Potwierdzone sprawdzone punkt po punkcie · 2026-10-26
Pomiń nawigację
← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit
Matematyka · liceum

GEOMETRIA PLANARNA · MODUŁ 02

Wysokości, środkowe i środek ciężkości

PPrezentacja dla nauczyciela

Poznasz odcinki szczególne w trójkącie i ich punkty przecięcia.

Wprowadzenie

Wysokości i środkowe to odcinki szczególne trójkąta. Każdy z nich ma inny punkt przecięcia i inne zastosowanie w zadaniach.

h a G 2x x G — środek ciężkości, dzieli środkową 2 : 1
Rysunek pomocniczy. Zwróć uwagę na oznaczenia i zależności opisane w treści.
1. Wysokość trójkąta to odcinek łączący wierzchołek z
1. Wysokość trójkąta to odcinek łączący wierzchołek z
2. Punkt przecięcia środkowych trójkąta to
2. Punkt przecięcia środkowych trójkąta to
3. W trójkącie rozwartokątnym ortocentrum leży
3. W trójkącie rozwartokątnym ortocentrum leży

Jak to rozpoznać?

Wysokość to odcinek od wierzchołka prostopadły do przeciwległego boku (lub jego przedłużenia). Trzy wysokości przecinają się w ortocentrum — w trójkącie rozwartokątnym leży ono poza trójkątem. Środkowa łączy wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku. Trzy środkowe przecinają się w środku ciężkości, który dzieli każdą z nich w stosunku 2 : 1, licząc od wierzchołka.

Wzory i zasady do zapamiętania

Pole: P = ½ · a · h. Środek ciężkości: |AG| = ⅔|AM|, |GM| = ⅓|AM|. Wysokości przecinają się w ortocentrum.

Przykład rozwiązany

W trójkącie ABC środkowa AM ma 12 cm, a G jest środkiem ciężkości. Oblicz |AG| i |GM|.

  1. Środek ciężkości dzieli środkową w stosunku 2 : 1 od wierzchołka.
  2. |AG| = ⅔ · 12 = 8 cm.
  3. |GM| = ⅓ · 12 = 4 cm.

Odpowiedź: |AG| = 8 cm, |GM| = 4 cm.

4. Wysokości trójkąta przecinają się w punkcie zwanym
4. Wysokości trójkąta przecinają się w punkcie zwanym
5. Środek ciężkości dzieli środkową w stosunku
5. Środek ciężkości dzieli środkową w stosunku
6. Środkowa łączy wierzchołek z
6. Środkowa łączy wierzchołek z

Rozwiąż samodzielnie

  1. Środkowa trójkąta ma 15 cm. Jakie odcinki wyznacza na niej środek ciężkości?

    Pokaż rozwiązanie
    Dzieli ją w stosunku 2 : 1, więc odcinki mają ⅔ · 15 = 10 cm oraz ⅓ · 15 = 5 cm.

  2. Trójkąt ma podstawę 10 cm i wysokość 6 cm. Oblicz pole.

    Pokaż rozwiązanie
    P = ½ · 10 · 6 = 30 cm².
7. Środkowa trójkąta ma 18 cm, a G jest środkiem ciężkości. Odcinek od wierzchołka do G ma
7. Środkowa trójkąta ma 18 cm, a G jest środkiem ciężkości. Odcinek od wierzchołka do G ma
8. Trójkąt ma podstawę 12 cm i wysokość 7 cm. Pole wynosi
8. Trójkąt ma podstawę 12 cm i wysokość 7 cm. Pole wynosi
9. Środkowa ma 21 cm. Krótszy z odcinków wyznaczonych przez środek ciężkości ma
9. Środkowa ma 21 cm. Krótszy z odcinków wyznaczonych przez środek ciężkości ma

Zadania dodatkowe

  1. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają 6 cm i 8 cm. Oblicz wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną.

    Pokaż rozwiązanie
    Przeciwprostokątna: √(36 + 64) = 10 cm. Pole: ½ · 6 · 8 = 24 cm². Z drugiego wzoru 24 = ½ · 10 · h, więc h = 4,8 cm.

  2. Dłuższy odcinek, na które środek ciężkości dzieli środkową, ma 14 cm. Oblicz długość całej środkowej.

    Pokaż rozwiązanie
    Dłuższy odcinek to ⅔ środkowej: ⅔ · m = 14, więc m = 21 cm.
10. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają 9 cm i 12 cm. Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną ma
10. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają 9 cm i 12 cm. Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną ma
11. Dłuższy odcinek, na które środek ciężkości dzieli środkową, ma 12 cm. Cała środkowa ma
11. Dłuższy odcinek, na które środek ciężkości dzieli środkową, ma 12 cm. Cała środkowa ma
12. Pole trójkąta wynosi 36 cm², a podstawa 9 cm. Wysokość opuszczona na tę podstawę ma
12. Pole trójkąta wynosi 36 cm², a podstawa 9 cm. Wysokość opuszczona na tę podstawę ma

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź. Pomyłka to wskazówka, do którego miejsca wrócić.

Zapamiętaj

Odróżnisz wysokość od środkowej i wykorzystasz podział środkowej w stosunku 2:1. Kluczowe wzory są w ramce powyżej — wróć do przykładu, jeśli któreś obliczenie jest niejasne.

13. W trójkącie równobocznym wysokość, środkowa i dwusieczna z tego samego wierzchołka
13. W trójkącie równobocznym wysokość, środkowa i dwusieczna z tego samego wierzchołka
14. Pole trójkąta o podstawie $a$ i wysokości $h$ obliczamy jako
14. Pole trójkąta o podstawie $a$ i wysokości $h$ obliczamy jako
15. W trójkącie prostokątnym wysokości poprowadzone z wierzchołków kątów ostrych
15. W trójkącie prostokątnym wysokości poprowadzone z wierzchołków kątów ostrych

Materiały edukacyjne Hyżyk · Geometria planarna — liceum · Prywatność i dane