POWTÓRKA PRZEKROJOWA

Zestaw maturalny — 26 zadań przekrojowych

Pracuj jak na maturze: zapisuj warunek, pokaż obliczenia i dopiero na końcu podaj odpowiedź. Rozwiązania rozwiń po samodzielnej próbie.

01. Punkty i kierunek prostej

Odczytasz położenie punktów i rozpoznasz, czy prosta rośnie, maleje, czy jest pozioma lub pionowa.

Prosta przechodzi przez punkty (2, −3) i (6, 5). Podaj Δx, Δy i znak współczynnika kierunkowego.
Pokaż rozwiązanie
Δx = 6 − 2 = 4, Δy = 5 − (−3) = 8. Współczynnik kierunkowy to iloraz dodatnich liczb, więc jest dodatni (a = 2).
Które z prostych y = −2, x = 3, y = 0, x = 0 są poziome, a które pionowe?
Pokaż rozwiązanie
Poziome mają równanie y = liczba: y = −2 oraz y = 0 (oś Ox). Pionowe mają x = liczba: x = 3 oraz x = 0 (oś Oy).

Odczytasz współczynnik kierunkowy i wyraz wolny z równania kierunkowego prostej.

Prosta y = −4x + b przechodzi przez punkt (2, −3). Oblicz b.
Pokaż rozwiązanie
Podstawiamy x = 2 i y = −3: −3 = −4 · 2 + b = −8 + b. Stąd b = 5.
Odczytaj współczynnik kierunkowy i wyraz wolny z równania 2y = 6x − 10.
Pokaż rozwiązanie
Dzielimy obie strony przez 2: y = 3x − 5. Współczynnik kierunkowy a = 3, wyraz wolny b = −5.

Obliczysz współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty.

Oblicz współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez A = (−5, 2) i B = (3, −2).
Pokaż rozwiązanie
a = (−2 − 2) : (3 − (−5)) = −4 : 8 = −1/2.
Oblicz współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez A = (0, −4) i B = (6, 8).
Pokaż rozwiązanie
a = (8 − (−4)) : (6 − 0) = 12 : 6 = 2.

Rozpoznasz proste równoległe i wyznaczysz brakujące współczynniki.

Dla jakiej wartości m proste y = (4 − m)x + 2 i y = 7x − 1 są równoległe?
Pokaż rozwiązanie
Współczynniki kierunkowe muszą być równe: 4 − m = 7. Stąd m = −3.
Wyznacz równanie prostej równoległej do y = 1,5x − 4, przechodzącej przez punkt (2, 5).
Pokaż rozwiązanie
Szukana prosta ma postać y = 1,5x + b. Podstawiamy punkt: 5 = 1,5 · 2 + b = 3 + b, więc b = 2. Odpowiedź: y = 1,5x + 2.

Sprawdzisz prostopadłość prostych i wyznaczysz współczynnik prostej prostopadłej.

Dla jakiej wartości m proste y = (3m + 2)x − 1 i y = ⅓x + 4 są prostopadłe?
Pokaż rozwiązanie
Iloczyn współczynników wynosi −1: (3m + 2) · ⅓ = −1. Mnożymy przez 3: 3m + 2 = −3, więc m = −5/3.
Wyznacz równanie prostej prostopadłej do y = −0,5x + 3, przechodzącej przez punkt (4, −2).
Pokaż rozwiązanie
Współczynnik prostopadłej: a⊥ = −1 : (−0,5) = 2. Podstawiamy punkt: −2 = 2 · 4 + b = 8 + b, więc b = −10. Odpowiedź: y = 2x − 10.

Odczytasz współczynnik kierunkowy z postaci ogólnej i rozpoznasz prostą pionową.

Przekształć równanie 8x − 4y + 12 = 0 do postaci kierunkowej.
Pokaż rozwiązanie
−4y = −8x − 12, a po podzieleniu przez −4: y = 2x + 3.
Podaj współczynnik kierunkowy prostej 5y − 15 = 0.
Pokaż rozwiązanie
Po przekształceniu 5y = 15, czyli y = 3. To prosta pozioma, więc a = 0.

Zapiszesz równanie prostej równoległej do danej i przechodzącej przez wskazany punkt.

Wyznacz równanie prostej równoległej do 3x + y − 7 = 0, przechodzącej przez punkt (2, −1).
Pokaż rozwiązanie
Dana prosta: y = −3x + 7, więc a = −3. Szukana: y = −3x + b. Podstawiamy: −1 = −6 + b, więc b = 5. Odpowiedź: y = −3x + 5.
Wyznacz równanie prostej równoległej do x = 3, przechodzącej przez punkt (−4, 7).
Pokaż rozwiązanie
Prosta x = 3 jest pionowa. Równoległa do niej też jest pionowa i ma postać x = liczba. Przez punkt (−4, 7) przechodzi x = −4.

Wyznaczysz równanie prostej prostopadłej do danej i przechodzącej przez punkt.

Wyznacz równanie prostej prostopadłej do 2x − 3y + 6 = 0, przechodzącej przez punkt (4, 1).
Pokaż rozwiązanie
Dana prosta: y = (2/3)x + 2. Prostopadła ma a⊥ = −3/2. Podstawiamy punkt: 1 = −6 + b, więc b = 7. Odpowiedź: y = −1,5x + 7.
Wyznacz równanie prostej prostopadłej do y = 6, przechodzącej przez punkt (3, −5).
Pokaż rozwiązanie
Prosta y = 6 jest pozioma, więc prostopadła jest pionowa: x = liczba. Przez punkt (3, −5) przechodzi x = 3.

Ułożysz równanie prostej przez dwa punkty i wykorzystasz je do sprawdzenia równoległości lub prostopadłości.

Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty (2, 5) i (−4, −1).
Pokaż rozwiązanie
a = (−1 − 5) : (−4 − 2) = −6 : (−6) = 1. Podstawiamy (2, 5): 5 = 1 · 2 + b, więc b = 3. Odpowiedź: y = x + 3.
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty (7, −2) i (7, 4).
Pokaż rozwiązanie
Obie współrzędne x są równe 7, więc prosta jest pionowa. Jej równanie to x = 7.

Rozpoznasz proste równoległe, pokrywające się i przecinające się, korzystając z ich równań.

Znajdź punkt przecięcia prostych y = 4x − 7 i y = −2x + 5.
Pokaż rozwiązanie
Przyrównujemy: 4x − 7 = −2x + 5, więc 6x = 12 i x = 2. Wtedy y = 4 · 2 − 7 = 1. Punkt przecięcia to (2, 1).
Określ wzajemne położenie prostych 5x − 2y = 8 i 10x − 4y = 9.
Pokaż rozwiązanie
Pierwsza: y = 2,5x − 4. Druga: y = 2,5x − 2,25. Współczynniki kierunkowe są równe, a wyrazy wolne różne, więc proste są równoległe i różne.

Użyjesz równań prostych do sprawdzania boków równoległych i prostopadłych w figurze.

Sprawdź, czy czworokąt A = (0, 1), B = (4, 1), C = (5, 3), D = (1, 3) jest równoległobokiem.
Pokaż rozwiązanie
a_AB = (1 − 1) : (4 − 0) = 0 oraz a_DC = (3 − 3) : (5 − 1) = 0, więc AB ∥ DC. a_BC = (3 − 1) : (5 − 4) = 2 oraz a_AD = (3 − 1) : (1 − 0) = 2, więc BC ∥ AD. Obie pary boków są równoległe.
Uzasadnij, że trójkąt A = (1, 1), B = (5, 1), C = (5, 4) jest prostokątny.
Pokaż rozwiązanie
Bok AB jest poziomy (y = 1), a bok BC pionowy (x = 5). Prosta pozioma i pionowa są prostopadłe, więc kąt przy wierzchołku B jest prosty.

Wyznaczysz parametr zapewniający równoległość lub prostopadłość i rozwiążesz zadanie w kilku krokach.

Dla jakiej wartości m proste y = (2m − 3)x + 1 i y = 5x − 2 są równoległe?
Pokaż rozwiązanie
2m − 3 = 5, więc 2m = 8 i m = 4.
Prosta k przechodzi przez A = (0, 3) i B = (4, 7). Wyznacz równanie prostej prostopadłej do k, przechodzącej przez P = (−2, 1).
Pokaż rozwiązanie
a_k = (7 − 3) : (4 − 0) = 1. Prostopadła ma a⊥ = −1. Podstawiamy P: 1 = −1 · (−2) + b = 2 + b, więc b = −1. Odpowiedź: y = −x − 1.

Dobierzesz metodę, zapiszesz obliczenia i sprawdzisz, czy odpowiedź spełnia wszystkie warunki.

Sprawdź, czy proste 3x + 4y − 8 = 0 i 4x − 3y + 2 = 0 są prostopadłe.
Pokaż rozwiązanie
Pierwsza: y = −0,75x + 2, więc a₁ = −3/4. Druga: y = (4/3)x + 2/3, więc a₂ = 4/3. Iloczyn a₁ · a₂ = −1, więc proste są prostopadłe.
Czy proste y = −2x + 5 i 6x + 3y − 15 = 0 opisują tę samą prostą?
Pokaż rozwiązanie
Przekształcamy drugą: 3y = −6x + 15, czyli y = −2x + 5. Oba równania są identyczne, więc proste pokrywają się.