Potwierdzone sprawdzone punkt po punkcie · 2026-10-26

← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit

Matematyka · liceum · poziom podstawowy

Równoległość i prostopadłość prostych — matematyka liceum, poziom podstawowy › Moduł 07 z 13

W materiale Wprowadzenie Jak to rozpoznać? Rozwiąż samodzielnie Zadania dodatkowe Quiz kontrolny

GEOMETRIA ANALITYCZNA · MODUŁ 07

Równanie prostej równoległej przez punkt

PPrezentacja dla nauczyciela

Zapiszesz równanie prostej równoległej do danej i przechodzącej przez wskazany punkt. Zobacz przykład na wykresie, rozwiąż zadania i sprawdź swoją odpowiedź w quizie.

Wprowadzenie

W równaniu szukanej prostej zachowujesz współczynnik kierunkowy znanej prostej. Następnie wyznaczasz wyraz wolny z warunku przechodzenia przez punkt.

Schemat na układzie współrzędnych. Kolory odróżniają proste; własności potwierdź rachunkiem, nie samym wyglądem rysunku.

Quiz na żywo — 3 pytania

1. Budując równanie prostej równoległej do danej, który element wzoru $y=ax+b$ zachowujesz bez zmian?

współczynnik kierunkowy $a$ wyraz wolny $b$ oba współczynniki, $a$ i $b$ znak wyrazu wolnego

2. Po podstawieniu współrzędnych punktu do równania $y=ax+c$, w którym $a$ jest już znane, wyznaczasz

$a$ $c$ miejsce zerowe danej prostej punkt przecięcia danej prostej z osią $OY$

3. Która kolejność kroków prowadzi do równania prostej równoległej do danej i przechodzącej przez punkt $P$?

najpierw wyznaczyć $b$ z punktu $P$, potem odczytać $a$ z danej prostej podstawić $P$ do równania danej prostej i sprawdzić, czy je spełnia odczytać $a$ z danej prostej, a potem wyznaczyć $b$ z warunku dla $P$ zamienić $a$ na $-1/a$, a potem podstawić $P$

Jak to rozpoznać?

Jeśli dana prosta ma postać y=ax+b, to każda równoległa niepionowa ma postać y=ax+c. Punkt (x₀,y₀) należy do szukanej prostej, więc y₀=ax₀+c.

Wzory i zasady do zapamiętania

Prosta równoległa przez (x₀,y₀): y − y₀ = a(x − x₀), gdzie a jest nachyleniem danej prostej.

Strategia

Najpierw sprowadź równania do wygodnej postaci. Zapisz współczynniki kierunkowe i dopiero wtedy zastosuj warunek. Sprawdź też, czy nie pojawia się prosta pionowa.

Przykład rozwiązany

Wyznacz równanie prostej równoległej do 2x − y + 3 = 0, przechodzącej przez punkt (0, −2).

Zapisujemy daną prostą: y = 2x + 3, więc a = 2.
Szukana prosta: y = 2x + b.
Podstawiamy punkt: −2 = 2 · 0 + b, więc b = −2.

Odpowiedź: y = 2x − 2.

Quiz na żywo — 3 pytania

4. Prosta równoległa do $y=-5x+1$ ma współczynnik kierunkowy

$-1/5$ $0$ $-5$ $5$

5. Prosta $y=3x+c$ przechodzi przez punkt $(2,1)$. Wtedy $c$ wynosi

$-2$ $1$ $7$ $-5$

6. Prosta równoległa do $x=-4$, przechodząca przez $(7,2)$, ma równanie

$x=7$ $y=7$ $x=2$ $y=2$

Rozwiąż samodzielnie

Wyznacz równanie prostej równoległej do y=2x−5 i przechodzącej przez P=(−1,4).
Pokaż rozwiązanie
Zachowujemy a=2: y=2x+c. Podstawiamy P: 4=2·(−1)+c, więc c=6. Odpowiedź: y=2x+6.
Wyznacz równanie prostej równoległej do 3x−2y+8=0 i przechodzącej przez (2,−1).
Pokaż rozwiązanie
Dana prosta ma postać y=3/2 x+4, więc a=3/2. Podstawiamy punkt: −1=(3/2)·2+c, stąd c=−4. Równanie: y=3/2 x−4.

Quiz na żywo — 3 pytania

7. Prosta równoległa do $y=4x-7$, przechodząca przez $(-2,3)$, ma równanie

$y=4x+11$ $y=4x-5$ $y=-\frac14x+3$ $y=4x-11$

8. Prosta równoległa do $3x-2y+8=0$, przechodząca przez $(2,-1)$, ma równanie

$y=\frac32x+4$ $y=\frac32x-4$ $y=-\frac23x+\frac13$ $y=\frac23x-\frac73$

9. Prosta równoległa do $x=5$, przechodząca przez $(3,-2)$, ma równanie

$y=-2$ $y=3$ $x=3$ $x=-2$

Zadania dodatkowe

Wyznacz równanie prostej równoległej do 2x − 5y + 10 = 0, przechodzącej przez punkt (5, −1).
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. Zapisujemy daną prostą w postaci kierunkowej: 5y = 2x + 10, więc y = 0,4x + 2.
Krok 2. Szukana prosta: y = 0,4x + b; podstawiamy (5, −1): −1 = 2 + b.
Krok 3. b = −3.
Odpowiedź: y = 0,4x − 3.
Wyznacz równanie prostej równoległej do y = −¾x + 2, przechodzącej przez punkt (−8, 5).
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. Szukana prosta: y = −¾x + b.
Krok 2. 5 = −¾·(−8) + b = 6 + b.
Krok 3. b = −1.
Odpowiedź: y = −¾x − 1.

Quiz na żywo — 3 pytania

10. Prosta równoległa do $2x-5y+10=0$, przechodząca przez $(5,-1)$, ma równanie

$y=0{,}4x+3$ $y=0{,}4x-3$ $y=-0{,}4x+1$ $y=2{,}5x-13{,}5$

11. Prosta równoległa do $y=-\frac34x+2$, przechodząca przez $(-8,5)$, ma równanie

$y=-\frac34x+11$ $y=\frac43x+\frac{47}{3}$ $y=-\frac34x-1$ $y=-\frac34x-11$

12. Proste $y=ax+2$ i $y=-4x+7$ są równoległe. Wynika z tego, że

$a=-4$ i proste pokrywają się $a=\frac14$ $a=4$ $a=-4$, ale proste są różne

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź. Pomyłka to wskazówka, który warunek warto powtórzyć.

Zapamiętaj

Zapiszesz równanie prostej równoległej do danej i przechodzącej przez wskazany punkt. Równość nachyleń oznacza równoległość, a iloczyn nachyleń równy −1 — prostopadłość, z osobnym uwzględnieniem prostych pionowych.

Quiz na żywo — 3 pytania

13. Uczeń twierdzi: „prosta równoległa do $y=2x+1$, przechodząca przez $(0,5)$, to $y=2x+1$, bo nachylenie się zgadza”. Błąd polega na tym, że

pominął punkt, więc otrzymał prostą pokrywającą się z daną użył przeciwnego znaku nachylenia pomylił równoległość z prostopadłością nie sprawdził, czy szukana prosta jest pionowa

14. Prosta równoległa do osi $OX$, przechodząca przez $(2,-3)$, ma równanie

$x=2$ $y=-3$ $y=0$ $x=-3$

15. Prosta $k$ jest równoległa do $y=-x+4$ i przechodzi przez $(1,1)$. Który punkt należy do $k$?

$(0,4)$ $(1,0)$ $(0,-2)$ $(3,-1)$

← Spis kursu Moduł 06 · Postać ogólna równania prostejPoprzednia Moduł 08 · Równanie prostej prostopadłej przez punktNastępna

Materiały edukacyjne Hyżyk · Matematyka liceum — geometria analityczna