Potwierdzone sprawdzone punkt po punkcie · 2026-10-26
Pomiń nawigację
← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit
Matematyka · liceum

GEOMETRIA PLANARNA · MODUŁ 17

Czworokąty i okrąg

PPrezentacja dla nauczyciela

Poznasz czworokąty wpisane i opisane na okręgu oraz twierdzenie o cięciach.

Wprowadzenie

Czworokąty mają własne zależności między bokami i kątami. Gdy dodatkowo leżą na okręgu lub okrąg jest w nie wpisany, dochodzą warunki często sprawdzane w zadaniach dowodowych.

α γ α + γ = 180° a b c d a + c = b + d
Rysunek pomocniczy. Zwróć uwagę na oznaczenia i zależności opisane w treści.
1. Czworokąt ma kolejne kąty $80^\circ$, $100^\circ$, $100^\circ$ i $80^\circ$. Można go wpisać w okrąg, ponieważ
1. Czworokąt ma kolejne kąty $80^\circ$, $100^\circ$, $100^\circ$ i $80^\circ$. Można go wpisać w okrąg, ponieważ
2. Który czworokąt można opisać na okręgu?
2. Który czworokąt można opisać na okręgu?
3. Kąt $A$ czworokąta wpisanego w okrąg ma $110^\circ$. Kąt przy wierzchołku $C$ ma
3. Kąt $A$ czworokąta wpisanego w okrąg ma $110^\circ$. Kąt przy wierzchołku $C$ ma

Jak to rozpoznać?

Czworokąt można wpisać w okrąg, gdy sumy przeciwległych kątów wynoszą 180°. Czworokąt można opisać na okręgu, gdy sumy przeciwległych boków są równe. Dla dwóch cięciw przecinających się wewnątrz okręgu iloczyny odcinków każdej cięciwy są równe.

Wzory i zasady do zapamiętania

Wpisany w okrąg: α + γ = 180°, β + δ = 180°. Opisany na okręgu: a + c = b + d. Cięciwy: PA · PB = PC · PD.

Przykład rozwiązany

Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg. Kąt A ma 70°, a kąt B 95°. Oblicz kąty C i D.

  1. Przeciwległe kąty sumują się do 180°.
  2. Kąt C = 180° − 70° = 110°.
  3. Kąt D = 180° − 95° = 85°.

Odpowiedź: C = 110°, D = 85°.

4. Czworokąt jest opisany na okręgu. Kolejne boki mają $5$, $8$, $11$ i $y$. Wartość $y$ wynosi
4. Czworokąt jest opisany na okręgu. Kolejne boki mają $5$, $8$, $11$ i $y$. Wartość $y$ wynosi
5. Dwie cięciwy przecinają się w punkcie $P$ wewnątrz okręgu i znamy $PA$, $PB$ oraz $PC$. Aby obliczyć $PD$, wystarczy
5. Dwie cięciwy przecinają się w punkcie $P$ wewnątrz okręgu i znamy $PA$, $PB$ oraz $PC$. Aby obliczyć $PD$, wystarczy
6. Kwadrat jest wpisany w okrąg o promieniu $5$. Przekątna kwadratu ma
6. Kwadrat jest wpisany w okrąg o promieniu $5$. Przekątna kwadratu ma

Rozwiąż samodzielnie

  1. Czworokąt jest wpisany w okrąg. Kąt przy wierzchołku A ma 65°. Oblicz kąt przy wierzchołku C.

    Pokaż rozwiązanie
    Przeciwległe kąty sumują się do 180°, więc kąt C ma 180° − 65° = 115°.

  2. Czworokąt jest opisany na okręgu. Kolejne boki mają 4, 6, 9 i x. Wyznacz x.

    Pokaż rozwiązanie
    Sumy przeciwległych boków są równe: 4 + 9 = 6 + x, więc 13 = 6 + x i x = 7.
7. Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg, a kąt przy wierzchołku $A$ ma $65^\circ$. Kąt przy wierzchołku $C$ ma
7. Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg, a kąt przy wierzchołku $A$ ma $65^\circ$. Kąt przy wierzchołku $C$ ma
8. Czworokąt jest opisany na okręgu. Jego kolejne boki mają $4$, $6$, $9$ i $x$. Wartość $x$ wynosi
8. Czworokąt jest opisany na okręgu. Jego kolejne boki mają $4$, $6$, $9$ i $x$. Wartość $x$ wynosi
9. W czworokącie opisanym na okręgu suma jednej pary przeciwległych boków wynosi $12\,\text{cm}$. Obwód czworokąta to
9. W czworokącie opisanym na okręgu suma jednej pary przeciwległych boków wynosi $12\,\text{cm}$. Obwód czworokąta to

Zadania dodatkowe

  1. Romb ma przekątne 6 i 8. Oblicz długość boku i pole.

    Pokaż rozwiązanie
    Przekątne dzielą się na połowy i przecinają pod kątem prostym: bok² = 3² + 4² = 25, więc bok = 5. Pole: P = (6 · 8)/2 = 24.

  2. Dwie cięciwy przecinają się w okręgu. PA = 4, PB = 6, PC = 3. Oblicz PD.

    Pokaż rozwiązanie
    PA · PB = PC · PD, więc 4 · 6 = 3 · PD i PD = 8.
10. Romb ma przekątne $6$ i $8$. Długość boku rombu wynosi
10. Romb ma przekątne $6$ i $8$. Długość boku rombu wynosi
11. Dwie cięciwy przecinają się w punkcie $P$. $PA = 4$, $PB = 6$, $PC = 3$. Odcinek $PD$ ma
11. Dwie cięciwy przecinają się w punkcie $P$. $PA = 4$, $PB = 6$, $PC = 3$. Odcinek $PD$ ma
12. Czworokąt wpisany w okrąg ma trzy kolejne kąty $85^\circ$, $95^\circ$ i $95^\circ$. Czwarty kąt ma
12. Czworokąt wpisany w okrąg ma trzy kolejne kąty $85^\circ$, $95^\circ$ i $95^\circ$. Czwarty kąt ma

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź. Pomyłka to wskazówka, do którego miejsca wrócić.

13. Czworokąt wpisany w okrąg ma sumy przeciwległych kątów
13. Czworokąt wpisany w okrąg ma sumy przeciwległych kątów
14. Czworokąt opisany na okręgu ma sumy przeciwległych boków
14. Czworokąt opisany na okręgu ma sumy przeciwległych boków
15. Dwie cięciwy przecinają się wewnątrz okręgu. Wtedy
15. Dwie cięciwy przecinają się wewnątrz okręgu. Wtedy
Zapamiętaj

Wykorzystasz warunki wpisania czworokąta w okrąg i opisania na nim oraz twierdzenie o cięciwach. Kluczowe wzory są w ramce powyżej — wróć do przykładu, jeśli któreś obliczenie jest niejasne.

Materiały edukacyjne Hyżyk · Geometria planarna — liceum · Prywatność i dane