GEOMETRIA ANALITYCZNA · MODUŁ 12

Parametry i zadania wieloetapowe

PPrezentacja dla nauczyciela

Wyznaczysz parametr zapewniający równoległość lub prostopadłość i rozwiążesz zadanie w kilku krokach. Zobacz przykład na wykresie, rozwiąż zadania i sprawdź swoją odpowiedź w quizie.

Wprowadzenie

W zadaniach z parametrem najpierw zapisz warunek na współczynniki kierunkowe. Dopiero potem rozwiąż równanie i sprawdź, czy nie pominąłeś przypadku szczególnego.

Schemat na układzie współrzędnych. Kolory odróżniają proste; własności potwierdź rachunkiem, nie samym wyglądem rysunku.

1. W zadaniu z parametrem $m$ najpierw

zapisujesz warunek na współczynniki kierunkowe, a potem rozwiązujesz równanie podstawiasz $m=0$, żeby uprościć wzór obliczasz punkt przecięcia prostych sprawdzasz, czy proste przechodzą przez początek układu

2. Dla prostych $y=(m+1)x+3$ i $y=2x-1$ warunek równoległości ma postać

$(m+1)\cdot2=-1$ $m+1=2$ $m+1=-2$ $3=-1$

3. Po wyznaczeniu $m$ z warunku prostopadłości warto

od razu zapisać odpowiedź bez sprawdzania sprawdzić, czy $m$ jest dodatnie podstawić $m$ z powrotem i sprawdzić iloczyn nachyleń obliczyć miejsce zerowe obu prostych

Jak to rozpoznać?

Dla równoległości przyrównujesz współczynniki kierunkowe. Dla prostopadłości ich iloczyn przyrównujesz do −1. Jeśli w równaniu parametrycznym współczynnik przy y może być równy 0, osobno sprawdź, czy nie powstaje prosta pionowa.

Wzory i zasady do zapamiętania

Równoległość: a₁=a₂. Prostopadłość: a₁a₂=−1. Następnie podstaw punkt albo rozwiąż układ równań.

Strategia

Najpierw sprowadź równania do wygodnej postaci. Zapisz współczynniki kierunkowe i dopiero wtedy zastosuj warunek. Sprawdź też, czy nie pojawia się prosta pionowa.

Przykład rozwiązany

Prosta y = (2m − 1)x + 3 jest prostopadła do prostej y = −4x + 1. Wyznacz m.

Iloczyn współczynników kierunkowych wynosi −1: (2m − 1) · (−4) = −1.
2m − 1 = 1/4.
2m = 5/4, więc m = 5/8.

Odpowiedź: m = 5/8.

4. Aby proste o nachyleniach $m-1$ i $2$ były prostopadłe, $m$ musi spełniać

$m-1=2$ $2(m-1)=-1$ $m-1=-2$ $2(m-1)=1$

5. Prosta równoległa do $y=-3x+8$, przechodząca przez $(2,1)$, ma równanie

$y=3x-5$ $y=-3x-5$ $y=-3x+7$ $y=\frac13x+1$

6. Prosta o nachyleniu $4$ jest prostopadła do prostej o nachyleniu

$-4$ $\frac14$ $4$ $-\frac14$

Rozwiąż samodzielnie

Wyznacz m, aby proste y=(m+1)x−2 i y=−2x+5 były prostopadłe.
Pokaż rozwiązanie
Współczynniki: m+1 oraz −2. Warunek: −2(m+1)=−1, więc m+1=1/2 i m=−1/2.
Prosta k przechodzi przez A=(1,2) i B=(5,4). Wyznacz równanie prostej prostopadłej do k i przechodzącej przez P=(−1,3).
Pokaż rozwiązanie
a_k=(4−2)/(5−1)=1/2. Nachylenie prostopadłej wynosi −2. Przez P: y−3=−2(x+1), czyli y=−2x+1.

7. Proste $y=(m+1)x-2$ i $y=-2x+5$ są prostopadłe dla

$m=-\frac12$ $m=-3$ $m=\frac12$ $m=1$

8. Proste $y=(m-2)x+1$ i $y=3x-4$ są równoległe dla

$m=-1$ $m=5$ $m=\frac13$ $m=6$

9. Prosta $k$ przechodzi przez $A=(1,2)$ i $B=(5,4)$. Prosta prostopadła do $k$, przechodząca przez $P=(-1,3)$, ma równanie

$y=2x+5$ $y=-\frac12x+\frac52$ $y=-2x+1$ $y=-2x-1$

Zadania dodatkowe

Dla jakiej wartości m proste y = (m − 2)x + 1 i y = 3x − 4 są równoległe?
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. Współczynniki kierunkowe muszą być równe: m − 2 = 3.
Krok 2. m = 5.
Odpowiedź: m = 5.
Prosta k przechodzi przez A = (2, −1) i B = (6, 3). Wyznacz równanie prostej prostopadłej do k, przechodzącej przez P = (0, 2).
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. a_k = (3 − (−1))/(6 − 2) = 4/4 = 1.
Krok 2. a⊥ = −1/1 = −1, więc y = −x + b.
Krok 3. Podstawiamy P: 2 = 0 + b, więc b = 2.
Odpowiedź: y = −x + 2.

10. Proste $y=(3m+1)x-2$ i $y=\frac14x+5$ są prostopadłe dla

$m=-\frac23$ $m=-\frac53$ $m=\frac53$ $m=\frac23$

11. Proste $y=\frac23x-1$ i $y=(4-m)x+2$ są równoległe, gdy

$m=\frac{14}{3}$ $m=-\frac{10}{3}$ $m=\frac{10}{3}$ $m=-\frac{14}{3}$

12. Dla $m=3$ proste $y=(m-3)x+1$ i $y=2x-4$

są prostopadłe pokrywają się przecinają się w punkcie $(0,1)$ są różnymi prostymi o różnych kierunkach

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź. Pomyłka to wskazówka, który warunek warto powtórzyć.

Zapamiętaj

Wyznaczysz parametr zapewniający równoległość lub prostopadłość i rozwiążesz zadanie w kilku krokach. Równość nachyleń oznacza równoległość, a iloczyn nachyleń równy −1 — prostopadłość, z osobnym uwzględnieniem prostych pionowych.

13. Uczeń rozwiązuje $2(m-1)=-1$ i otrzymuje $m=-\frac12$. Błąd polega na tym, że

pominął wyraz $-2$ (nie dodał $2$ do obu stron) pomylił prostopadłość z równoległością nie sprawdził przypadku prostych pionowych podzielił obie strony przez $m$

14. Warunek prostopadłości prostych $y=a_1x+b_1$ i $y=a_2x+b_2$ to

$a_1=a_2$ $a_1+a_2=0$ $a_1a_2=-1$ $b_1=b_2$

15. Prosta $y=(k+2)x-3$ jest równoległa do prostej $y=-x+7$. Wynika z tego, że

$k=1$ $k=-1$ $k=3$ $k=-3$