Twierdzenie cosinusów i pole z sinusem - Geometria planarna
Obliczysz bok twierdzeniem cosinusów oraz pole ze wzoru z sinusem i wzoru Herona.
- 45 min
- 11 slajdów
- Notatki nauczyciela: N
- Strona modułu: otwórz
Co dziś robimy
- 8 minWprowadzenie teza, kod i pytanie kontrolne
- 10 minJak to rozpoznać? c² = 5² + 8² − 2 · 5 · 8 · cos 60° = 25 + 64 − 80 · ½.
- 10 minRozwiąż samodzielnie Dwa boki trójkąta mają 6 i 10, a kąt między nimi 120°. Oblicz trzeci bok.
- 10 minZadania dodatkowe Oblicz pole trójkąta o bokach 13, 14 i 15, korzystając ze wzoru Herona.
- 5 minPodsumowanie bilet wyjściowy i zadanie domowe
Wprowadzenie
Pytanie do klasy
Twierdzenie cosinusów stosujesz przede wszystkim wtedy, gdy w trójkącie znasz
Poprawna: a) Do wyznaczenia trzeciego boku potrzebne są dwa boki i kąt zawarty między nimi; kąt naprzeciw boku prowadzi do twierdzenia sinusów.
Jak to rozpoznać?
Twierdzenie cosinusów pozwala obliczyć trzeci bok, gdy znasz dwa boki i kąt między nimi. Gdy kąt wynosi 90°, cos 90° = 0 i wzór redukuje się do twierdzenia Pitagorasa.
- c² = 5² + 8² − 2 · 5 · 8 · cos 60° = 25 + 64 − 80 · ½.
- c² = 89 − 40 = 49, więc c = 7.
- Pole: P = ½ · 5 · 8 · sin 60° = 20 · √3/2 = 10√3.
- Odpowiedź: c = 7, P = 10√3.
Pytanie do klasy
Dwa boki trójkąta mają $3$ i $8$, a kąt między nimi $60^\circ$. Trzeci bok ma
Poprawna: d) $c^2 = 9 + 64 - 24 = 49$, więc $c = 7$; $\sqrt{73}$ to wynik pominięcia wyrazu z cosinusem, a $\sqrt{97}$ dodania go zamiast odjęcia.
Rozwiąż samodzielnie
- Dwa boki trójkąta mają 6 i 10, a kąt między nimi 120°. Oblicz trzeci bok. Pokaż rozwiązanie c² = 36 + 100 − 2 · 6 · 10 · (−½) = 136 + 60 = 196, więc c = 14.
- Oblicz pole trójkąta o bokach 7 i 9, jeśli kąt między nimi ma 45°. Pokaż rozwiązanie P = ½ · 7 · 9 · sin 45° = 31,5 · √2/2 = 63√2/4.
Pytanie do klasy
Dwa boki mają $6$ i $10$, a kąt między nimi $120^\circ$. Trzeci bok ma
Poprawna: c) $c^2 = 36 + 100 + 60 = 196$, bo $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$; $8{,}7$ to wynik przyjęcia $\cos 120^\circ = \frac{1}{2}$.
Zadania dodatkowe
- Oblicz pole trójkąta o bokach 13, 14 i 15, korzystając ze wzoru Herona. Pokaż rozwiązanie p = (13 + 14 + 15)/2 = 21. P = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84.
- W trójkącie promień okręgu opisanego wynosi 10, a kąt α = 30°. Oblicz bok a naprzeciw tego kąta. Pokaż rozwiązanie Z twierdzenia sinusów a = 2R · sin α = 20 · ½ = 10.
Pytanie do klasy
Pole trójkąta o bokach $13$, $14$ i $15$, obliczone ze wzoru Herona, wynosi
Poprawna: b) $p = 21$ oraz $P = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84$; $42$ to połowa poprawnego wyniku, powstała z dodatkowego dzielenia przez $2$.
Co zabrać z lekcji
- Wprowadzenie
- c² = 5² + 8² − 2 · 5 · 8 · cos 60° = 25 + 64 − 80 · ½.
- Dwa boki trójkąta mają 6 i 10, a kąt między nimi 120°. Oblicz trzeci bok. Pokaż rozwiązanie c² = 36 + 100 − 2 · 6 · 10 · (−½) = 136 + 60 = 196, więc c = 14.
- Oblicz pole trójkąta o bokach 13, 14 i 15, korzystając ze wzoru Herona. Pokaż rozwiązanie p = (13 + 14 + 15)/2 = 21. P = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84.
Odpowiedź: d) $c^2 \gt a^2 + b^2$