Potwierdzone sprawdzone punkt po punkcie · 2026-10-26
Pomiń nawigację
← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit
Matematyka · liceum

GEOMETRIA PLANARNA · MODUŁ 09

Koło, łuk i kąty w okręgu

PPrezentacja dla nauczyciela

Poznasz wzory dla koła i zależność między kątem środkowym a wpisanym.

Wprowadzenie

Koło i okrąg pojawiają się w zadaniach z polem, obwodem i kątami. Kluczowa jest zależność: kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

α ½α O A B C kąt wpisany = ½ kąta środkowego P = πr² · O = 2πr
Rysunek pomocniczy. Zwróć uwagę na oznaczenia i zależności opisane w treści.
1. Kąt środkowy ma 80°. Kąt wpisany oparty na tym samym łuku ma
1. Kąt środkowy ma 80°. Kąt wpisany oparty na tym samym łuku ma
2. Pole koła o promieniu 5 wynosi
2. Pole koła o promieniu 5 wynosi
3. Długość łuku wyznaczonego przez kąt środkowy 90° w kole o promieniu 4 wynosi
3. Długość łuku wyznaczonego przez kąt środkowy 90° w kole o promieniu 4 wynosi

Jak to rozpoznać?

Kąt środkowy ma wierzchołek w środku okręgu, a kąt wpisany — na okręgu (jego ramiona to cięciwy). Kąt dopisany to kąt między styczną a cięciwą wychodzącą z punktu styczności; ma on taką samą miarę jak kąt wpisany oparty na tym samym łuku. Oba oparte na tym samym łuku: kąt wpisany jest dwa razy mniejszy. Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty. Długość łuku i pole wycinka liczymy, mnożąc obwód lub pole koła przez ułamek α/360°.

Wzory i zasady do zapamiętania

P = πr². O = 2πr. Łuk: L = (α/360°) · 2πr. Wycinek: P_w = (α/360°) · πr². Kąt wpisany = ½ kąta środkowego.

Przykład rozwiązany

Kąt środkowy ma 120°. Oblicz kąt wpisany oparty na tym samym łuku oraz pole wycinka koła o promieniu 6.

  1. Kąt wpisany: ½ · 120° = 60°.
  2. Pole wycinka: (120/360) · π · 6² = ⅓ · 36π.
  3. P_w = 12π.

Odpowiedź: Kąt 60°, pole wycinka 12π.

4. Kąt środkowy ma wierzchołek
4. Kąt środkowy ma wierzchołek
5. Kąt dopisany to kąt między
5. Kąt dopisany to kąt między
6. Kąt dopisany i kąt wpisany oparte na tym samym łuku mają
6. Kąt dopisany i kąt wpisany oparte na tym samym łuku mają

Rozwiąż samodzielnie

  1. Kąt wpisany ma 35°. Oblicz kąt środkowy oparty na tym samym łuku.

    Pokaż rozwiązanie
    Kąt środkowy jest dwa razy większy: 2 · 35° = 70°.

  2. Promień koła wynosi 6 cm, a kąt wycinka 90°. Oblicz pole wycinka.

    Pokaż rozwiązanie
    P_w = (90/360) · π · 36 = ¼ · 36π = 9π cm².
7. Kąt wpisany ma 35°. Kąt środkowy oparty na tym samym łuku ma
7. Kąt wpisany ma 35°. Kąt środkowy oparty na tym samym łuku ma
8. Pole wycinka o kącie 90° w kole o promieniu 6 wynosi
8. Pole wycinka o kącie 90° w kole o promieniu 6 wynosi
9. Obwód koła wynosi $12\pi$. Pole tego koła jest równe
9. Obwód koła wynosi $12\pi$. Pole tego koła jest równe

Zadania dodatkowe

  1. Jaki jest kąt wpisany oparty na średnicy?

    Pokaż rozwiązanie
    Kąt środkowy oparty na średnicy ma 180°, więc wpisany ma 90°.

  2. Obwód koła wynosi 12π cm. Oblicz pole koła.

    Pokaż rozwiązanie
    2πr = 12π, więc r = 6 cm. P = π · 36 = 36π cm².
10. Kąt środkowy ma 120°, a promień koła 3. Pole wycinka wynosi
10. Kąt środkowy ma 120°, a promień koła 3. Pole wycinka wynosi
11. Pole wycinka o kącie 120° wynosi $12\pi$. Promień koła jest równy
11. Pole wycinka o kącie 120° wynosi $12\pi$. Promień koła jest równy
12. Długość okręgu o promieniu 7 wynosi
12. Długość okręgu o promieniu 7 wynosi

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź. Pomyłka to wskazówka, do którego miejsca wrócić.

Zapamiętaj

Obliczysz pole koła, długość łuku i pole wycinka oraz wykorzystasz kąt wpisany. Kluczowe wzory są w ramce powyżej — wróć do przykładu, jeśli któreś obliczenie jest niejasne.

13. Kąt wpisany jest
13. Kąt wpisany jest
14. Kąt wpisany oparty na średnicy ma
14. Kąt wpisany oparty na średnicy ma
15. Pole wycinka o kącie 90° koła o promieniu 4 wynosi
15. Pole wycinka o kącie 90° koła o promieniu 4 wynosi

Materiały edukacyjne Hyżyk · Geometria planarna — liceum · Prywatność i dane