Postać ogólna równania prostej — równoległość i prostopadłość

Odczytasz współczynnik kierunkowy z postaci ogólnej i rozpoznasz prostą pionową. Zobacz przykład na wykresie, rozwiąż zadania i sprawdź swoją odpowiedź w quizie.

Wprowadzenie

Równanie ogólne często pojawia się w zadaniach z układami równań. Przekształć je do postaci kierunkowej, jeśli współczynnik przy y na to pozwala.

1. Równanie $Ax+By+C=0$ można zapisać w postaci kierunkowej, gdy

$B \neq 0$ $A \neq 0$ $C \neq 0$ $A=0$

2. W równaniu $3x-4y+8=0$ współczynnik $B$ wynosi

$4$ $-4$ $3$ $8$

3. Gdy w równaniu $Ax+By+C=0$ jest $B=0$ i $A \neq 0$, to prosta jest

Pozioma Ukośna o współczynniku $-A$ Pionowa Przechodząca przez początek układu

Jak to rozpoznać?

Dla Ax+By+C=0 i B≠0 otrzymujemy y=−A/B·x−C/B, zatem współczynnik kierunkowy wynosi −A/B. Gdy B=0 i A≠0, równanie opisuje prostą pionową x=−C/A.

Wzory i zasady do zapamiętania

Ax + By + C = 0. Dla B ≠ 0: a = −A/B. Dla B = 0: prosta pionowa.

Strategia

Najpierw sprowadź równania do wygodnej postaci. Zapisz współczynniki kierunkowe i dopiero wtedy zastosuj warunek. Sprawdź też, czy nie pojawia się prosta pionowa.

Przykład rozwiązany

Przekształć równanie 6x − 3y + 9 = 0 do postaci kierunkowej.

Przenosimy: −3y = −6x − 9.
Dzielimy przez −3: y = 2x + 3.
Współczynnik kierunkowy to 2, a wyraz wolny 3.

Odpowiedź: y = 2x + 3.

4. Współczynnik kierunkowy prostej $3x+6y-12=0$ wynosi

$\frac{1}{2}$ $-2$ $2$ $-\frac{1}{2}$

5. Prosta $2x+5=0$ jest

Pionowa Pozioma Ukośna o współczynniku $-\frac{2}{5}$ Ukośna o współczynniku $-\frac{5}{2}$

6. W równaniu $5x-2y+4=0$ wyraz wolny postaci kierunkowej wynosi

$-2$ $2$ $4$ $-4$

Rozwiąż samodzielnie

7. Współczynnik kierunkowy prostej $6x+3y-9=0$ wynosi

$2$ $-\frac{1}{2}$ $-2$ $3$

9. Równanie $2y-8=0$ opisuje prostą

Poziomą $y=4$ Pionową $x=4$ Poziomą $y=-4$ Ukośną o współczynniku $2$

Zadania dodatkowe

10. Postać kierunkowa równania $3x+4y-12=0$ to

$y=\frac{3}{4}x+3$ $y=-\frac{3}{4}x+3$ $y=-\frac{4}{3}x+3$ $y=-3x+12$

11. Postać kierunkowa równania $6x-4y+8=0$ to

$y=\frac{2}{3}x+2$ $y=-1{,}5x+2$ $y=1{,}5x+2$ $y=1{,}5x-2$

12. Które równanie opisuje prostą pionową?

$y=4x$ $2x+3y=6$ $y=-3$ $2x-6=0$

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź. Pomyłka to wskazówka, który warunek warto powtórzyć.

Zapamiętaj

Odczytasz współczynnik kierunkowy z postaci ogólnej i rozpoznasz prostą pionową. Równość nachyleń oznacza równoległość, a iloczyn nachyleń równy −1 — prostopadłość, z osobnym uwzględnieniem prostych pionowych.

13. Współczynnik kierunkowy prostej $2x-5y+10=0$ wynosi

−5/2 −2/5 5/2 2/5

14. Równanie $7x-21=0$ opisuje prostą

x=3 y=3 poziomą przez (0,3) o współczynniku 7

15. Dla równania $Ax+By+C=0$, gdy $B \neq 0$, współczynnik kierunkowy wynosi

A/B −A/B −B/A C/B