POWTÓRKA PRZEKROJOWA

Zbiór zadań — 34 zadania przekrojowe

Po dwa zadania z każdego modułu. Pracuj jak na maturze: zapisz dane, wybierz twierdzenie, pokaż obliczenia i sprawdź wynik.

Moduł 01 · zadanie 1

Kąty trójkąta są w stosunku 3 : 4 : 5. Wyznacz ich miary.

Pokaż rozwiązanie

Suma części: 12, więc jedna część to 15°. Kąty: 45°, 60°, 75°.

Moduł 01 · zadanie 2

Czy odcinki 6 cm, 8 cm i 14 cm mogą być bokami trójkąta?

Pokaż rozwiązanie

6 + 8 = 14, czyli suma krótszych boków jest równa najdłuższemu. Trójkąt jest zdegenerowany, więc takie boki nie tworzą trójkąta.

Moduł 02 · zadanie 1

Środkowa ma 18 cm. Podaj długości obu odcinków, na które dzieli ją środek ciężkości.

Pokaż rozwiązanie

⅔ · 18 = 12 cm oraz ⅓ · 18 = 6 cm.

Moduł 02 · zadanie 2

Trójkąt ma podstawę 11 cm i wysokość 8 cm. Oblicz pole.

Pokaż rozwiązanie

P = ½ · 11 · 8 = 44 cm².

Moduł 03 · zadanie 1

Trójkąty o bokach 4, 6, 8 i 6, 9, 12 są podobne. Czy są przystające?

Pokaż rozwiązanie

Nie. Boki są proporcjonalne (skala 1,5), ale nie równe, więc trójkąty są podobne, a nie przystające.

Moduł 03 · zadanie 2

W trójkątach ABC i DEF: |AB| = |DE|, |BC| = |EF|, |∠B| = |∠E|. Jaka to cecha przystawania?

Pokaż rozwiązanie

Dwa boki i kąt między nimi — cecha BKB.

Moduł 04 · zadanie 1

Skala podobieństwa wynosi 4. Obwód mniejszego trójkąta to 9 cm. Oblicz obwód większego.

Pokaż rozwiązanie

L′ = 4 · 9 = 36 cm.

Moduł 04 · zadanie 2

Pola dwóch figur podobnych są w stosunku 49 : 64. Podaj skalę podobieństwa.

Pokaż rozwiązanie

√(49/64) = 7/8, czyli skala 7 : 8.

Moduł 05 · zadanie 1

DE ∥ BC, |AD| = 5, |DB| = 3, |AE| = 10. Oblicz |EC|.

Pokaż rozwiązanie

Z Talesa: 5/3 = 10/|EC|, więc 5|EC| = 30 i |EC| = 6.

Moduł 05 · zadanie 2

Cień człowieka o wzroście 1,6 m ma 2 m, a cień drzewa 10 m. Oblicz wysokość drzewa.

Pokaż rozwiązanie

h/1,6 = 10/2, więc h = 8 m.

Moduł 06 · zadanie 1

Trójkąty o bokach 3, 4, 5 i 12, 16, 20 są podobne. Podaj skalę.

Pokaż rozwiązanie

20/5 = 4, więc skala wynosi 4.

Moduł 06 · zadanie 2

Pole mniejszej figury to 5 cm², skala podobieństwa 2,5. Oblicz pole większej.

Pokaż rozwiązanie

P′ = 2,5² · 5 = 6,25 · 5 = 31,25 cm².

Moduł 07 · zadanie 1

Promień 9 cm, odległość prostej 9 cm. Jakie jest położenie prostej?

Pokaż rozwiązanie

d = r, więc prosta jest styczna.

Moduł 07 · zadanie 2

Promień 3 cm, odległość prostej 7 cm. Ile punktów wspólnych?

Pokaż rozwiązanie

d > r, więc 0 punktów — prosta rozłączna.

Moduł 08 · zadanie 1

Promienie 9 i 4, odległość środków 13. Jakie jest położenie okręgów?

Pokaż rozwiązanie

9 + 4 = 13, więc okręgi są styczne zewnętrznie.

Moduł 08 · zadanie 2

Promienie 10 i 6, odległość środków 5. Jakie jest położenie?

Pokaż rozwiązanie

|10 − 6| = 4 < 5 < 16, więc okręgi przecinają się.

Moduł 09 · zadanie 1

Kąt środkowy ma 150°. Oblicz kąt wpisany oparty na tym samym łuku.

Pokaż rozwiązanie

150° : 2 = 75°.

Moduł 09 · zadanie 2

Promień 9 cm, kąt wycinka 120°. Oblicz pole wycinka.

Pokaż rozwiązanie

⅓ · π · 81 = 27π cm².

Moduł 10 · zadanie 1

Dwie styczne z punktu P mają długości 9 i x. Podaj x.

Pokaż rozwiązanie

Są równe, więc x = 9.

Moduł 10 · zadanie 2

Styczna ma 10, a sieczna tnie okrąg w odległościach 5 i x od P. Oblicz x.

Pokaż rozwiązanie

100 = 5 · x, więc x = 20.

Moduł 11 · zadanie 1

Trójkąt prostokątny ma boki 8, 15, 17. Oblicz R.

Pokaż rozwiązanie

Przeciwprostokątna 17, więc R = 8,5.

Moduł 11 · zadanie 2

R = 13, kąt α = 30°. Oblicz bok a naprzeciw kąta α.

Pokaż rozwiązanie

a = 2 · 13 · ½ = 13.

Moduł 12 · zadanie 1

Trójkąt ma boki 9, 12, 15. Oblicz r.

Pokaż rozwiązanie

P = 54, p = 18, więc r = 3.

Moduł 12 · zadanie 2

Dwusieczna dzieli bok 15 w stosunku 2 : 3. Podaj długości odcinków.

Pokaż rozwiązanie

2 + 3 = 5 części, więc 15 : 5 = 3. Odcinki mają 6 i 9.

Moduł 13 · zadanie 1

Kąt wpisany ma 25°. Oblicz kąt środkowy.

Pokaż rozwiązanie

2 · 25° = 50°.

Moduł 13 · zadanie 2

Trójkąt ma boki 6, 8, 10. Oblicz R + r.

Pokaż rozwiązanie

R = 5, r = 2, więc suma wynosi 7.

Moduł 14 · zadanie 1

Przyprostokątne mają 3 i 4. Oblicz wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną.

Pokaż rozwiązanie

c = 5, P = 6, więc 6 = ½ · 5 · h i h = 2,4.

Moduł 14 · zadanie 2

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają 6 i 8. Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki x i y. Oblicz x i y.

Pokaż rozwiązanie

Przeciwprostokątna: c = √(36 + 64) = 10. Z zależności a² = c · x mamy 36 = 10 · x, więc x = 3,6. Z b² = c · y mamy 64 = 10 · y, więc y = 6,4. Sprawdzenie: 3,6 + 6,4 = 10.

Moduł 15 · zadanie 1

Mapa w skali 1 : 25 000. Odcinek 6 cm odpowiada w terenie

Pokaż rozwiązanie

6 · 25 000 = 150 000 cm = 1,5 km.

Moduł 15 · zadanie 2

Drabina 13 m, podstawa 5 m od ściany. Na jaką wysokość sięga?

Pokaż rozwiązanie

h² = 169 − 25 = 144, więc h = 12 m.

Moduł 16 · zadanie 1

Dwa boki trójkąta mają 7 i 8, a kąt między nimi 60°. Oblicz trzeci bok.

Pokaż rozwiązanie

c² = 49 + 64 − 2 · 7 · 8 · ½ = 113 − 56 = 57, więc c = √57.

Moduł 16 · zadanie 2

Oblicz pole trójkąta o bokach 6 i 10, jeśli kąt między nimi ma 30°.

Pokaż rozwiązanie

P = ½ · 6 · 10 · ½ = 15.

Moduł 17 · zadanie 1

Czworokąt jest wpisany w okrąg. Kąt A ma 70°. Oblicz kąt C.

Pokaż rozwiązanie

Kąty przeciwległe sumują się do 180°, więc C = 110°.

Moduł 17 · zadanie 2

Czworokąt jest opisany na okręgu. Boki mają 3, 5, 7 i x. Wyznacz x.

Pokaż rozwiązanie

3 + 7 = 5 + x, więc x = 5.