Potwierdzone sprawdzone punkt po punkcie · 2026-10-26
Pomiń nawigację
← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit
Matematyka · liceum

GEOMETRIA PLANARNA · MODUŁ 05

Podobieństwo — zadania i dowody

PPrezentacja dla nauczyciela

Przećwiczysz typowe zadania z podobieństwa, w tym dowody.

Wprowadzenie

W zadaniach z podobieństwa najpierw szukamy równych kątów, potem zapisujemy proporcję boków. Dopiero na końcu podstawiamy dane.

A B C D E DE ∥ BC → trójkąty ADE i ABC są podobne
Rysunek pomocniczy. Zwróć uwagę na oznaczenia i zależności opisane w treści.
1. W zadaniach z podobieństwa najpierw
1. W zadaniach z podobieństwa najpierw
2. Odcinek równoległy do podstawy trójkąta tworzy trójkąt
2. Odcinek równoległy do podstawy trójkąta tworzy trójkąt
3. Gdy $DE \parallel BC$, skala podobieństwa trójkąta ADE do ABC wynosi
3. Gdy $DE \parallel BC$, skala podobieństwa trójkąta ADE do ABC wynosi

Jak to rozpoznać?

Odcinek równoległy do boku trójkąta tworzy trójkąt podobny do całego. Kąty przy podstawie są równe (odpowiadające), a kąt przy wierzchołku wspólny — cecha KKK. Z podobieństwa wynika proporcja wszystkich boków, więc można obliczyć długość odcinka równoległego.

Wzory i zasady do zapamiętania

Jeśli DE ∥ BC, to ΔADE ~ ΔABC w skali k = |AD|/|AB|. Wtedy |DE| = k · |BC| oraz P_ADE = k² · P_ABC.

Przykład rozwiązany

W trójkącie ABC punkt D leży na AB, a E na AC, przy czym DE ∥ BC. |AD| = 3, |DB| = 5, |BC| = 12. Oblicz |DE|.

  1. |AB| = |AD| + |DB| = 8, więc skala podobieństwa to k = 3/8.
  2. Odcinek DE odpowiada bokowi BC, więc |DE| = (3/8) · 12.
  3. |DE| = 4,5.

Odpowiedź: |DE| = 4,5.

4. Odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta ma długość
4. Odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta ma długość
5. Jeśli dwa trójkąty mają dwa kąty równe, to
5. Jeśli dwa trójkąty mają dwa kąty równe, to
6. Skala podobieństwa 1 : 4 oznacza, że pole mniejszej figury jest
6. Skala podobieństwa 1 : 4 oznacza, że pole mniejszej figury jest

Rozwiąż samodzielnie

  1. DE ∥ BC, |AD| = 2, |AB| = 8, |DE| = 3. Oblicz |BC|.

    Pokaż rozwiązanie
    Skala k = 2/8 = 1/4, więc |DE| = ¼|BC|. Stąd |BC| = 12.

  2. Dwa trójkąty podobne mają boki 6, 8, 10 oraz 9, 12, 15. Podaj skalę podobieństwa.

    Pokaż rozwiązanie
    Każdy bok większego jest 1,5 razy dłuższy: 9/6 = 12/8 = 15/10 = 1,5.
7. $DE \parallel BC$, $|AD| = 2$, $|AB| = 8$, $|DE| = 3$. Długość $|BC|$ wynosi
7. $DE \parallel BC$, $|AD| = 2$, $|AB| = 8$, $|DE| = 3$. Długość $|BC|$ wynosi
8. Boki dwóch trójkątów podobnych to 6, 8, 10 oraz 9, 12, 15. Skala podobieństwa wynosi
8. Boki dwóch trójkątów podobnych to 6, 8, 10 oraz 9, 12, 15. Skala podobieństwa wynosi
9. $DE \parallel BC$, $|AD| = 3$, $|AB| = 12$. Pole trójkąta ADE stanowi jaką część pola ABC?
9. $DE \parallel BC$, $|AD| = 3$, $|AB| = 12$. Pole trójkąta ADE stanowi jaką część pola ABC?

Zadania dodatkowe

  1. Cień drzewa ma 8 m, a cień człowieka o wzroście 1,7 m ma 2 m. Oblicz wysokość drzewa.

    Pokaż rozwiązanie
    Trójkąty są podobne: h/1,7 = 8/2. Stąd h = 1,7 · 4 = 6,8 m.

  2. Uzasadnij, że odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku i dwa razy krótszy.

    Pokaż rozwiązanie
    Niech D i E będą środkami boków AB i AC. Wtedy |AD|/|AB| = ½ = |AE|/|AC|, a kąt przy A jest wspólny — cecha BKB. Skala wynosi ½, więc |DE| = ½|BC|, a kąty odpowiadające są równe, czyli DE ∥ BC.
10. Cień drzewa ma 10 m, a cień człowieka o wzroście 1,8 m ma 2,5 m. Wysokość drzewa wynosi
10. Cień drzewa ma 10 m, a cień człowieka o wzroście 1,8 m ma 2,5 m. Wysokość drzewa wynosi
11. Odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta ma 7 cm. Trzeci bok ma
11. Odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta ma 7 cm. Trzeci bok ma
12. Trójkąt ma boki 8, 10, 14, a trójkąt do niego podobny ma najkrótszy bok 12. Skala wynosi
12. Trójkąt ma boki 8, 10, 14, a trójkąt do niego podobny ma najkrótszy bok 12. Skala wynosi

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź. Pomyłka to wskazówka, do którego miejsca wrócić.

Zapamiętaj

Rozwiążesz zadania obliczeniowe i dowodowe z wykorzystaniem podobieństwa i twierdzenia Talesa. Kluczowe wzory są w ramce powyżej — wróć do przykładu, jeśli któreś obliczenie jest niejasne.

13. Dwa trójkąty są podobne w skali 2. Obwód mniejszego wynosi 9 cm. Obwód większego to
13. Dwa trójkąty są podobne w skali 2. Obwód mniejszego wynosi 9 cm. Obwód większego to
14. Aby uzasadnić podobieństwo trójkątów, wystarczy wykazać, że
14. Aby uzasadnić podobieństwo trójkątów, wystarczy wykazać, że
15. W trójkącie ABC punkt D jest środkiem AB, a E środkiem AC. Odcinek DE jest
15. W trójkącie ABC punkt D jest środkiem AB, a E środkiem AC. Odcinek DE jest

Materiały edukacyjne Hyżyk · Geometria planarna — liceum · Prywatność i dane