Potwierdzone sprawdzone punkt po punkcie · 2026-10-26
← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit
Matematyka · liceum

GEOMETRIA PLANARNA · MODUŁ 07

Prosta i okrąg

PPrezentacja dla nauczyciela

Poznasz proste rozłączne, styczne i sieczne oraz kąt prosty przy stycznej.

Wprowadzenie

Prosta może mieć z okręgiem zero, jeden lub dwa punkty wspólne. O tym, który przypadek zachodzi, decyduje odległość prostej od środka okręgu.

rozłączna styczna sieczna
Rysunek pomocniczy. Zwróć uwagę na oznaczenia i zależności opisane w treści.
1. Prosta mająca z okręgiem dokładnie dwa punkty wspólne to
2. Promień okręgu wynosi 6 cm, a odległość prostej od środka 9 cm. Ta prosta
3. Prosta jest styczna do okręgu o promieniu 3 cm. Jej odległość od środka okręgu wynosi

Jak to rozpoznać?

Odległość środka okręgu od prostej oznaczamy przez d, a promień przez r. Gdy d jest większe od r, prosta jest rozłączna. Gdy d = r, prosta jest styczna i ma dokładnie jeden punkt wspólny. Gdy d jest mniejsze od r, prosta jest sieczną i ma dwa punkty wspólne. Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej.

Wzory i zasady do zapamiętania

d > r — rozłączna. d = r — styczna. d < r — sieczna. Promień ⊥ styczna w punkcie styczności.

Przykład rozwiązany

Okrąg ma promień 5 cm, a prosta jest oddalona od jego środka o 3 cm. Jakie jest położenie prostej?

  1. Porównujemy d = 3 z r = 5.
  2. d < r, więc prosta przecina okrąg w dwóch punktach.
  3. Prosta jest sieczną.

Odpowiedź: Sieczna — dwa punkty wspólne.

4. Prosta jest rozłączna z okręgiem, gdy jej odległość od środka $d$ i promień $r$ spełniają
5. Prosta jest sieczną okręgu, gdy
6. Odległość prostej od środka okręgu wynosi 0. Ta prosta jest

Rozwiąż samodzielnie

  1. Promień okręgu wynosi 4 cm, a odległość prostej od środka 4 cm. Jakie jest położenie prostej?

    Pokaż rozwiązanie
    d = r, więc prosta jest styczna i ma jeden punkt wspólny.

  2. Promień 6 cm, odległość prostej 9 cm. Ile punktów wspólnych ma prosta z okręgiem?

    Pokaż rozwiązanie
    d > r, więc prosta jest rozłączna i nie ma punktów wspólnych.
7. Okrąg ma promień 4 cm, a prosta jest oddalona od jego środka o 4 cm. Ile punktów wspólnych mają te figury?
8. Prosta ma z okręgiem dwa punkty wspólne i jest oddalona od środka o 7 cm. Promień okręgu jest
9. Przez punkt A okręgu poprowadzono styczną oraz średnicę AB. Kąt między styczną a średnicą wynosi

Zadania dodatkowe

  1. Styczna dotyka okręgu w punkcie A, a O jest środkiem okręgu. Jaki kąt tworzy promień OA ze styczną?

    Pokaż rozwiązanie
    Promień do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc kąt ma 90°.

  2. Promień 5 cm, odległość prostej 5 cm. Ile punktów wspólnych?

    Pokaż rozwiązanie
    d = r, więc prosta jest styczna — dokładnie 1 punkt.
10. Z punktu P oddalonego od środka okręgu o 13 cm poprowadzono styczną do okręgu o promieniu 5 cm. Długość odcinka stycznego wynosi
11. Dwie różne proste styczne do tego samego okręgu mogą być
12. Prosta ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny. Wynika z tego, że jej odległość od środka okręgu jest

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź. Pomyłka to wskazówka, do którego miejsca wrócić.

Zapamiętaj

Rozpoznasz położenie prostej względem okręgu i własność stycznej. Kluczowe wzory są w ramce powyżej — wróć do przykładu, jeśli któreś obliczenie jest niejasne.

13. Ile punktów wspólnych ma styczna z okręgiem?
14. Promień poprowadzony do punktu styczności jest
15. Sieczna ma z okręgiem

Materiały edukacyjne Hyżyk · Geometria planarna — liceum