figury podobnej w skali $k = 3$ jest większe od pola wyjściowej
14. Pole figury podobnej w skali $k = 3$ jest większe od pola wyjściowej
15. Proste równoległe przecinające ramiona kąta dzielą je
15. Proste równoległe przecinające ramiona kąta dzielą je

Materiały edukacyjne Hyżyk · Geometria planarna — liceum · Prywatność i dane