Potwierdzone sprawdzone punkt po punkcie · 2026-10-26
Pomiń nawigację
← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit
Matematyka · liceum · poziom podstawowy

GEOMETRIA ANALITYCZNA · MODUŁ 05

Proste prostopadłe

PPrezentacja dla nauczyciela

Sprawdzisz prostopadłość prostych i wyznaczysz współczynnik prostej prostopadłej. Zobacz przykład na wykresie, rozwiąż zadania i sprawdź swoją odpowiedź w quizie.

Wprowadzenie

Dla prostych o określonych współczynnikach kierunkowych prostopadłość można rozpoznać bez rysowania. Pamiętaj o wyjątkowych przypadkach prostych pionowych i poziomych.

xyk: a = 2l: a = −½m: pozioman: pionowa
Schemat na układzie współrzędnych. Kolory odróżniają proste; własności potwierdź rachunkiem, nie samym wyglądem rysunku.
1. Dwie niepionowe proste są prostopadłe, gdy
1. Dwie niepionowe proste są prostopadłe, gdy
2. Współczynniki kierunkowe dwóch prostopadłych prostych niepionowych są
2. Współczynniki kierunkowe dwóch prostopadłych prostych niepionowych są
3. Prosta pionowa jest prostopadła do
3. Prosta pionowa jest prostopadła do

Jak to rozpoznać?

Dwie niepionowe proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi −1. Oznacza to, że ich współczynniki są przeciwnymi odwrotnościami. Prosta pionowa jest prostopadła do poziomej. Nie wolno używać iloczynu −1, gdy jedna z prostych jest pionowa.

Wzory i zasady do zapamiętania

Prostopadłość: a₁ · a₂ = −1. Wyjątek: prosta pionowa x=c jest prostopadła do poziomej y=d.

Strategia

Najpierw sprowadź równania do wygodnej postaci. Zapisz współczynniki kierunkowe i dopiero wtedy zastosuj warunek. Sprawdź też, czy nie pojawia się prosta pionowa.

Przykład rozwiązany

Wyznacz równanie prostej prostopadłej do y = −3x + 2, przechodzącej przez punkt (3, 1).

  1. Współczynnik prostopadłej: a⊥ = −1/(−3) = 1/3.
  2. Szukana prosta: y = (1/3)x + b.
  3. Podstawiamy punkt: 1 = (1/3) · 3 + b = 1 + b.
  4. b = 0.

Odpowiedź: y = ⅓x.

4. Prostopadła do $y=\frac{2}{5}x+1$ ma współczynnik kierunkowy
4. Prostopadła do $y=\frac{2}{5}x+1$ ma współczynnik kierunkowy
5. Proste $y=4x-1$ i $y=-\frac{1}{4}x+3$ są
5. Proste $y=4x-1$ i $y=-\frac{1}{4}x+3$ są
6. Warunku $a_1\cdot a_2=-1$ nie stosujemy, gdy
6. Warunku $a_1\cdot a_2=-1$ nie stosujemy, gdy

Rozwiąż samodzielnie

  1. Prosta k ma równanie y=¾x−2. Podaj współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do k.

    Pokaż rozwiązanie
    Szukamy a takiego, że (3/4)·a=−1. Stąd a=−4/3.

  2. Prosta k ma równanie x=5. Podaj równanie prostej prostopadłej do k, która przechodzi przez punkt (−2,3).

    Pokaż rozwiązanie
    Prosta pionowa jest prostopadła do poziomej. Pozioma przechodząca przez (−2,3) ma równanie y=3.
7. Prostopadła do $y=\frac{3}{4}x-2$ ma współczynnik kierunkowy
7. Prostopadła do $y=\frac{3}{4}x-2$ ma współczynnik kierunkowy
8. Prosta prostopadła do $x=5$, przechodząca przez $(-2,3)$, ma równanie
8. Prosta prostopadła do $x=5$, przechodząca przez $(-2,3)$, ma równanie
9. Prostopadła do $y=-2x+7$ ma współczynnik kierunkowy
9. Prostopadła do $y=-2x+7$ ma współczynnik kierunkowy

Zadania dodatkowe

  1. Dla jakiej wartości m proste y = (2m + 1)x − 3 i y = −4x + 7 są prostopadłe?

    Pokaż rozwiązanie

    Krok 1. Iloczyn współczynników kierunkowych musi wynosić −1: (2m + 1)·(−4) = −1.

    Krok 2. 2m + 1 = ¼.

    Krok 3. 2m = −¾, więc m = −⅜.

    Odpowiedź: m = −⅜.

  2. Wyznacz równanie prostej prostopadłej do y = ⅖x + 1, przechodzącej przez punkt (−4, 3).

    Pokaż rozwiązanie

    Krok 1. a⊥ = −1/(2/5) = −5/2.

    Krok 2. y = −(5/2)x + b; podstawiamy punkt: 3 = −(5/2)·(−4) + b = 10 + b.

    Krok 3. b = −7.

    Odpowiedź: y = −2,5x − 7.

10. Proste $y=(2m+1)x-3$ i $y=-4x+7$ są prostopadłe dla
10. Proste $y=(2m+1)x-3$ i $y=-4x+7$ są prostopadłe dla
11. Prostopadła do $y=\frac{2}{5}x+1$, przechodząca przez $(0,1)$, ma równanie
11. Prostopadła do $y=\frac{2}{5}x+1$, przechodząca przez $(0,1)$, ma równanie
12. Która prosta jest prostopadła do $y=-x+2$?
12. Która prosta jest prostopadła do $y=-x+2$?

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź. Pomyłka to wskazówka, który warunek warto powtórzyć.

Zapamiętaj

Sprawdzisz prostopadłość prostych i wyznaczysz współczynnik prostej prostopadłej. Równość nachyleń oznacza równoległość, a iloczyn nachyleń równy −1 — prostopadłość, z osobnym uwzględnieniem prostych pionowych.

13. Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do $y=2x+1$ wynosi
13. Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do $y=2x+1$ wynosi
14. Proste o współczynnikach kierunkowych $3$ i $-\frac{1}{3}$ są
14. Proste o współczynnikach kierunkowych $3$ i $-\frac{1}{3}$ są
15. Do prostej $y=-4$ jest prostopadła prosta
15. Do prostej $y=-4$ jest prostopadła prosta

Materiały edukacyjne Hyżyk · Matematyka liceum — geometria analityczna · Prywatność i dane