Proste prostopadłe — równoległość i prostopadłość
Sprawdzisz prostopadłość prostych i wyznaczysz współczynnik prostej prostopadłej.
- 45 min
- 11 slajdów
- Notatki nauczyciela: N
- Strona modułu: otwórz
Co dziś robimy
- 8 minWprowadzenie teza, kod i pytanie kontrolne
- 10 minJak to rozpoznać? Współczynnik prostopadłej: a⊥ = −1/(−3) = 1/3.
- 10 minRozwiąż samodzielnie Prosta k ma równanie y=¾x−2. Podaj współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do k.
- 10 minZadania dodatkowe Dla jakiej wartości m proste y = (2m + 1)x − 3 i y = −4x + 7 są prostopadłe? Pokaż…
- 5 minPodsumowanie bilet wyjściowy i zadanie domowe
Wprowadzenie
Pytanie do klasy
Dwie niepionowe proste są prostopadłe, gdy
Poprawna: a) Prostopadłość wymaga $a_1\cdot a_2=-1$. Równe współczynniki oznaczają równoległość, a suma równa $0$ to tylko szczególny przypadek, np. $2$ i $-2$.
Jak to rozpoznać?
Dwie niepionowe proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi −1. Oznacza to, że ich współczynniki są przeciwnymi odwrotnościami. Prosta pionowa jest prostopadła do poziomej.
- Współczynnik prostopadłej: a⊥ = −1/(−3) = 1/3.
- Szukana prosta: y = (1/3)x + b.
- Podstawiamy punkt: 1 = (1/3) · 3 + b = 1 + b.
- Prostopadłość: a₁ · a₂ = −1.
Najpierw sprowadź równania do wygodnej postaci. Zapisz współczynniki kierunkowe i dopiero wtedy zastosuj warunek. Sprawdź też, czy nie pojawia się prosta pionowa.
Pytanie do klasy
Prostopadła do $y=\frac{2}{5}x+1$ ma współczynnik kierunkowy
Poprawna: d) Szukamy $a$ takiego, że $\frac{2}{5}\cdot a=-1$, więc $a=-\frac{5}{2}$. Wariant $\frac{5}{2}$ gubi znak minus, a $-\frac{2}{5}$ zmienia tylko znak.
Rozwiąż samodzielnie
- Prosta k ma równanie y=¾x−2. Podaj współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do k. Pokaż rozwiązanie Szukamy a takiego, że (3/4)·a=−1. Stąd a=−4/3.
- Prosta k ma równanie x=5. Podaj równanie prostej prostopadłej do k, która przechodzi przez punkt (−2,3). Pokaż rozwiązanie Prosta pionowa jest prostopadła do poziomej.
Pytanie do klasy
Prostopadła do $y=\frac{3}{4}x-2$ ma współczynnik kierunkowy
Poprawna: c) $a=-\frac{1}{3/4}=-\frac{4}{3}$. Wariant $\frac{4}{3}$ to odwrotność bez zmiany znaku, a $-\frac{3}{4}$ tylko zmiana znaku.
Zadania dodatkowe
- Dla jakiej wartości m proste y = (2m + 1)x − 3 i y = −4x + 7 są prostopadłe? Pokaż rozwiązanie Krok 1. Iloczyn współczynników kierunkowych musi wynosić −1: (2m + 1)·(−4)…
- Wyznacz równanie prostej prostopadłej do y = ⅖x + 1, przechodzącej przez punkt (−4, 3). Pokaż rozwiązanie Krok 1. a⊥ = −1/(2/5) = −5/2. Krok 2.
Pytanie do klasy
Proste $y=(2m+1)x-3$ i $y=-4x+7$ są prostopadłe dla
Poprawna: b) $(2m+1)\cdot(-4)=-1$, więc $2m+1=\frac{1}{4}$ i $m=-\frac{3}{8}$. Wariant $\frac{3}{8}$ gubi znak minus.
Co zabrać z lekcji
- Dla prostych o określonych współczynnikach kierunkowych prostopadłość można rozpoznać bez rysowania.
- Współczynnik prostopadłej: a⊥ = −1/(−3) = 1/3.
- Prosta k ma równanie y=¾x−2. Podaj współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do k. Pokaż rozwiązanie Szukamy a takiego, że (3/4)·a=−1. Stąd a=−4/3.
- Dla jakiej wartości m proste y = (2m + 1)x − 3 i y = −4x + 7 są prostopadłe? Pokaż rozwiązanie Krok 1.
Odpowiedź: d) $y=x-7$