Potwierdzone sprawdzone punkt po punkcie · 2026-10-26
Pomiń nawigację
← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit
Matematyka · liceum · poziom podstawowy

GEOMETRIA ANALITYCZNA · MODUŁ 03

Współczynnik kierunkowy z dwóch punktów

PPrezentacja dla nauczyciela

Obliczysz współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty. Zobacz przykład na wykresie, rozwiąż zadania i sprawdź swoją odpowiedź w quizie.

Wprowadzenie

Gdy znasz współrzędne dwóch punktów, nie musisz rysować prostej. Wystarczy porównać przyrosty współrzędnych w tej samej kolejności.

xyprosta Aprosta Bprosta C
Schemat na układzie współrzędnych. Kolory odróżniają proste; własności potwierdź rachunkiem, nie samym wyglądem rysunku.
1. Mając współrzędne dwóch punktów prostej, współczynnik kierunkowy obliczysz,
1. Mając współrzędne dwóch punktów prostej, współczynnik kierunkowy obliczysz,
2. Przy przejściu od $A=(2,5)$ do $B=(7,5)$ przyrost $\Delta x$ wynosi
2. Przy przejściu od $A=(2,5)$ do $B=(7,5)$ przyrost $\Delta x$ wynosi
3. Dwa różne punkty o tej samej współrzędnej $y$ wyznaczają prostą
3. Dwa różne punkty o tej samej współrzędnej $y$ wyznaczają prostą

Jak to rozpoznać?

Dla punktów A=(x₁,y₁) i B=(x₂,y₂), gdy x₂≠x₁, współczynnik kierunkowy wynosi (y₂−y₁)/(x₂−x₁). Ważne: licznik i mianownik muszą odpowiadać temu samemu przejściu, np. od A do B. Gdy x₂=x₁, prosta jest pionowa.

Wzory i zasady do zapamiętania

a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁), dla x₂ ≠ x₁.

Strategia

Najpierw sprowadź równania do wygodnej postaci. Zapisz współczynniki kierunkowe i dopiero wtedy zastosuj warunek. Sprawdź też, czy nie pojawia się prosta pionowa.

Przykład rozwiązany

Oblicz współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez A = (3, −1) i B = (−1, 5).

  1. a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = (5 − (−1))/(−1 − 3).
  2. a = 6 / (−4).
  3. a = −3/2.

Odpowiedź: a = −3/2.

4. Wzór $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ stosujemy, gdy
4. Wzór $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ stosujemy, gdy
5. Dla $A=(1,2)$ i $B=(4,8)$ mianownik $\Delta x$ we wzorze wynosi
5. Dla $A=(1,2)$ i $B=(4,8)$ mianownik $\Delta x$ we wzorze wynosi
6. Odwrócenie kolejności punktów, czyli podstawienie $B$ przed $A$,
6. Odwrócenie kolejności punktów, czyli podstawienie $B$ przed $A$,

Rozwiąż samodzielnie

  1. Oblicz współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez A=(−1,2) i B=(3,8).

    Pokaż rozwiązanie
    a=(8−2)/(3−(−1))=6/4=3/2.

  2. Czy punkty P=(4,−2) i Q=(4,5) wyznaczają prostą o współczynniku kierunkowym? Uzasadnij.

    Pokaż rozwiązanie
    Nie. Oba punkty mają x=4, więc prosta jest pionowa i w mianowniku wzoru otrzymalibyśmy 4−4=0. Współczynnik kierunkowy nie jest określony.
7. Prosta przechodzi przez $(0,1)$ i $(4,9)$. Współczynnik kierunkowy wynosi
7. Prosta przechodzi przez $(0,1)$ i $(4,9)$. Współczynnik kierunkowy wynosi
8. Dla $A=(2,-1)$ i $B=(6,7)$ przyrost $\Delta y$ wynosi
8. Dla $A=(2,-1)$ i $B=(6,7)$ przyrost $\Delta y$ wynosi
9. Prosta przechodząca przez $(3,-2)$ i $(3,5)
9. Prosta przechodząca przez $(3,-2)$ i $(3,5)

Zadania dodatkowe

  1. Oblicz współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez A = (−4, 3) i B = (2, −3).

    Pokaż rozwiązanie

    Krok 1. a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = (−3 − 3)/(2 − (−4)).

    Krok 2. a = −6/6 = −1.

    Odpowiedź: a = −1.

  2. Oblicz współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez A = (−2, −1) i B = (3, 9).

    Pokaż rozwiązanie

    Krok 1. a = (9 − (−1))/(3 − (−2)).

    Krok 2. a = 10/5 = 2.

    Odpowiedź: a = 2.

10. Prosta przechodzi przez $A=(1,5)$ i $B=(4,-1)$. Jej współczynnik kierunkowy to
10. Prosta przechodzi przez $A=(1,5)$ i $B=(4,-1)$. Jej współczynnik kierunkowy to
11. Prosta przechodzi przez $A=(-3,-2)$ i $B=(1,6)$. Jej współczynnik kierunkowy to
11. Prosta przechodzi przez $A=(-3,-2)$ i $B=(1,6)$. Jej współczynnik kierunkowy to
12. Punkty $P=(4,-2)$ i $Q=(4,5)$
12. Punkty $P=(4,-2)$ i $Q=(4,5)$

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź. Pomyłka to wskazówka, który warunek warto powtórzyć.

Zapamiętaj

Obliczysz współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty. Równość nachyleń oznacza równoległość, a iloczyn nachyleń równy −1 — prostopadłość, z osobnym uwzględnieniem prostych pionowych.

13. Współczynnik kierunkowy prostej przez $(1,1)$ i $(5,9)$ wynosi
13. Współczynnik kierunkowy prostej przez $(1,1)$ i $(5,9)$ wynosi
14. Dla punktów $A=(-2,4)$, $B=(1,-2)$ współczynnik kierunkowy wynosi
14. Dla punktów $A=(-2,4)$, $B=(1,-2)$ współczynnik kierunkowy wynosi
15. Jeśli dwa różne punkty mają tę samą współrzędną $x$, prosta przez nie jest
15. Jeśli dwa różne punkty mają tę samą współrzędną $x$, prosta przez nie jest

Materiały edukacyjne Hyżyk · Matematyka liceum — geometria analityczna · Prywatność i dane