Potwierdzone sprawdzone punkt po punkcie · 2026-10-26
Pomiń nawigację
← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit
Matematyka · liceum

GEOMETRIA PLANARNA · MODUŁ 16

Twierdzenie cosinusów i pole z sinusem

PPrezentacja dla nauczyciela

Poznasz twierdzenie cosinusów, wzór na pole z sinusem i wzór Herona.

Wprowadzenie

Twierdzenie cosinusów uogólnia twierdzenie Pitagorasa na dowolny trójkąt. Wraz ze wzorem na pole z sinusem i wzorem Herona tworzy zestaw narzędzi do zadań maturalnych.

γ a b c c² = a² + b² − 2ab · cos γ
Rysunek pomocniczy. Zwróć uwagę na oznaczenia i zależności opisane w treści.
1. Twierdzenie cosinusów stosujesz przede wszystkim wtedy, gdy w trójkącie znasz
1. Twierdzenie cosinusów stosujesz przede wszystkim wtedy, gdy w trójkącie znasz
2. Gdy $\gamma = 90^\circ$, twierdzenie cosinusów redukuje się do
2. Gdy $\gamma = 90^\circ$, twierdzenie cosinusów redukuje się do
3. We wzorze Herona $P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ symbol $p$ oznacza
3. We wzorze Herona $P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ symbol $p$ oznacza

Jak to rozpoznać?

Twierdzenie cosinusów pozwala obliczyć trzeci bok, gdy znasz dwa boki i kąt między nimi. Gdy kąt wynosi 90°, cos 90° = 0 i wzór redukuje się do twierdzenia Pitagorasa. Pole trójkąta obliczysz z dwóch boków i sinusa kąta między nimi, a gdy znasz trzy boki — ze wzoru Herona.

Wzory i zasady do zapamiętania

c² = a² + b² − 2ab · cos γ. P = ½ · a · b · sin γ. Heron: P = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), gdzie p = (a + b + c)/2. Twierdzenie sinusów: a / sin α = 2R.

Przykład rozwiązany

W trójkącie dwa boki mają 5 i 8, a kąt między nimi 60°. Oblicz trzeci bok i pole.

  1. c² = 5² + 8² − 2 · 5 · 8 · cos 60° = 25 + 64 − 80 · ½.
  2. c² = 89 − 40 = 49, więc c = 7.
  3. Pole: P = ½ · 5 · 8 · sin 60° = 20 · √3/2 = 10√3.

Odpowiedź: c = 7, P = 10√3.

4. Dwa boki trójkąta mają $3$ i $8$, a kąt między nimi $60^\circ$. Trzeci bok ma
4. Dwa boki trójkąta mają $3$ i $8$, a kąt między nimi $60^\circ$. Trzeci bok ma
5. Pole trójkąta o bokach $3$ i $8$ oraz kącie $60^\circ$ między nimi wynosi
5. Pole trójkąta o bokach $3$ i $8$ oraz kącie $60^\circ$ między nimi wynosi
6. Twierdzenie sinusów zapisujemy w postaci
6. Twierdzenie sinusów zapisujemy w postaci

Rozwiąż samodzielnie

  1. Dwa boki trójkąta mają 6 i 10, a kąt między nimi 120°. Oblicz trzeci bok.

    Pokaż rozwiązanie
    c² = 36 + 100 − 2 · 6 · 10 · (−½) = 136 + 60 = 196, więc c = 14.

  2. Oblicz pole trójkąta o bokach 7 i 9, jeśli kąt między nimi ma 45°.

    Pokaż rozwiązanie
    P = ½ · 7 · 9 · sin 45° = 31,5 · √2/2 = 63√2/4.
7. Dwa boki mają $6$ i $10$, a kąt między nimi $120^\circ$. Trzeci bok ma
7. Dwa boki mają $6$ i $10$, a kąt między nimi $120^\circ$. Trzeci bok ma
8. Pole trójkąta o bokach $7$ i $9$ oraz kącie $45^\circ$ między nimi wynosi
8. Pole trójkąta o bokach $7$ i $9$ oraz kącie $45^\circ$ między nimi wynosi
9. Kąt między bokami $4$ i $6$ ma $30^\circ$. Pole trójkąta wynosi
9. Kąt między bokami $4$ i $6$ ma $30^\circ$. Pole trójkąta wynosi

Zadania dodatkowe

  1. Oblicz pole trójkąta o bokach 13, 14 i 15, korzystając ze wzoru Herona.

    Pokaż rozwiązanie
    p = (13 + 14 + 15)/2 = 21. P = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84.

  2. W trójkącie promień okręgu opisanego wynosi 10, a kąt α = 30°. Oblicz bok a naprzeciw tego kąta.

    Pokaż rozwiązanie
    Z twierdzenia sinusów a = 2R · sin α = 20 · ½ = 10.
10. Pole trójkąta o bokach $13$, $14$ i $15$, obliczone ze wzoru Herona, wynosi
10. Pole trójkąta o bokach $13$, $14$ i $15$, obliczone ze wzoru Herona, wynosi
11. Promień okręgu opisanego na trójkącie wynosi $10$, a kąt $\alpha = 30^\circ$. Bok $a$ naprzeciw tego kąta ma
11. Promień okręgu opisanego na trójkącie wynosi $10$, a kąt $\alpha = 30^\circ$. Bok $a$ naprzeciw tego kąta ma
12. Kąt $\gamma$ naprzeciw boku $c$ jest rozwarty, gdy
12. Kąt $\gamma$ naprzeciw boku $c$ jest rozwarty, gdy

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź. Pomyłka to wskazówka, do którego miejsca wrócić.

13. Twierdzenie cosinusów dla boku $c$ ma postać
13. Twierdzenie cosinusów dla boku $c$ ma postać
14. Pole trójkąta o bokach $a$, $b$ i kącie $\gamma$ między nimi wynosi
14. Pole trójkąta o bokach $a$, $b$ i kącie $\gamma$ między nimi wynosi
15. Wzór Herona pozwala obliczyć pole, gdy znasz
15. Wzór Herona pozwala obliczyć pole, gdy znasz
Zapamiętaj

Obliczysz bok twierdzeniem cosinusów oraz pole ze wzoru z sinusem i wzoru Herona. Kluczowe wzory są w ramce powyżej — wróć do przykładu, jeśli któreś obliczenie jest niejasne.

Materiały edukacyjne Hyżyk · Geometria planarna — liceum · Prywatność i dane