GEOMETRIA ANALITYCZNA · MODUŁ 13

Powtórka maturalna i pułapki

PPrezentacja dla nauczyciela

Dobierzesz metodę, zapiszesz obliczenia i sprawdzisz, czy odpowiedź spełnia wszystkie warunki. Zobacz przykład na wykresie, rozwiąż zadania i sprawdź swoją odpowiedź w quizie.

Wprowadzenie

W zadaniu maturalnym najpierw nazwij szukaną własność, a potem zapisz warunek algebraiczny. Nie wnioskuj o prostopadłości lub równoległości wyłącznie z wyglądu rysunku.

Schemat na układzie współrzędnych. Kolory odróżniają proste; własności potwierdź rachunkiem, nie samym wyglądem rysunku.

1. W zadaniu o wzajemnym położeniu prostych zapisanych w postaci ogólnej najpierw

sprowadzasz obie proste do postaci kierunkowej lub odczytujesz nachylenia odczytujesz współczynniki i od razu porównujesz wyrazy wolne liczysz odległość między prostymi rysujesz proste i odczytujesz kąt z wykresu

2. Prosta $2x+3y-6=0$ w postaci kierunkowej to

$y=\frac23x-2$ $y=-\frac23x+2$ $y=-\frac32x+3$ $y=\frac32x-3$

3. Po wyznaczeniu punktu przecięcia prostych warto na końcu

zaokrąglić współrzędne do liczb całkowitych sprawdzić wynik tylko w jednym równaniu podstawić otrzymaną parę do obu równań narysować obie proste w skali

Jak to rozpoznać?

Dla prostych w postaci kierunkowej porównaj a. Dla postaci ogólnej najpierw wyznacz a albo rozpoznaj prostą pionową. Gdy zadanie wymaga punktu przecięcia, ułóż układ równań. Na końcu podstaw wynik do warunków z treści.

Wzory i zasady do zapamiętania

Plan: postać równania → współczynnik kierunkowy → warunek równoległości/prostopadłości → obliczenie → kontrola.

Strategia

Najpierw sprowadź równania do wygodnej postaci. Zapisz współczynniki kierunkowe i dopiero wtedy zastosuj warunek. Sprawdź też, czy nie pojawia się prosta pionowa.

Przykład rozwiązany

Określ wzajemne położenie prostych y = 3x + 1 i 6x − 2y + 4 = 0.

Przekształcamy drugą prostą: −2y = −6x − 4.
y = 3x + 2.
Współczynniki kierunkowe są równe (3), a wyrazy wolne różne (1 i 2).

Odpowiedź: Proste są równoległe i różne — nie mają punktu przecięcia.

4. Prosta $2x+4y-8=0$ jest prostopadła do prostej o współczynniku kierunkowym

$2$ $-2$ $-\frac12$ $\frac12$

5. Proste $y=-7$ i $x=4$ są

równoległe prostopadłe pokrywające się przecinające się pod kątem ostrym

6. Równania $y=2x+1$ oraz $4x-2y+6=0$ opisują proste

prostopadłe pokrywające się równoległe różne pionowe

Rozwiąż samodzielnie

Dane są proste k: 3x−2y+6=0 oraz l: 4x+6y−12=0. Określ ich wzajemne położenie.
Pokaż rozwiązanie
k: y=3/2 x+3, więc a_k=3/2. l: y=−2/3 x+2, więc a_l=−2/3. Iloczyn (3/2)(−2/3)=−1, zatem k i l są prostopadłe.
Prosta k przechodzi przez A=(0,−2) i jest równoległa do prostej l: 5x−y+4=0. Zapisz równanie k.
Pokaż rozwiązanie
l: y=5x+4, zatem a=5. Prosta k ma postać y=5x+b. Podstawiamy A: −2=b. Odpowiedź: y=5x−2.

7. Proste $k: 3x-2y+6=0$ i $l: 4x+6y-12=0$ są

prostopadłe równoległe i różne pokrywające się przecinające się pod kątem ostrym, ale nie prostym

8. Prosta $k$ przechodzi przez $A=(0,-2)$ i jest równoległa do $5x-y+4=0$. Równanie $k$ to

$y=-5x-2$ $y=5x+2$ $y=\frac15x-2$ $y=5x-2$

9. Proste $2x+4y-8=0$ i $2x-y+3=0$ są

równoległe pokrywające się prostopadłe przecinające się pod kątem $45°$

Zadania dodatkowe

Sprawdź, czy proste 2x − 3y + 6 = 0 i 3x + 2y − 12 = 0 są prostopadłe.
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. Pierwsza prosta: 3y = 2x + 6, więc y = ⅔x + 2 i a₁ = ⅔.
Krok 2. Druga prosta: 2y = −3x + 12, więc y = −1,5x + 6 i a₂ = −1,5.
Krok 3. a₁·a₂ = ⅔·(−3/2) = −1.
Odpowiedź: proste są prostopadłe.
Czy proste y = 2x + 3 i 4x − 2y + 6 = 0 są równoległe, czy opisują tę samą prostą?
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. Przekształcamy drugie równanie: −2y = −4x − 6.
Krok 2. Dzielimy przez −2: y = 2x + 3.
Krok 3. Otrzymaliśmy identyczne równanie.
Odpowiedź: proste pokrywają się — to ta sama prosta, a nie tylko proste równoległe.

10. Proste $x+2y-4=0$ i $2x-y+1=0$ są

równoległe prostopadłe pokrywające się przecinające się pod kątem $60°$

11. Prosta $k: 2x-y+5=0$. Prosta równoległa do $k$, przechodząca przez $(1,1)$, ma równanie

$y=2x+5$ $y=-2x+3$ $y=2x-1$ $y=\frac12x+\frac12$

12. Prosta $k$ jest prostopadła do $y=-\frac13x+2$ i przechodzi przez $(3,1)$. Jej równanie to

$y=-\frac13x+2$ $y=3x+8$ $y=\frac13x$ $y=3x-8$

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź. Pomyłka to wskazówka, który warunek warto powtórzyć.

Zapamiętaj

Dobierzesz metodę, zapiszesz obliczenia i sprawdzisz, czy odpowiedź spełnia wszystkie warunki. Równość nachyleń oznacza równoległość, a iloczyn nachyleń równy −1 — prostopadłość, z osobnym uwzględnieniem prostych pionowych.

13. Uczeń porównuje proste $y=3x+1$ i $6x-2y+4=0$ i pisze: „nachylenia są równe, więc proste pokrywają się”. Powinien jeszcze sprawdzić

wyrazy wolne: $1$ i $2$ są różne, więc proste są tylko równoległe znaki współczynników przy $x$ czy obie proste przechodzą przez początek układu czy proste są pionowe

14. Proste $x=-2$ i $y=5$

są równoległe pokrywają się są prostopadłe przecinają się pod kątem $45°$

15. Prosta $3x+4y-12=0$ przecina oś $OY$ w punkcie

$(4,0)$ $(0,4)$ $(3,0)$ $(0,3)$