Potwierdzone sprawdzone punkt po punkcie · 2026-10-26

← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit

Matematyka · liceum · poziom podstawowy

Równoległość i prostopadłość prostych — matematyka liceum, poziom podstawowy › Moduł 08 z 13

W materiale Wprowadzenie Jak to rozpoznać? Rozwiąż samodzielnie Zadania dodatkowe Quiz kontrolny

GEOMETRIA ANALITYCZNA · MODUŁ 08

Równanie prostej prostopadłej przez punkt

PPrezentacja dla nauczyciela

Wyznaczysz równanie prostej prostopadłej do danej i przechodzącej przez punkt. Zobacz przykład na wykresie, rozwiąż zadania i sprawdź swoją odpowiedź w quizie.

Wprowadzenie

Najpierw ustal współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej, a potem użyj współrzędnych punktu do wyznaczenia wyrazu wolnego.

Schemat na układzie współrzędnych. Kolory odróżniają proste; własności potwierdź rachunkiem, nie samym wyglądem rysunku.

Quiz na żywo — 3 pytania

1. Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej o współczynniku $a\neq0$ to

$-\frac1a$ $a$ $-a$ $\frac1a$

2. Gdy nachylenie prostopadłej jest już wyznaczone, pozostaje

wyznaczyć drugie nachylenie z układu równań obliczyć wyraz wolny z warunku przejścia przez punkt odczytać miejsce zerowe danej prostej obliczyć odległość punktu od danej prostej

3. Dana prosta jest pozioma. Prosta do niej prostopadła jest

pozioma, o tym samym nachyleniu ukośna o nachyleniu $-1$ pionowa pozioma, ale przesunięta

Jak to rozpoznać?

Jeśli dana prosta ma współczynnik a≠0, to prosta prostopadła ma współczynnik −1/a. Równanie przez punkt (x₀,y₀) zapiszesz jako y−y₀=−1/a·(x−x₀). Dla danej poziomej szukana jest pionowa, a dla danej pionowej — pozioma.

Wzory i zasady do zapamiętania

a⊥ = −1/a. Postać przez punkt: y − y₀ = a⊥(x − x₀). Przypadki szczególne: pozioma ⟂ pionowa.

Strategia

Najpierw sprowadź równania do wygodnej postaci. Zapisz współczynniki kierunkowe i dopiero wtedy zastosuj warunek. Sprawdź też, czy nie pojawia się prosta pionowa.

Przykład rozwiązany

Wyznacz równanie prostej prostopadłej do x = 4, przechodzącej przez punkt (2, 7).

Prosta x = 4 jest pionowa.
Prostopadła do pionowej jest pozioma, czyli ma postać y = liczba.
Przez punkt (2, 7) przechodzi pozioma y = 7.

Odpowiedź: y = 7.

Quiz na żywo — 3 pytania

4. Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej o $a=-5$ wynosi

$-5$ $\frac15$ $-\frac15$ $5$

5. Prosta prostopadła do $y=4x+1$ ma współczynnik kierunkowy

$-4$ $\frac14$ $-\frac14$ $4$

6. Prosta prostopadła do $x=8$, przechodząca przez $(3,-2)$, ma równanie

$x=3$ $y=3$ $x=-2$ $y=-2$

Rozwiąż samodzielnie

Napisz równanie prostej prostopadłej do y=½x−3 i przechodzącej przez (2,1).
Pokaż rozwiązanie
Współczynnik prostopadłej to −2. Zatem y=−2x+c. Podstawiamy punkt: 1=−4+c, więc c=5. Odpowiedź: y=−2x+5.
Wyznacz prostą prostopadłą do 4x+2y−6=0 i przechodzącą przez (−3,2).
Pokaż rozwiązanie
Dana prosta ma postać y=−2x+3, więc jej nachylenie to −2. Prostopadła ma nachylenie 1/2. Podstawiamy punkt: 2=(1/2)(−3)+c, stąd c=7/2. Równanie: y=1/2 x+7/2.

Quiz na żywo — 3 pytania

7. Prosta prostopadła do $y=\frac12x-3$, przechodząca przez $(2,1)$, ma równanie

$y=-2x+5$ $y=-2x-3$ $y=\frac12x$ $y=2x-3$

8. Prosta prostopadła do $4x+2y-6=0$, przechodząca przez $(-3,2)$, ma równanie

$y=-2x-4$ $y=\frac12x+\frac72$ $y=\frac12x+\frac12$ $y=2x+8$

9. Prosta prostopadła do $y=-\frac23x+1$, przechodząca przez $(4,-1)$, ma równanie

$y=-\frac23x+\frac53$ $y=-\frac32x+5$ $y=\frac32x-7$ $y=\frac23x-\frac{11}{3}$

Zadania dodatkowe

Wyznacz równanie prostej prostopadłej do 3x + y − 6 = 0, przechodzącej przez punkt (2, 1).
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. Dane równanie to y = −3x + 6, więc a = −3.
Krok 2. a⊥ = −1/(−3) = ⅓; szukana prosta ma postać y = ⅓x + b.
Krok 3. 1 = ⅓·2 + b = ⅔ + b, więc b = ⅓.
Odpowiedź: y = ⅓x + ⅓.
Wyznacz równanie prostej prostopadłej do x = −5, przechodzącej przez punkt (3, −2).
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. Prosta x = −5 jest pionowa.
Krok 2. Prostopadła do pionowej jest pozioma, czyli ma postać y = liczba.
Krok 3. Przez punkt (3, −2) przechodzi prosta y = −2.
Odpowiedź: y = −2.

Quiz na żywo — 3 pytania

10. Prosta prostopadła do $3x+y-6=0$, przechodząca przez $(2,1)$, ma równanie

$y=3x-5$ $y=\frac13x+\frac13$ $y=-3x+7$ $y=\frac13x-\frac13$

11. Prosta prostopadła do $x=-5$, przechodząca przez $(3,-2)$, ma równanie

$x=3$ $x=-2$ $y=-2$ $y=3$

12. Proste $y=ax+1$ i $y=\frac14x-2$ są prostopadłe. Wtedy

$a=\frac14$ $a=-\frac14$ $a=4$ $a=-4$

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź. Pomyłka to wskazówka, który warunek warto powtórzyć.

Zapamiętaj

Wyznaczysz równanie prostej prostopadłej do danej i przechodzącej przez punkt. Równość nachyleń oznacza równoległość, a iloczyn nachyleń równy −1 — prostopadłość, z osobnym uwzględnieniem prostych pionowych.

Quiz na żywo — 3 pytania

13. Uczeń szuka prostej prostopadłej do $y=3x+2$ i zapisuje $y=3x+b$. Poprawny współczynnik kierunkowy to

$-\frac13$ $3$ $-3$ $\frac13$

14. Proste $y=-1$ i $x=6$ są

równoległe pokrywające się prostopadłe przecinające się pod kątem $45°$

15. Prosta prostopadła do $y=-\frac15x+4$, przechodząca przez $(0,0)$, ma równanie

$y=-5x$ $y=\frac15x$ $y=-\frac15x$ $y=5x$

← Spis kursu Moduł 07 · Równanie prostej równoległej przez punktPoprzednia Moduł 09 · Prosta przez dwa punktyNastępna

Materiały edukacyjne Hyżyk · Matematyka liceum — geometria analityczna